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高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第4节 生活中的抛体运动学案
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这是一份高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第4节 生活中的抛体运动学案，共15页。
知识点一 抛体运动的理解
[观图助学]
观察上图，推出的铅球、甩出的链球、掷出的标枪，它们的速度有什么共同特点？
1.定义：以一定的初速度将物体抛出，物体仅在重力的作用下所做的运动称为抛体运动。
2.抛体运动的分类：根据抛出物体初速度的不同，我们可把抛体运动分为平抛运动、竖直上抛运动、竖直下抛运动和斜抛运动。
3.运动性质：加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
4.斜抛运动的分解：水平方向以初速度v0x做匀速直线运动，v0x＝v0cs__θ；竖直方向以初速度v0y做竖直上抛运动，v0y＝v0sin__θ。
[思考判断]
(1)斜抛运动是变加速曲线运动。(×)
(2)将物体以某一初速度斜向上抛出，物体一定做斜抛运动。(×)
(3)斜抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动。(√)
抛体运动是忽略掉空气阻力之后的理想运动模型。
斜抛运动的加速度恒定，相同的时间内速度变化量相同。
斜上抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹的最高点，上升时间等于下降时间。
(2)速度对称：相对于轨迹的最高点，对称的两点速度大小相等。
(3)轨迹对称：相对于过最高点的竖直线运动轨迹左右对称。
知识点二 斜抛运动的射高与射程
1.定义
(1)射高：在斜抛运动中，物体能到达的最大高度。
(2)射程：物体从抛出点到落地点的水平距离。
2.射高和射程与初速度和抛射角的关系
(1)射高和射程与初速度的关系：抛射角不变，初速度减小时，射程减小，射高也减小；初速度增大时，射程和射高都增大。
(2)射高和射程与抛射角的关系
①初速度不变，射高随抛射角的增大而增大，当抛射角达到90°时，射高最大。
②初速度不变，在抛射角小于45°的范围内，随着抛射角的增大，射程增大；当抛射角超过45°后，随着抛射角的增大，射程减小；当抛射角等于45°时，射程最大。
[思考判断]
1.斜抛运动的物体达最高点时，速度为零。(×)
2.初速度增大，射高和射程均增大。(×)
3.在初速度大小恒定的情况下，抛射角越大，射高越大，而射程不一定大。(√),
当竖直速度为零时，做斜抛运动的物体达到最大高度，但此时速度不等于零，等于v0cs θ，加速度也不等于零，而是g。
沿与水平方向成45°角推铅球时，铅球被推出的最远。
核心要点 对斜抛运动的理解
[要点归纳]
1.受力特点
斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g。
2.运动特点
物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线。
3.速度变化特点
(1)水平方向：速度不变。
(2)竖直方向：加速度为g，因此，在相等的时间内速度的变化大小相等，方向均竖直向下，Δv＝gΔt。
(3)最高点的速度：不为零且等于水平方向的分速度。
[经典示例]
[例1] (多选)关于物体的斜抛运动，下列说法正确的是( )
A.可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动
B.可以分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
C.是加速度a＝g的匀变速曲线运动
D.到达最高点时，速度为零
解析 根据运动的合成与分解，可以将斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，也可以分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，选项A、B正确；斜抛运动的初速度v0斜向上，加速度为g，竖直向下，初速度与加速度方向不在同一直线上，因此是匀变速曲线运动，选项C正确；做斜抛运动的物体到达最高点时竖直方向的分速度为0，但仍有水平方向的分速度，选项D错误。
答案 ABC
[针对训练1] 如图是斜向上抛出物体的轨迹，A、B是轨迹上等高的两个点。物体经过A、B两点时不相同的物理量是( )
A.加速度 B.速度
C.速度的大小 D.动能
解析 物体仅受重力作用故加速度相同，A错误；物体经过A、B两点时竖直速度大小相等方向相反，水平速度相等，故B正确，C、D错误。
答案 B
核心要点 斜抛运动的射高与射程
[问题探究]
忽略空气阻力的情况下，水面上跃起的海豚的运动，投出去的标枪的运动等都可以看成斜抛运动。对于斜抛运动，是否抛出物体的速度越大，物体的射程就越远？斜抛物体在空中的飞行时间由哪些因素决定？
答案 抛出物体的速度越大，物体的射程不一定越远，其射程还与抛射角有关。根据t＝eq \f(2v0sin θ,g)，飞行时间由初速度和抛射角决定。
[探究归纳]
1.分析方法
将斜抛运动沿水平方向和竖直方向分解，根据分运动分析飞行时间、射程、射高，如图所示：
2.公式推导
飞行时间：t＝eq \f(2v0y,g)＝eq \f(2v0sin θ,g)
射高：h＝eq \f(veq \\al(2,0y),2g)＝eq \f(veq \\al(2,0)sin2 θ,2g)
射程：s＝v0cs θ·t＝eq \f(2veq \\al(2,0)sin θcs θ,g)＝eq \f(veq \\al(2,0)sin 2θ,g)
3.射高、射程、飞行时间随抛射角变化的比较
[经典示例]
[例2] 如图是果蔬自动喷灌技术，从水管中射出的水流轨迹呈现一道道美丽的弧线。如果水喷出管口的速度是20 m/s，管口与水平方向的夹角为45°，空气阻力不计，试计算水的射程和射高各为多少。(g取10 m/s2)
解析 水的竖直分速度vy＝v0sin 45°＝10eq \r(2) m/s，
上升的最大高度h＝eq \f(veq \\al(2,y),2g)＝eq \f(（10\r(2)）2,20) m＝10 m。
水在空中的飞行时间为t＝eq \f(2vy,g)＝2eq \r(2) s。
水的水平分速度vx＝v0cs 45°＝10eq \r(2) m/s。
水平射程s＝vxt＝10eq \r(2)×2eq \r(2) m＝40 m。
答案 40 m 10 m
[针对训练2] 如图所示，从距离墙壁为s的水平地面上的A点，以初速度v0、抛射角θ＝45°斜向上抛出一球，球恰好在上升到最高点时与墙相碰，被水平反弹回来，落到地面上的C点，且OC＝eq \f(s,2)，则球被墙反弹后的速度v′的大小与初速度v0的大小之比为( )
A.1∶2 B.eq \r(2)∶1
C.1∶eq \r(2) D.eq \r(2)∶4
审题提示 小球上升到最高点时，竖直速度变为零，具有水平速度v0cs θ。
解析 如果小球上升到最高点与墙壁碰撞后速度的大小不变，仍为v0cs θ，则小球碰撞后做平抛运动，轨迹形状与上升时相同，即从B到A，再把B到A的过程与B到C的过程相比较，因下落时间相同，根据它们水平位移之比eq \f(\(OC,\s\up6(－)),\(OA,\s\up6(－)) )＝eq \f(1,2)，可得反弹速度v′＝eq \f(1,2)v0cs θ＝eq \f(\r(2),4)v0，即eq \f(v′,v0)＝eq \f(\r(2),4)。故选项D正确。
答案 D
1.(对抛体运动的理解)(多选)关于斜抛运动，下列说法正确的是( )
A.抛物体的运动就是抛体运动
B.抛体运动是匀变速曲线运动
C.抛体运动在竖直方向上做自由落体运动
D.竖直上抛运动不是抛体运动
解析 被抛出的物体，若只受重力，则物体的运动是抛体运动，A错误；抛体运动的加速度是重力加速度，恒定不变，所以抛体运动是匀变速曲线运动，B正确；平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，C错误；抛体运动分为平抛运动、竖直上抛运动、竖直下抛运动和斜抛运动， D错误。
答案 B
2.(斜抛运动的轨迹)有A、B两小球，B的质量为A的两倍。现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力。图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是( )
A.① B.②
C.③ D.④
解析 斜抛运动是匀变速曲线运动，其加速度都为重力加速度，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做竖直上抛运动，两球初速度相同，所以运动轨迹相同，与质量大小无关。
答案 A
3.(斜抛运动的规律及应用)(多选)如图是斜向上抛出的物体的轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述中正确的是(不计空气阻力)( )
A.物体在C点的速度为零
B.物体在A点的速度与在B点的速度相同
C.物体在A点、B点的水平分速度均等于物体在C点的速度
D.物体在A、B、C各点的加速度都相同
解析 速度是矢量，A、B处速度大小相等，方向不相同。在水平方向上是匀速直线运动，竖直方向的加速度总为g。
答案 CD
4.(斜抛运动的规律及应用)如图所示，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取 10 m/s2。求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间t；
(3)射高h和水平射程s。
解析 (1)根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时的速度大小相等，故v0＝vt＝30 m/s，设与水平方向夹角为θ，则cs θ＝eq \f(v,v0)＝eq \f(4,5)，故θ＝37°。
(2)由(1)知，竖直方向的初速度为
vy＝eq \r(veq \\al(2,0)－v2)＝eq \r(302－242) m/s＝18 m/s，
故飞行时间t＝2eq \f(vy,g)＝2×eq \f(18,10) s＝3.6 s。
(3)射高h＝eq \f(veq \\al(2,y),2g)＝eq \f(182,2×10) m＝16.2 m，
水平射程s＝vt＝24×3.6 m＝86.4 m。
答案 (1)30 m/s，与水平方向夹角为37° (2)3.6 s
(3)16.2 m 86.4 m
基础过关
1.做斜抛运动的物体，下列说法不正确的是( )
A.水平分速度不变
B.加速度不变
C.在相同的高度处速度大小相同
D.经过最高点时，瞬时速度为零
解析 斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，所以A正确；斜抛物体只受重力作用，加速度恒定，B正确；根据运动的对称性，物体在相同的高度处的速度大小相等，C正确；经过最高点时，竖直分速度为零，水平分速度不为零，D错误。
答案 D
2.一位田径运动员在跳远比赛中以10 m/s的速度沿与水平面成30°的角度起跳，在落到沙坑之前，他跳远成绩最接近(g取10 m/s2)( )
A.4.2 m B.6 m
C.8.5 m D.10 m
解析 起跳时竖直向上的分速度
v0y＝v0sin 30°＝10×eq \f(1,2) m/s＝5 m/s
所以在空中滞留的时间为t＝eq \f(2v0y,g)＝eq \f(2×5,10) s＝1 s
水平位移即该运动员的位移为
s＝v0tcs 30°＝10×1×eq \f(\r(3),2) m≈8.7 m，故选项C正确。
答案 C
3.(多选)关于斜抛运动的射高，下列说法中正确的是( )
A.初速度越大，射高越大
B.抛射角越大，射高越大
C.初速度一定时，抛射角越大，射高越大
D.抛射角一定时，初速度越大，射高越大
解析 斜抛运动的射高，是由初速度和抛射角共同决定的，初速度一定时，抛射角越大，射高越大；抛射角一定时，初速度越大，射高也越大，故C、D正确。
答案 CD
4.在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A.一样大 B.水平抛的最大
C.斜向上抛的最大 D.斜向下抛的最大
解析 不计空气阻力的抛体运动，机械能守恒。故以相同的速率向不同的方向抛出落至同一水平地面时，物体速度的大小相等。
答案 A
5.做斜上抛的物体的运动可以分解为水平和竖直方向的两个分运动，下列图像中能正确描述竖直方向上物体运动的速度的是( )
解析 斜上抛运动的竖直分运动是竖直上抛运动，其运动的速度先均匀减小到零，后反向均匀增大，由于规定向上为正方向，故速度先为正，后为负，C正确。
答案 C
6.某人在地面以大小为20 m/s、方向与水平地面成30°角的速度，上抛一个物体，此物体运动到最高点所用的时间是(g取10 m/s2)( )
A.2 s B.0.5 s
C.4 s D.1 s
解析 斜抛运动在竖直方向以v0sin θ即10 m/s做竖直上抛运动，所以物体运动到最高点的时间t＝eq \f(v0sin θ,g)＝eq \f(10,10) s＝1 s。所以选D。
答案 D
7.如图所示，水平地面上不同位置的三个小球斜上抛，沿三条不同的路径运动最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的，若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是( )
A.沿路径1抛出的小球落地的速率最小
B.沿路径3抛出的小球在空中运动时间最长
C.三个小球抛出的初速度竖直分量相等
D.三个小球抛出的初速度水平分量相等
解析 竖直方向上，因为高度一样，所以初速度的竖直分量一样，运动时间一样，所以B错误，C正确；水平方向上，由于路径1水平位移最大，而运动时间一样，所以1的水平速度最大，所以D错误；沿路径1运动的小球初速度最大，由于整个过程外力不做功，所以初、末速度大小相等，所以落地速度1最大，所以A错误。
答案 C
8.一小球从水平地面以v0斜抛而出，最后又落回同一水平面，不计空气阻力，在下图中能正确表示速度矢量的变化过程的是( )
解析 斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，所以速度变化量的方向可以由Δv＝gt来判断，因此Δv的方向应竖直向下，其表示任意两时刻速度的有向线段末端的连线保持竖直，故只有C正确。
答案 C
能力提升
9.(多选)以相同的初速率、不同的抛射角同时抛出三个小球A、B、C，三球在空中的运动轨迹如图所示，则下列说法中正确的是(不考虑空气阻力)( )
A.A、B、C三球在运动过程中，加速度都相同
B.B球的射程最远，所以最迟落地
C.A球的射高最大，所以最迟落地
D.B球的抛射角一定为45°
解析 A、B、C三球在运动过程中只受重力作用，故具有相同的加速度g，A选项正确；斜抛运动可以分成上升和下落两个过程，下落过程就是平抛运动，根据平抛物体在空中的飞行时间只决定于抛出点的高度可知，A球从抛物线顶点落至地面所需的时间最长，再由对称性可知，斜抛物体上升和下落所需的时间是相等的，所以A球最迟落地，故C选项正确，B选项错误；B球的射程相对于A、C最远，但不一定是该初速率对应的最远射程，故抛射角不一定为45°，因此D选项错误。
答案 AC
10.(多选)如图所示，在水平地面上的A点以v1速度跟地面成θ角射出一弹丸，恰好以v2速度垂直穿入竖直墙壁上的小孔B，下面说法正确的是(不计空气阻力)( )
A.在B点以跟v2大小相等的速度，跟v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点
B.在B点以跟v1大小相等的速度，跟v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点
C.在B点以跟v1大小相等的速度，跟v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点左侧
D.在B点以跟v1大小相等的速度，跟v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点右侧
解析 物体以v1斜抛后，其水平方向为匀速直线运动，则v1cs θ＝v2，若在B点以大小为v2，方向与v2方向相反的初速度射出弹丸，则弹丸做平抛运动，应落在A点，故选项A正确；若在B点以跟v1大小相等的速度沿v2反方向射出弹丸，则因v1＞v2，弹丸将落在A点左侧，故选项C正确。
答案 AC
11.(多选)如图所示，在地面的A点用弹弓以vA的速度打出一石子，方向与水平地面成θ角，石子落在楼顶上的B点，此时石子的速度为vB，不计阻力，以下说法中正确的是( )
A.若在B点以与vB大小相等、方向相反的速度投出石子，则石子将落在A点
B.若在B点以与vA大小相等、与vB方向相反的速度投出石子，则石子将落在A点
C.若在B点以与vB大小相等、方向相反的速度投出石子，则石子将落在A点的右侧
D.若在B点以与vA大小相等、与vB方向相反的速度投出石子，则石子将落在A点的左侧
解析 由斜抛运动的对称性知，若在B点以与vB大小相等、方向相反的速度投出石子，则石子必将逆着原来运动的轨迹落在A点，A项正确，C项错误；由于vA＞vB，若在B点以与vA等大与vB反向的速度抛出石子，则由于vAy＞vBy，石子在空中运动的时间将增大，又vAx＞vBx，则石子从B点以vA抛出后落地的水平射程将增大，故石子落在A点的左侧，B项错误，D项正确。
答案 AD
12.世界上最窄的海峡是苏格兰的塞尔海峡，它位于欧洲大陆与塞尔岛之间。这个海峡只有约6 m宽，假设有一位运动员，他要以相对于水平面为37°的角度进行“越海之跳”，可使这位运动员越过这个海峡的最小初速度是多少？(忽略空气阻力，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2)
解析 设该运动员的最小初速度为v0，其射程恰为6 m，则其水平分速度：v0x＝v0cs 37°
射程：s＝v0xt
竖直分速度：v0y＝v0sin 37°
运动时间：t＝2eq \f(v0y,g)
由以上几式代入数据解得v0＝eq \f(5,2)eq \r(10) m/s。
答案 eq \f(5,2)eq \r(10) m/s
13.电脑控制果蔬自动喷灌技术被列为全国节水灌溉示范项目，在获得经济效益的同时也获得了社会效益。从水管中射出的水流轨迹呈现一道道美丽的弧线，如果水喷出管口的速度是20 m/s，管口与水平方向的夹角为45°，空气阻力不计，试计算水的射程和射高各为多少？(g取10 m/s2)
解析 水的竖直分速度
vy＝v0sin 45°＝10eq \r(2) m/s
上升的最大高度
h＝eq \f(veq \\al(2,y),2g)＝eq \f(（10\r(2)）2,20) m＝10 m
水在空中的飞行时间为t＝2eq \f(vy,g)＝2eq \r(2) s
水的水平分速度vx＝v0cs 45°＝10eq \r(2) m/s
水平射程s＝vxt＝10eq \r(2)×2eq \r(2) m＝40 m。
答案 40 m 10 m
核心素养
物理观念
科学探究
科学思维
科学态度与责任
1.知道抛体运动的定义。
2.知道抛体运动的分类。
3.能利用运动的合成与分解处理抛体运动问题。
探究斜抛运动的射程、射高跟初速度和抛射角的关系。
抛体运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
应用抛体运动的规律解决喷泉、链球、铁饼、标枪等相关实际问题。
物理量
表达式
与θ关系
θ<45°且增大
θ>45°且增大
射高h
h＝eq \f(veq \\al(2,0)sin 2θ,2g)
增大
增大
射程s
s＝eq \f(veq \\al(2,0)sin 2θ,g)
增大
减小
飞行时间t
t＝eq \f(2v0sin θ,g)
增大
增大
知识点一 抛体运动的理解
[观图助学]
观察上图，推出的铅球、甩出的链球、掷出的标枪，它们的速度有什么共同特点？
1.定义：以一定的初速度将物体抛出，物体仅在重力的作用下所做的运动称为抛体运动。
2.抛体运动的分类：根据抛出物体初速度的不同，我们可把抛体运动分为平抛运动、竖直上抛运动、竖直下抛运动和斜抛运动。
3.运动性质：加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
4.斜抛运动的分解：水平方向以初速度v0x做匀速直线运动，v0x＝v0cs__θ；竖直方向以初速度v0y做竖直上抛运动，v0y＝v0sin__θ。
[思考判断]
(1)斜抛运动是变加速曲线运动。(×)
(2)将物体以某一初速度斜向上抛出，物体一定做斜抛运动。(×)
(3)斜抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动。(√)
抛体运动是忽略掉空气阻力之后的理想运动模型。
斜抛运动的加速度恒定，相同的时间内速度变化量相同。
斜上抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹的最高点，上升时间等于下降时间。
(2)速度对称：相对于轨迹的最高点，对称的两点速度大小相等。
(3)轨迹对称：相对于过最高点的竖直线运动轨迹左右对称。
知识点二 斜抛运动的射高与射程
1.定义
(1)射高：在斜抛运动中，物体能到达的最大高度。
(2)射程：物体从抛出点到落地点的水平距离。
2.射高和射程与初速度和抛射角的关系
(1)射高和射程与初速度的关系：抛射角不变，初速度减小时，射程减小，射高也减小；初速度增大时，射程和射高都增大。
(2)射高和射程与抛射角的关系
①初速度不变，射高随抛射角的增大而增大，当抛射角达到90°时，射高最大。
②初速度不变，在抛射角小于45°的范围内，随着抛射角的增大，射程增大；当抛射角超过45°后，随着抛射角的增大，射程减小；当抛射角等于45°时，射程最大。
[思考判断]
1.斜抛运动的物体达最高点时，速度为零。(×)
2.初速度增大，射高和射程均增大。(×)
3.在初速度大小恒定的情况下，抛射角越大，射高越大，而射程不一定大。(√),
当竖直速度为零时，做斜抛运动的物体达到最大高度，但此时速度不等于零，等于v0cs θ，加速度也不等于零，而是g。
沿与水平方向成45°角推铅球时，铅球被推出的最远。
核心要点 对斜抛运动的理解
[要点归纳]
1.受力特点
斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g。
2.运动特点
物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线。
3.速度变化特点
(1)水平方向：速度不变。
(2)竖直方向：加速度为g，因此，在相等的时间内速度的变化大小相等，方向均竖直向下，Δv＝gΔt。
(3)最高点的速度：不为零且等于水平方向的分速度。
[经典示例]
[例1] (多选)关于物体的斜抛运动，下列说法正确的是( )
A.可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动
B.可以分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
C.是加速度a＝g的匀变速曲线运动
D.到达最高点时，速度为零
解析 根据运动的合成与分解，可以将斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，也可以分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，选项A、B正确；斜抛运动的初速度v0斜向上，加速度为g，竖直向下，初速度与加速度方向不在同一直线上，因此是匀变速曲线运动，选项C正确；做斜抛运动的物体到达最高点时竖直方向的分速度为0，但仍有水平方向的分速度，选项D错误。
答案 ABC
[针对训练1] 如图是斜向上抛出物体的轨迹，A、B是轨迹上等高的两个点。物体经过A、B两点时不相同的物理量是( )
A.加速度 B.速度
C.速度的大小 D.动能
解析 物体仅受重力作用故加速度相同，A错误；物体经过A、B两点时竖直速度大小相等方向相反，水平速度相等，故B正确，C、D错误。
答案 B
核心要点 斜抛运动的射高与射程
[问题探究]
忽略空气阻力的情况下，水面上跃起的海豚的运动，投出去的标枪的运动等都可以看成斜抛运动。对于斜抛运动，是否抛出物体的速度越大，物体的射程就越远？斜抛物体在空中的飞行时间由哪些因素决定？
答案 抛出物体的速度越大，物体的射程不一定越远，其射程还与抛射角有关。根据t＝eq \f(2v0sin θ,g)，飞行时间由初速度和抛射角决定。
[探究归纳]
1.分析方法
将斜抛运动沿水平方向和竖直方向分解，根据分运动分析飞行时间、射程、射高，如图所示：
2.公式推导
飞行时间：t＝eq \f(2v0y,g)＝eq \f(2v0sin θ,g)
射高：h＝eq \f(veq \\al(2,0y),2g)＝eq \f(veq \\al(2,0)sin2 θ,2g)
射程：s＝v0cs θ·t＝eq \f(2veq \\al(2,0)sin θcs θ,g)＝eq \f(veq \\al(2,0)sin 2θ,g)
3.射高、射程、飞行时间随抛射角变化的比较
[经典示例]
[例2] 如图是果蔬自动喷灌技术，从水管中射出的水流轨迹呈现一道道美丽的弧线。如果水喷出管口的速度是20 m/s，管口与水平方向的夹角为45°，空气阻力不计，试计算水的射程和射高各为多少。(g取10 m/s2)
解析 水的竖直分速度vy＝v0sin 45°＝10eq \r(2) m/s，
上升的最大高度h＝eq \f(veq \\al(2,y),2g)＝eq \f(（10\r(2)）2,20) m＝10 m。
水在空中的飞行时间为t＝eq \f(2vy,g)＝2eq \r(2) s。
水的水平分速度vx＝v0cs 45°＝10eq \r(2) m/s。
水平射程s＝vxt＝10eq \r(2)×2eq \r(2) m＝40 m。
答案 40 m 10 m
[针对训练2] 如图所示，从距离墙壁为s的水平地面上的A点，以初速度v0、抛射角θ＝45°斜向上抛出一球，球恰好在上升到最高点时与墙相碰，被水平反弹回来，落到地面上的C点，且OC＝eq \f(s,2)，则球被墙反弹后的速度v′的大小与初速度v0的大小之比为( )
A.1∶2 B.eq \r(2)∶1
C.1∶eq \r(2) D.eq \r(2)∶4
审题提示 小球上升到最高点时，竖直速度变为零，具有水平速度v0cs θ。
解析 如果小球上升到最高点与墙壁碰撞后速度的大小不变，仍为v0cs θ，则小球碰撞后做平抛运动，轨迹形状与上升时相同，即从B到A，再把B到A的过程与B到C的过程相比较，因下落时间相同，根据它们水平位移之比eq \f(\(OC,\s\up6(－)),\(OA,\s\up6(－)) )＝eq \f(1,2)，可得反弹速度v′＝eq \f(1,2)v0cs θ＝eq \f(\r(2),4)v0，即eq \f(v′,v0)＝eq \f(\r(2),4)。故选项D正确。
答案 D
1.(对抛体运动的理解)(多选)关于斜抛运动，下列说法正确的是( )
A.抛物体的运动就是抛体运动
B.抛体运动是匀变速曲线运动
C.抛体运动在竖直方向上做自由落体运动
D.竖直上抛运动不是抛体运动
解析 被抛出的物体，若只受重力，则物体的运动是抛体运动，A错误；抛体运动的加速度是重力加速度，恒定不变，所以抛体运动是匀变速曲线运动，B正确；平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，C错误；抛体运动分为平抛运动、竖直上抛运动、竖直下抛运动和斜抛运动， D错误。
答案 B
2.(斜抛运动的轨迹)有A、B两小球，B的质量为A的两倍。现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力。图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是( )
A.① B.②
C.③ D.④
解析 斜抛运动是匀变速曲线运动，其加速度都为重力加速度，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做竖直上抛运动，两球初速度相同，所以运动轨迹相同，与质量大小无关。
答案 A
3.(斜抛运动的规律及应用)(多选)如图是斜向上抛出的物体的轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述中正确的是(不计空气阻力)( )
A.物体在C点的速度为零
B.物体在A点的速度与在B点的速度相同
C.物体在A点、B点的水平分速度均等于物体在C点的速度
D.物体在A、B、C各点的加速度都相同
解析 速度是矢量，A、B处速度大小相等，方向不相同。在水平方向上是匀速直线运动，竖直方向的加速度总为g。
答案 CD
4.(斜抛运动的规律及应用)如图所示，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取 10 m/s2。求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间t；
(3)射高h和水平射程s。
解析 (1)根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时的速度大小相等，故v0＝vt＝30 m/s，设与水平方向夹角为θ，则cs θ＝eq \f(v,v0)＝eq \f(4,5)，故θ＝37°。
(2)由(1)知，竖直方向的初速度为
vy＝eq \r(veq \\al(2,0)－v2)＝eq \r(302－242) m/s＝18 m/s，
故飞行时间t＝2eq \f(vy,g)＝2×eq \f(18,10) s＝3.6 s。
(3)射高h＝eq \f(veq \\al(2,y),2g)＝eq \f(182,2×10) m＝16.2 m，
水平射程s＝vt＝24×3.6 m＝86.4 m。
答案 (1)30 m/s，与水平方向夹角为37° (2)3.6 s
(3)16.2 m 86.4 m
基础过关
1.做斜抛运动的物体，下列说法不正确的是( )
A.水平分速度不变
B.加速度不变
C.在相同的高度处速度大小相同
D.经过最高点时，瞬时速度为零
解析 斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，所以A正确；斜抛物体只受重力作用，加速度恒定，B正确；根据运动的对称性，物体在相同的高度处的速度大小相等，C正确；经过最高点时，竖直分速度为零，水平分速度不为零，D错误。
答案 D
2.一位田径运动员在跳远比赛中以10 m/s的速度沿与水平面成30°的角度起跳，在落到沙坑之前，他跳远成绩最接近(g取10 m/s2)( )
A.4.2 m B.6 m
C.8.5 m D.10 m
解析 起跳时竖直向上的分速度
v0y＝v0sin 30°＝10×eq \f(1,2) m/s＝5 m/s
所以在空中滞留的时间为t＝eq \f(2v0y,g)＝eq \f(2×5,10) s＝1 s
水平位移即该运动员的位移为
s＝v0tcs 30°＝10×1×eq \f(\r(3),2) m≈8.7 m，故选项C正确。
答案 C
3.(多选)关于斜抛运动的射高，下列说法中正确的是( )
A.初速度越大，射高越大
B.抛射角越大，射高越大
C.初速度一定时，抛射角越大，射高越大
D.抛射角一定时，初速度越大，射高越大
解析 斜抛运动的射高，是由初速度和抛射角共同决定的，初速度一定时，抛射角越大，射高越大；抛射角一定时，初速度越大，射高也越大，故C、D正确。
答案 CD
4.在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A.一样大 B.水平抛的最大
C.斜向上抛的最大 D.斜向下抛的最大
解析 不计空气阻力的抛体运动，机械能守恒。故以相同的速率向不同的方向抛出落至同一水平地面时，物体速度的大小相等。
答案 A
5.做斜上抛的物体的运动可以分解为水平和竖直方向的两个分运动，下列图像中能正确描述竖直方向上物体运动的速度的是( )
解析 斜上抛运动的竖直分运动是竖直上抛运动，其运动的速度先均匀减小到零，后反向均匀增大，由于规定向上为正方向，故速度先为正，后为负，C正确。
答案 C
6.某人在地面以大小为20 m/s、方向与水平地面成30°角的速度，上抛一个物体，此物体运动到最高点所用的时间是(g取10 m/s2)( )
A.2 s B.0.5 s
C.4 s D.1 s
解析 斜抛运动在竖直方向以v0sin θ即10 m/s做竖直上抛运动，所以物体运动到最高点的时间t＝eq \f(v0sin θ,g)＝eq \f(10,10) s＝1 s。所以选D。
答案 D
7.如图所示，水平地面上不同位置的三个小球斜上抛，沿三条不同的路径运动最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的，若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是( )
A.沿路径1抛出的小球落地的速率最小
B.沿路径3抛出的小球在空中运动时间最长
C.三个小球抛出的初速度竖直分量相等
D.三个小球抛出的初速度水平分量相等
解析 竖直方向上，因为高度一样，所以初速度的竖直分量一样，运动时间一样，所以B错误，C正确；水平方向上，由于路径1水平位移最大，而运动时间一样，所以1的水平速度最大，所以D错误；沿路径1运动的小球初速度最大，由于整个过程外力不做功，所以初、末速度大小相等，所以落地速度1最大，所以A错误。
答案 C
8.一小球从水平地面以v0斜抛而出，最后又落回同一水平面，不计空气阻力，在下图中能正确表示速度矢量的变化过程的是( )
解析 斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，所以速度变化量的方向可以由Δv＝gt来判断，因此Δv的方向应竖直向下，其表示任意两时刻速度的有向线段末端的连线保持竖直，故只有C正确。
答案 C
能力提升
9.(多选)以相同的初速率、不同的抛射角同时抛出三个小球A、B、C，三球在空中的运动轨迹如图所示，则下列说法中正确的是(不考虑空气阻力)( )
A.A、B、C三球在运动过程中，加速度都相同
B.B球的射程最远，所以最迟落地
C.A球的射高最大，所以最迟落地
D.B球的抛射角一定为45°
解析 A、B、C三球在运动过程中只受重力作用，故具有相同的加速度g，A选项正确；斜抛运动可以分成上升和下落两个过程，下落过程就是平抛运动，根据平抛物体在空中的飞行时间只决定于抛出点的高度可知，A球从抛物线顶点落至地面所需的时间最长，再由对称性可知，斜抛物体上升和下落所需的时间是相等的，所以A球最迟落地，故C选项正确，B选项错误；B球的射程相对于A、C最远，但不一定是该初速率对应的最远射程，故抛射角不一定为45°，因此D选项错误。
答案 AC
10.(多选)如图所示，在水平地面上的A点以v1速度跟地面成θ角射出一弹丸，恰好以v2速度垂直穿入竖直墙壁上的小孔B，下面说法正确的是(不计空气阻力)( )
A.在B点以跟v2大小相等的速度，跟v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点
B.在B点以跟v1大小相等的速度，跟v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点
C.在B点以跟v1大小相等的速度，跟v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点左侧
D.在B点以跟v1大小相等的速度，跟v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点右侧
解析 物体以v1斜抛后，其水平方向为匀速直线运动，则v1cs θ＝v2，若在B点以大小为v2，方向与v2方向相反的初速度射出弹丸，则弹丸做平抛运动，应落在A点，故选项A正确；若在B点以跟v1大小相等的速度沿v2反方向射出弹丸，则因v1＞v2，弹丸将落在A点左侧，故选项C正确。
答案 AC
11.(多选)如图所示，在地面的A点用弹弓以vA的速度打出一石子，方向与水平地面成θ角，石子落在楼顶上的B点，此时石子的速度为vB，不计阻力，以下说法中正确的是( )
A.若在B点以与vB大小相等、方向相反的速度投出石子，则石子将落在A点
B.若在B点以与vA大小相等、与vB方向相反的速度投出石子，则石子将落在A点
C.若在B点以与vB大小相等、方向相反的速度投出石子，则石子将落在A点的右侧
D.若在B点以与vA大小相等、与vB方向相反的速度投出石子，则石子将落在A点的左侧
解析 由斜抛运动的对称性知，若在B点以与vB大小相等、方向相反的速度投出石子，则石子必将逆着原来运动的轨迹落在A点，A项正确，C项错误；由于vA＞vB，若在B点以与vA等大与vB反向的速度抛出石子，则由于vAy＞vBy，石子在空中运动的时间将增大，又vAx＞vBx，则石子从B点以vA抛出后落地的水平射程将增大，故石子落在A点的左侧，B项错误，D项正确。
答案 AD
12.世界上最窄的海峡是苏格兰的塞尔海峡，它位于欧洲大陆与塞尔岛之间。这个海峡只有约6 m宽，假设有一位运动员，他要以相对于水平面为37°的角度进行“越海之跳”，可使这位运动员越过这个海峡的最小初速度是多少？(忽略空气阻力，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2)
解析 设该运动员的最小初速度为v0，其射程恰为6 m，则其水平分速度：v0x＝v0cs 37°
射程：s＝v0xt
竖直分速度：v0y＝v0sin 37°
运动时间：t＝2eq \f(v0y,g)
由以上几式代入数据解得v0＝eq \f(5,2)eq \r(10) m/s。
答案 eq \f(5,2)eq \r(10) m/s
13.电脑控制果蔬自动喷灌技术被列为全国节水灌溉示范项目，在获得经济效益的同时也获得了社会效益。从水管中射出的水流轨迹呈现一道道美丽的弧线，如果水喷出管口的速度是20 m/s，管口与水平方向的夹角为45°，空气阻力不计，试计算水的射程和射高各为多少？(g取10 m/s2)
解析 水的竖直分速度
vy＝v0sin 45°＝10eq \r(2) m/s
上升的最大高度
h＝eq \f(veq \\al(2,y),2g)＝eq \f(（10\r(2)）2,20) m＝10 m
水在空中的飞行时间为t＝2eq \f(vy,g)＝2eq \r(2) s
水的水平分速度vx＝v0cs 45°＝10eq \r(2) m/s
水平射程s＝vxt＝10eq \r(2)×2eq \r(2) m＝40 m。
答案 40 m 10 m
核心素养
物理观念
科学探究
科学思维
科学态度与责任
1.知道抛体运动的定义。
2.知道抛体运动的分类。
3.能利用运动的合成与分解处理抛体运动问题。
探究斜抛运动的射程、射高跟初速度和抛射角的关系。
抛体运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
应用抛体运动的规律解决喷泉、链球、铁饼、标枪等相关实际问题。
物理量
表达式
与θ关系
θ<45°且增大
θ>45°且增大
射高h
h＝eq \f(veq \\al(2,0)sin 2θ,2g)
增大
增大
射程s
s＝eq \f(veq \\al(2,0)sin 2θ,g)
增大
减小
飞行时间t
t＝eq \f(2v0sin θ,g)
增大
增大
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