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高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第4节 势能及其改变学案
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这是一份高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第4节 势能及其改变学案，共21页。
知识点一 重力势能
[观图助学]
观察高空坠物和水利发电的图片，是不是处在高处的物体都有与之位置相对应的能量？
1.定义：物体因为处于一定的高度而具有的能量称为重力势能。
2.公式：Ep＝mgh。
3.单位：焦耳，符号J。
4.标矢性：重力势能是标量，但有正负之分。
5.相对性
(1)参考平面：高度规定为零的水平面。任何物体在该平面上的重力势能为零。参考平面的选取是任意的，通常情况下选取地面为参考平面。
(2)相对性：物体的重力势能是相对的，它是相对于零势能参考面而言的。物体的重力势能可以取正、零、负值，其正负不表示方向，只表示物体位于参考平面的上方或下方。
[思考判断]
(1)不同物体在同一高度，重力势能可以不同。(√)
(2)重力势能的大小是相对的。(√)
(3)在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零。(×)
与相对位置有关的一种能量称之为势能。
参考平面的选择是任意的，选取原则是为了研究问题方便；研究地面上的物体，一般取地面为参考面。
重力势能是标量，重力势能的正负除在空间位置上表示物体位于参考平面的上方或下方外，还表示重力势能的大小。
知识点二 重力做功与重力势能的改变
[观图助学]
设想你要从某座高楼的第17层下到第8层，你可以乘电梯下，也可以沿楼梯走下。两种方式下楼，重力对你做的功是否相等？
1.重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关；重力做功总是对应于物体重力势能的变化，两者的大小相等，并且与是否存在其他作用力及其他力是否做功无关。
2.两者间的关系：重力对物体做多少功，物体的重力势能就减少多少；物体克服重力做多少功，物体的重力势能就增加多少。
3.关系式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
[思维拓展]
(1)重力做功多少取决于物体的重力和它通过的位移。(×)
(2)物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加。(√)
(3)重物由高空落向地面，空气阻力越大，重力做功越少。(×)
左图中的两种下楼方式，重力做功是相等的，重力是恒力，重力做功等于重力乘以初末位置的高度差。
同一物体由A点沿三条不同的轨道滑到地面，重力做功相同，重力做功只与初末位置的高度差有关。
知识点三 弹性势能的改变
[观图助学]
观察上图，撑杆跳中的杆与拉开的弓是否都因形变而具有能量？
1.弹性势能：物体因为发生弹性形变而具有的能量。
2.影响弹性势能的因素：一个物体弹性势能的大小，取决于弹性形变的大小。
3.弹性势能的改变：物体弹性势能的改变总是与弹力做功相对应，即弹力对外做了多少功，弹性势能就减少多少。反之，克服弹力做了多少功，弹性势能就增加多少。
4.势能：由相对位置决定的能称为势能，势能是存储于一个物体系统内的能量，不是物体单独具有的，包括重力势能和弹性势能。
[思考判断]
(1)弹性势能与物体的形变量有关。(√)
(2)除了弹力做功之外，其他力做功不影响弹性势能。(√)
(3)弹力做正功，弹性势能就增大；弹力做负功，弹性势能就减小。(×),
撑杆跳中的杆和拉开的弓都因形变而具有弹性势能，但是发生形变的物体不一定都具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能。
橡皮条被拉的越长，弹珠就被弹的越远。
结论：弹性形变越大，弹性势能越大。
重力势能是物体与地球所组成的“系统”共有的，不是物体单独具有的。
核心要点 重力势能与重力势能的变化
[问题探究]
如图所示，桌面距地面h1，一物体质量为m，静止在距桌面h2处。
(1)以地面为参考平面，物体具有的势能是多少？物体由静止下落到地面的过程中，重力势能减少了多少？
(2)以桌面为参考平面，物体具有的势能是多少？物体由静止下落到地面的过程中，重力势能减少了多少？
(3)以上分析说明什么？
答案 (1) Ep1＝mg(h1＋h2)，ΔEp＝mg(h1＋h2)。
(2)Ep2＝mgh2，ΔEp′＝mg(h1＋h2)。
(3)重力势能的大小与零势面选取有关，而重力势能改变量的大小与零势面选取无关。
[探究归纳]
1.重力势能的性质
2.重力势能的正负
重力势能是标量但有正负值，其正、负表示物体重力势能相对于参考平面所具有的重力势能的大小。
(1)正值表示：物体位于参考平面以上，其重力势能Ep>0。
(2)负值表示：物体位于参考平面以下，其重力势能Ep<0。
[经典示例]
[例1] 如图所示，质量为3 kg的物体(可视为质点)放在高4 m的平台上，g取10 m/s2。
求：(1)物体相对于平台表面的重力势能是多少？
(2)物体相对于地面的重力势能是多少？
(3)物体从平台落到地面上，重力势能变化了多少？
解析 (1)以平台为参考平面，物体的重力势能为0。
(2)以地面为参考平面，物体的重力势能
Ep＝mgh＝3×10×4 J＝120 J。
(3)以地面为参考平面，物体落到地面，重力势能变化了ΔEp＝0－120 J＝－120 J。
答案 (1)0 (2)120 J (3)减少了120 J
[针对训练1] 下列关于重力势能的说法正确的是( )
A.重力势能的大小只由重物本身决定
B.所处位置高的物体，则重力势能就大
C.在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零
D.重力势能实际上是物体和地球所共有的
解析 重力势能等于物体的重力与物体重心高度的乘积，故选项A、B错误；重力势能具有相对性，零势能位置的选取是任意的，地面不一定是零势能位置，选项C错误；重力是物体与地球间的作用力，重力势能实际上也是地球与物体共有的，重力势能具有系统性，选项D正确。
答案 D
方法凝练
(1)在求解重力势能时，零势能参考平面的选取是任意的，通常情况下，常选取地面作为零势能参考平面。
(2)不管选取哪个平面作为零势能参考平面，重力势能的变化总是不变的，是绝对的。
核心要点 重力做功与重力势能的变化
[情景探究]
图为幼儿园小朋友们正在兴高采烈地玩滑梯，小朋友从梯子爬上滑梯顶的过程中，重力做正功还是负功，小朋友的重力势能增大还是减小？小朋友从滑梯滑下的过程中呢？
答案 小朋友从梯子爬上滑梯顶的过程中，重力做负功，小朋友的重力势能增大；小朋友从滑梯滑下的过程中，重力做正功，小朋友的重力势能减小。
[探究归纳]
1.重力势能的变化
重力势能的变化(ΔEp)是指一个物体在运动过程中末状态的重力势能Ep2(相对于参考平面的高度为h2)与初状态的重力势能Ep1(相对于同一参考平面的高度为h1)两者的差值，即
ΔEp＝Ep2－Ep1＝mgh2－mgh1
(1)若ΔEp＞0，即Ep2＞Ep1，物体的重力势能增加。
(2)若ΔEp＜0，即Ep2＜Ep1，物体的重力势能减少。
(3)若ΔEp＝0，即Ep2＝Ep1，物体的重力势能不变。
2.重力做功与重力势能改变的关系
(1)数量关系
WG＝mgh1－mgh2＝Ep1－Ep2＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp
即重力所做的功等于物体重力势能的减少量。
(2)相互关系
①当物体由高处运动到低处时，WG＞0，则ΔEp＜0，表明重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力做的功。
②当物体由低处运动到高处时，WG＜0，则ΔEp＞0，表明重力做负功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力做的功。
[经典示例]
[例2] 吊车以eq \f(g,4)的加速度将质量为m的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h，则吊车钢索的拉力对物体做的功为多少？物体克服重力做的功为多少？物体的重力势能变化了多少？(不计空气阻力)
解析 设吊车钢索对物体的拉力为F，物体的加速度a＝eq \f(g,4)，由牛顿第二定律得mg－F＝ma，故F＝mg－ma＝eq \f(3,4)mg，方向竖直向上，所以拉力做的功WF＝Fh＝eq \f(3,4)mgh；重力做的功WG＝－mgh，即此过程中物体克服重力做功为mgh。又ΔEp＝Ep2－Ep1＝－WG＝mgh，因此物体的重力势能增加了mgh。
答案 eq \f(3,4)mgh mgh 增加了mgh
[针对训练2] (多选)关于重力做功和物体的重力势能，下列说法中正确的是( )
A.当重力对物体做正功时，物体的重力势能一定减少
B.物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加
C.地球上任何一个物体的重力势能都有一个确定值
D.重力做功的多少与参考平面的选取无关
解析 物体重力势能的大小与参考平面的选取有关，故C错误；重力做正功时，物体由高处向低处运动，重力势能一定减少，反之，物体克服重力做功时，重力势能一定增加，故A、B正确；重力做多少功，物体的重力势能就变化多少，重力势能的变化与参考平面的选取无关，故D正确。
答案 ABD
核心要点 弹性势能与弹性势能的变化
[观察探究]
如图，小朋友在玩蹦蹦杆时，不停地向上跳起和下落。
(1)小朋友下落时将弹簧压缩，弹力做什么功？弹性势能怎样变化？
(2)小朋友向上弹起，弹力做什么功？弹性势能怎样变化？弹簧弹力做功与弹性势能有何关系？
答案 (1)做负功 弹性势能增加。
(2)做正功 弹性势能减少。弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。
[探究归纳]
1.弹性势能的产生及影响因素
2.弹性势能变化与弹力做功的关系
如图所示，O为弹簧的原长处。
(1)弹力做负功：如物体由O向A运动(压缩)或由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
(2)弹力做正功：如物体由A向O运动或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹性势能的变化量总等于弹力对外做功的负值，表达式为－ΔEp＝W弹。
[经典示例]
[例3] 一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则( )
A.h愈大，弹簧在A点的压缩量愈大
B.弹簧在A点的压缩量与h无关
C.h愈大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能愈大
D.小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大
审题指导 小球最终在弹簧上静止时，弹簧弹力与重力平衡，A点的位置与h无关。
解析 最终小球静止在A点时，通过受力分析，小球受自身重力mg与弹簧的弹力kx大小相等，由mg＝kx得，弹簧在A点的压缩量x与h无关，弹簧弹性势能与h无关。
答案 B
误区警示 理解弹性势能时应注意的两个问题
1.弹簧的弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量(拉伸或缩短的长度)共同决定，劲度系数越大，形变量越大，弹簧的弹性势能越大。
2.弹性势能具有相对性，但其变化量具有绝对性，因此，在判断弹性势能的变化时不必考虑零势能的位置。
[针对训练3] 如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动。在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
A.弹簧的弹性势能逐渐减小
B.弹簧的弹性势能逐渐增大
C.弹簧的弹性势能先增大后减小
D.弹簧的弹性势能先减小后增大
审题指导 物块与弹簧连接，则撤去力F后，存在拉伸弹簧的过程。
解析 弹性势能的变化是由弹力做功引起的，弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加。在力F作用下物体处于静止状态时，弹簧处于压缩状态，撤去F后，在物体向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大。
答案 D
1.(对重力势能的理解)关于重力势能，以下说法中正确的是( )
A.某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的
B.重力势能为0的物体，不可能对别的物体做功
C.物体做匀速直线运动时，重力势能一定不变
D.只要重力做功，重力势能一定变化
解析 选取不同的零势能面，则同一位置的物体的重力势能是不同的，A错误；重力势能为零只是表明物体处于零势能面上，它对其他物体同样可以做功，B错误；物体若在竖直方向做匀速直线运动，则物体的高度变化，重力势能也会发生变化，C错误；重力做功是重力势能变化的量度，故若重力做功，重力势能一定发生变化，故D正确。
答案 D
2.(对重力做功特点的理解)某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，则下列说法正确的是( )
A.从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功
B.从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功
C.从A到B重力做功mg(H＋h)
D.从A到B重力做功mgH
解析 重力对物体所做的功只与初、末位置的高度差有关，大小为WG＝mgH，故正确选项为D。
答案 D
3.(对重力势能变化的理解)如图所示，静止的物体沿不同的光滑轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为H，桌面距地面高为h，物体质量为m，重力加速度为g，则以下说法正确的是( )
A.物体沿竖直轨道下滑到桌面上，重力势能减少最少
B.物体沿曲线轨道下滑到桌面上，重力势能减少最多
C.以桌面为参考平面，物体重力势能减少mgH
D.以地面为参考平面，物体重力势能减少mg(H＋h)
解析 重力做功与路径无关，所以无论沿哪条轨道下落，重力做功相同，重力做功W＝mgH，再由W＝－ΔEp，所以ΔEp＝－mgH，即物体重力势能减少mgH，故C正确，A、B、D错误。
答案 C
4.(对弹性势能变化的理解)如图所示，撑杆跳是运动会中常见的比赛项目，用于撑起运动员的杆要求具有很好的弹性，下列关于运动员撑杆跳起过程的说法正确的是( )
A.运动员撑杆刚刚触地时，杆弹性势能最大
B.运动员撑杆跳起到达最高点时，杆弹性势能最大
C.运动员撑杆触地后上升到最高点之前某时刻，杆弹性势能最大
D.以上说法均有可能
解析 杆形变量最大时，弹性势能最大，杆刚触地时没有形变，人到最高点时，杆已由弯曲到基本完全伸直。故选项C正确。
答案 C
5.(重力做功与重力势能的关系)国际田联室内许可赛斯德哥尔摩站比赛中，俄罗斯撑竿跳巨星伊辛巴耶娃以5.01 m的成绩打破了她自己保持的室内撑竿跳世界纪录，这是她个人第28次打破世界纪录。已知伊辛巴耶娃身高1.74 m，体重65 kg，则她从起跳到跳过5.01 m的过程中，为克服重力至少要做多少功？她的重力势能改变了多少？(g取10 m/s2)
解析 伊辛巴耶娃身高1.74 m，人的重心大约在人身高的一半的位置，即0.87 m处，在撑竿跳的过程中，人的重心升高的高度为
h＝5.01 m－0.87 m＝4.14 m
克服重力所做的功为
W＝mgh＝65×10×4.14 J＝2 691 J
重力势能增加了2 691 J。
答案 2 691 J 2 691 J
基础过关
1.甲、乙两个物体的位置如图所示，质量关系m甲
A.Ep1>Ep2 B.Ep1
C.Ep1＝Ep2 D.无法判断
解析 取桌面为零势能面，则Ep1＝0，物体乙在桌面以下，Ep2<0，故Ep1>Ep2，故A项正确。
答案 A
2.图中虚线是一跳水运动员在跳水过程中其重心运动的轨迹，则从起跳至入水的过程中，该运动员的重力势能( )
A.一直减小 B.一直增大
C.先增大后减小 D.先减小后增大
解析 运动员从起跳至入水过程中，其重心位置先升高后降低，重力先做负功后做正功，其重力势能先增大后减小，故C正确。
答案 C
3.如图所示，某物体分别沿三条不同的轨道，由离地h高的A点滑至B点，轨道Ⅱ光滑，轨道Ⅰ、Ⅲ均有摩擦，则重力做功多少的情况是( )
A.沿轨道Ⅰ滑下多
B.沿轨道Ⅱ滑下多
C.沿轨道Ⅲ滑下多
D.沿三条轨道滑下时重力做功相等
解析 重力做功只与初、末位置的高度差有关，故D正确。
答案 D
4.(多选)如图所示，一物体从A点沿粗糙面AB与光滑面AC分别滑到同一水平面上的B点与C点，则下列说法中正确的是( )
A.沿AB面重力做功多
B.沿两个面重力做的功相同
C.沿AB面重力势能减少得多
D.沿两个面减少的重力势能相同
解析 物体重力做功的多少只与它运动的初、末位置的高度差有关，与其他因素无关，所以沿两个面重力做的功相同，A错误，B正确；由于重力势能的变化总等于重力所做的功，故沿两个面减少的重力势能相同，C错误，D正确。
答案 BD
5.一物体在自由下落过程中，重力做了2 J的功，则( )
A.该物体重力势能减少，减少量等于2 J
B.该物体重力势能减少，减少量大于2 J
C.该物体重力势能减少，减少量小于2 J
D.该物体重力势能增加，增加量等于2 J
解析 物体下落时重力做正功，重力势能减少，减少量等于重力做的功，故A正确。
答案 A
6.如图所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1＞h2，小球触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中，正确的一组是( )
A.ΔE1＝ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2
B.ΔE1>ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2
C.ΔE1＝ΔE2，ΔEp1>ΔEp2
D.ΔE1>ΔE2，ΔEp1>ΔEp2
解析 小球速度最大的条件是弹力等于重力，两种情况下，对应于同一位置，则ΔEp1＝ΔEp2，由于h1＞h2，所以ΔE1>ΔE2，B正确。
答案 B
7.如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达eq \f(h,4)的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为( )
A.eq \f(mgh,4) B.eq \f(3mgh,4)
C.mgh D.0
解析 根据重力做功的公式，W＝mg(h1－h2)＝eq \f(3mgh,4)，选项B正确。
答案 B
8.一根粗细均匀的长直铁棒重600 N，平放在水平地面上。现将一端从地面抬高0.50 m，而另一端仍在地面上，则( )
A.铁棒的重力势能增加了300 J
B.铁棒的重力势能增加了150 J
C.铁棒的重力势能增加量为 0
D.铁棒重力势能增加多少与参考平面选取有关，所以无法确定
解析 铁棒的重心升高的高度h＝0.25 m，铁棒增加的重力势能等于克服重力做的功，与参考平面选取无关，即ΔEp＝mgh＝600×0.25 J＝150 J，故B正确。
答案 B
9.在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为m的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动h，力F做功W1，此时木块再次处于平衡状态，如图所示。求：
(1)在木块下移h的过程中重力势能的减少量；
(2)在木块下移h的过程中弹性势能的增加量。
解析 (1)据重力做功与重力势能变化的关系有
ΔEp减＝WG＝mgh
(2)据弹力做功与弹性势能变化的关系有ΔEp增′＝－W弹
又因木块缓慢下移，力F与重力mg的合力与弹力等大、反向，
所以W弹＝－W1－WG＝－W1－mgh
所以弹性势能增量ΔEp增′＝W1＋mgh
答案 (1)mgh (2)W1＋mgh
能力提升
10.物体做自由落体运动，其相对于地面的重力势能与下落速度的关系，图中正确的是( )
解析 设物体原来高度为h0，具有重力势能为Ep0＝mgh0，下落过程中有Ep＝mg(h0－eq \f(1,2)gt2)＝Ep0－eq \f(1,2)mg2t2＝Ep0－eq \f(1,2)mv2，即C正确。
答案 C
11.如图所示，物体A的质量为m，A的上端连接一个轻弹簧原长为L0，劲度系数为k，整个系统置于水平地面上，现将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，B点上移距离为L，此时物体A也已经离开地面，则下列说法中正确的是( )
A.提弹簧的力对系统做功为mgL
B.物体A的重力势能增加mgL
C.物体A的重力势能增加mg(L－L0)
D.物体A的重力势能增加mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L－\f(mg,k)))
解析 将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，由于开始时有支持力，故拉力先小于mg，物体离地后等于mg，拉力的位移为L，故提弹簧的力对系统做功小于mgL，故A错误；B点上移距离为L，弹簧伸长量为ΔL＝eq \f(mg,k)，故A上升的高度为L－ΔL，所以A的重力势能增加mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L－\f(mg,k)))，故B、C错误，D正确。
答案 D
12.(多选)如图所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平。用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中( )
A.软绳重力势能共减少了eq \f(1,2)mgl
B.软绳重力势能共减少了eq \f(1,4)mgl
C.软绳重力势能的减少等于软绳的重力所做的功
D.软绳重力势能的减少等于物块对它做的功与软绳克服自身重力、摩擦力所做功之和
解析 选斜面顶端为参考平面，软绳重力势能共减少mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)lsin θ))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)mgl))＝eq \f(1,4)mgl，A错误，B正确；根据重力做功与重力势能变化的关系知道，软绳重力势能的减少量等于软绳的重力所做的功，C正确，D错误。
答案 BC
13.通过探究得到弹簧的弹性势能的表达式为Ep＝eq \f(1,2)kx2，式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧伸长(或缩短)的长度，请利用弹性势能表达式计算下列问题。
放在地面上的物体上端系在劲度系数k＝400 N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图所示，手拉绳子的另一端，当往下拉0.1 m时，物体开始离开地面，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h＝0.5 m高处。如果不计弹簧自重和滑轮与绳的摩擦，求整个过程拉力所做的功以及弹性势能的最大值。
解析 由题意知弹簧的最大伸长量
x＝0.1 m
则最大弹性势能
Ep＝eq \f(1,2)kx2＝eq \f(1,2)×400×0.12 J＝2 J
此过程中拉力做的功与弹力做的功数值大小相等，
则有W1＝W弹＝|ΔEp|＝2 J
刚好离开地面时有
G＝F＝kx＝400×0.1 N＝40 N
则物体缓慢升高时F＝40 N
物体上升h＝0.5 m，拉力克服重力做功
W2＝Fh＝Gh＝40×0.5 J＝20 J
拉力共做功W＝W1＋W2＝20 J＋2 J＝22 J。
答案 22 J 2 J
14.如图所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m的跳台上以v0＝5 m/s的速度斜向上起跳，最终落入水，若忽略运动员的身高，取g＝10 m/s2。求：
(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为零势能参考平面)；
(2)运动员起跳时的动能；
(3)运动员入水时的速度大小。
解析 (1)以水面为零势能参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为
Ep＝mgh＝5 000 J。
(2)运动员起跳时的速度为v0＝5 m/s，
则运动员起跳时的动能为Ek＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝625 J。
(3)运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，由动能定理得
mgh＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
得v＝15 m/s。
答案 (1)5 000 J (2)625 J (3)15 m/s
核心素养
物理观念
学科探究
科学思维
1.知道重力势能的定义，并记住其公式、单位等。
2.理解重力势能与重力势能改变的不同。
3.理解弹性势能的概念。
重力做功与重力势能变化的关系；弹力做功与弹性势能变化的关系。
影响重力势能、弹性势能大小的因素。
系统性
重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，不是地球上的物体单独具有的
相对性
重力势能Ep＝mgh与参考平面的选择有关，式中的h是物体重心到参考平面的高度
任意性
视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势能面
绝对性
物体从起点运动到终点的过程中，重力势能的变化量与参考平面的选取无关，是绝对的
知识点一 重力势能
[观图助学]
观察高空坠物和水利发电的图片，是不是处在高处的物体都有与之位置相对应的能量？
1.定义：物体因为处于一定的高度而具有的能量称为重力势能。
2.公式：Ep＝mgh。
3.单位：焦耳，符号J。
4.标矢性：重力势能是标量，但有正负之分。
5.相对性
(1)参考平面：高度规定为零的水平面。任何物体在该平面上的重力势能为零。参考平面的选取是任意的，通常情况下选取地面为参考平面。
(2)相对性：物体的重力势能是相对的，它是相对于零势能参考面而言的。物体的重力势能可以取正、零、负值，其正负不表示方向，只表示物体位于参考平面的上方或下方。
[思考判断]
(1)不同物体在同一高度，重力势能可以不同。(√)
(2)重力势能的大小是相对的。(√)
(3)在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零。(×)
与相对位置有关的一种能量称之为势能。
参考平面的选择是任意的，选取原则是为了研究问题方便；研究地面上的物体，一般取地面为参考面。
重力势能是标量，重力势能的正负除在空间位置上表示物体位于参考平面的上方或下方外，还表示重力势能的大小。
知识点二 重力做功与重力势能的改变
[观图助学]
设想你要从某座高楼的第17层下到第8层，你可以乘电梯下，也可以沿楼梯走下。两种方式下楼，重力对你做的功是否相等？
1.重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关；重力做功总是对应于物体重力势能的变化，两者的大小相等，并且与是否存在其他作用力及其他力是否做功无关。
2.两者间的关系：重力对物体做多少功，物体的重力势能就减少多少；物体克服重力做多少功，物体的重力势能就增加多少。
3.关系式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
[思维拓展]
(1)重力做功多少取决于物体的重力和它通过的位移。(×)
(2)物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加。(√)
(3)重物由高空落向地面，空气阻力越大，重力做功越少。(×)
左图中的两种下楼方式，重力做功是相等的，重力是恒力，重力做功等于重力乘以初末位置的高度差。
同一物体由A点沿三条不同的轨道滑到地面，重力做功相同，重力做功只与初末位置的高度差有关。
知识点三 弹性势能的改变
[观图助学]
观察上图，撑杆跳中的杆与拉开的弓是否都因形变而具有能量？
1.弹性势能：物体因为发生弹性形变而具有的能量。
2.影响弹性势能的因素：一个物体弹性势能的大小，取决于弹性形变的大小。
3.弹性势能的改变：物体弹性势能的改变总是与弹力做功相对应，即弹力对外做了多少功，弹性势能就减少多少。反之，克服弹力做了多少功，弹性势能就增加多少。
4.势能：由相对位置决定的能称为势能，势能是存储于一个物体系统内的能量，不是物体单独具有的，包括重力势能和弹性势能。
[思考判断]
(1)弹性势能与物体的形变量有关。(√)
(2)除了弹力做功之外，其他力做功不影响弹性势能。(√)
(3)弹力做正功，弹性势能就增大；弹力做负功，弹性势能就减小。(×),
撑杆跳中的杆和拉开的弓都因形变而具有弹性势能，但是发生形变的物体不一定都具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能。
橡皮条被拉的越长，弹珠就被弹的越远。
结论：弹性形变越大，弹性势能越大。
重力势能是物体与地球所组成的“系统”共有的，不是物体单独具有的。
核心要点 重力势能与重力势能的变化
[问题探究]
如图所示，桌面距地面h1，一物体质量为m，静止在距桌面h2处。
(1)以地面为参考平面，物体具有的势能是多少？物体由静止下落到地面的过程中，重力势能减少了多少？
(2)以桌面为参考平面，物体具有的势能是多少？物体由静止下落到地面的过程中，重力势能减少了多少？
(3)以上分析说明什么？
答案 (1) Ep1＝mg(h1＋h2)，ΔEp＝mg(h1＋h2)。
(2)Ep2＝mgh2，ΔEp′＝mg(h1＋h2)。
(3)重力势能的大小与零势面选取有关，而重力势能改变量的大小与零势面选取无关。
[探究归纳]
1.重力势能的性质
2.重力势能的正负
重力势能是标量但有正负值，其正、负表示物体重力势能相对于参考平面所具有的重力势能的大小。
(1)正值表示：物体位于参考平面以上，其重力势能Ep>0。
(2)负值表示：物体位于参考平面以下，其重力势能Ep<0。
[经典示例]
[例1] 如图所示，质量为3 kg的物体(可视为质点)放在高4 m的平台上，g取10 m/s2。
求：(1)物体相对于平台表面的重力势能是多少？
(2)物体相对于地面的重力势能是多少？
(3)物体从平台落到地面上，重力势能变化了多少？
解析 (1)以平台为参考平面，物体的重力势能为0。
(2)以地面为参考平面，物体的重力势能
Ep＝mgh＝3×10×4 J＝120 J。
(3)以地面为参考平面，物体落到地面，重力势能变化了ΔEp＝0－120 J＝－120 J。
答案 (1)0 (2)120 J (3)减少了120 J
[针对训练1] 下列关于重力势能的说法正确的是( )
A.重力势能的大小只由重物本身决定
B.所处位置高的物体，则重力势能就大
C.在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零
D.重力势能实际上是物体和地球所共有的
解析 重力势能等于物体的重力与物体重心高度的乘积，故选项A、B错误；重力势能具有相对性，零势能位置的选取是任意的，地面不一定是零势能位置，选项C错误；重力是物体与地球间的作用力，重力势能实际上也是地球与物体共有的，重力势能具有系统性，选项D正确。
答案 D
方法凝练
(1)在求解重力势能时，零势能参考平面的选取是任意的，通常情况下，常选取地面作为零势能参考平面。
(2)不管选取哪个平面作为零势能参考平面，重力势能的变化总是不变的，是绝对的。
核心要点 重力做功与重力势能的变化
[情景探究]
图为幼儿园小朋友们正在兴高采烈地玩滑梯，小朋友从梯子爬上滑梯顶的过程中，重力做正功还是负功，小朋友的重力势能增大还是减小？小朋友从滑梯滑下的过程中呢？
答案 小朋友从梯子爬上滑梯顶的过程中，重力做负功，小朋友的重力势能增大；小朋友从滑梯滑下的过程中，重力做正功，小朋友的重力势能减小。
[探究归纳]
1.重力势能的变化
重力势能的变化(ΔEp)是指一个物体在运动过程中末状态的重力势能Ep2(相对于参考平面的高度为h2)与初状态的重力势能Ep1(相对于同一参考平面的高度为h1)两者的差值，即
ΔEp＝Ep2－Ep1＝mgh2－mgh1
(1)若ΔEp＞0，即Ep2＞Ep1，物体的重力势能增加。
(2)若ΔEp＜0，即Ep2＜Ep1，物体的重力势能减少。
(3)若ΔEp＝0，即Ep2＝Ep1，物体的重力势能不变。
2.重力做功与重力势能改变的关系
(1)数量关系
WG＝mgh1－mgh2＝Ep1－Ep2＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp
即重力所做的功等于物体重力势能的减少量。
(2)相互关系
①当物体由高处运动到低处时，WG＞0，则ΔEp＜0，表明重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力做的功。
②当物体由低处运动到高处时，WG＜0，则ΔEp＞0，表明重力做负功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力做的功。
[经典示例]
[例2] 吊车以eq \f(g,4)的加速度将质量为m的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h，则吊车钢索的拉力对物体做的功为多少？物体克服重力做的功为多少？物体的重力势能变化了多少？(不计空气阻力)
解析 设吊车钢索对物体的拉力为F，物体的加速度a＝eq \f(g,4)，由牛顿第二定律得mg－F＝ma，故F＝mg－ma＝eq \f(3,4)mg，方向竖直向上，所以拉力做的功WF＝Fh＝eq \f(3,4)mgh；重力做的功WG＝－mgh，即此过程中物体克服重力做功为mgh。又ΔEp＝Ep2－Ep1＝－WG＝mgh，因此物体的重力势能增加了mgh。
答案 eq \f(3,4)mgh mgh 增加了mgh
[针对训练2] (多选)关于重力做功和物体的重力势能，下列说法中正确的是( )
A.当重力对物体做正功时，物体的重力势能一定减少
B.物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加
C.地球上任何一个物体的重力势能都有一个确定值
D.重力做功的多少与参考平面的选取无关
解析 物体重力势能的大小与参考平面的选取有关，故C错误；重力做正功时，物体由高处向低处运动，重力势能一定减少，反之，物体克服重力做功时，重力势能一定增加，故A、B正确；重力做多少功，物体的重力势能就变化多少，重力势能的变化与参考平面的选取无关，故D正确。
答案 ABD
核心要点 弹性势能与弹性势能的变化
[观察探究]
如图，小朋友在玩蹦蹦杆时，不停地向上跳起和下落。
(1)小朋友下落时将弹簧压缩，弹力做什么功？弹性势能怎样变化？
(2)小朋友向上弹起，弹力做什么功？弹性势能怎样变化？弹簧弹力做功与弹性势能有何关系？
答案 (1)做负功 弹性势能增加。
(2)做正功 弹性势能减少。弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。
[探究归纳]
1.弹性势能的产生及影响因素
2.弹性势能变化与弹力做功的关系
如图所示，O为弹簧的原长处。
(1)弹力做负功：如物体由O向A运动(压缩)或由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
(2)弹力做正功：如物体由A向O运动或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹性势能的变化量总等于弹力对外做功的负值，表达式为－ΔEp＝W弹。
[经典示例]
[例3] 一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则( )
A.h愈大，弹簧在A点的压缩量愈大
B.弹簧在A点的压缩量与h无关
C.h愈大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能愈大
D.小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大
审题指导 小球最终在弹簧上静止时，弹簧弹力与重力平衡，A点的位置与h无关。
解析 最终小球静止在A点时，通过受力分析，小球受自身重力mg与弹簧的弹力kx大小相等，由mg＝kx得，弹簧在A点的压缩量x与h无关，弹簧弹性势能与h无关。
答案 B
误区警示 理解弹性势能时应注意的两个问题
1.弹簧的弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量(拉伸或缩短的长度)共同决定，劲度系数越大，形变量越大，弹簧的弹性势能越大。
2.弹性势能具有相对性，但其变化量具有绝对性，因此，在判断弹性势能的变化时不必考虑零势能的位置。
[针对训练3] 如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动。在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
A.弹簧的弹性势能逐渐减小
B.弹簧的弹性势能逐渐增大
C.弹簧的弹性势能先增大后减小
D.弹簧的弹性势能先减小后增大
审题指导 物块与弹簧连接，则撤去力F后，存在拉伸弹簧的过程。
解析 弹性势能的变化是由弹力做功引起的，弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加。在力F作用下物体处于静止状态时，弹簧处于压缩状态，撤去F后，在物体向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大。
答案 D
1.(对重力势能的理解)关于重力势能，以下说法中正确的是( )
A.某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的
B.重力势能为0的物体，不可能对别的物体做功
C.物体做匀速直线运动时，重力势能一定不变
D.只要重力做功，重力势能一定变化
解析 选取不同的零势能面，则同一位置的物体的重力势能是不同的，A错误；重力势能为零只是表明物体处于零势能面上，它对其他物体同样可以做功，B错误；物体若在竖直方向做匀速直线运动，则物体的高度变化，重力势能也会发生变化，C错误；重力做功是重力势能变化的量度，故若重力做功，重力势能一定发生变化，故D正确。
答案 D
2.(对重力做功特点的理解)某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，则下列说法正确的是( )
A.从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功
B.从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功
C.从A到B重力做功mg(H＋h)
D.从A到B重力做功mgH
解析 重力对物体所做的功只与初、末位置的高度差有关，大小为WG＝mgH，故正确选项为D。
答案 D
3.(对重力势能变化的理解)如图所示，静止的物体沿不同的光滑轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为H，桌面距地面高为h，物体质量为m，重力加速度为g，则以下说法正确的是( )
A.物体沿竖直轨道下滑到桌面上，重力势能减少最少
B.物体沿曲线轨道下滑到桌面上，重力势能减少最多
C.以桌面为参考平面，物体重力势能减少mgH
D.以地面为参考平面，物体重力势能减少mg(H＋h)
解析 重力做功与路径无关，所以无论沿哪条轨道下落，重力做功相同，重力做功W＝mgH，再由W＝－ΔEp，所以ΔEp＝－mgH，即物体重力势能减少mgH，故C正确，A、B、D错误。
答案 C
4.(对弹性势能变化的理解)如图所示，撑杆跳是运动会中常见的比赛项目，用于撑起运动员的杆要求具有很好的弹性，下列关于运动员撑杆跳起过程的说法正确的是( )
A.运动员撑杆刚刚触地时，杆弹性势能最大
B.运动员撑杆跳起到达最高点时，杆弹性势能最大
C.运动员撑杆触地后上升到最高点之前某时刻，杆弹性势能最大
D.以上说法均有可能
解析 杆形变量最大时，弹性势能最大，杆刚触地时没有形变，人到最高点时，杆已由弯曲到基本完全伸直。故选项C正确。
答案 C
5.(重力做功与重力势能的关系)国际田联室内许可赛斯德哥尔摩站比赛中，俄罗斯撑竿跳巨星伊辛巴耶娃以5.01 m的成绩打破了她自己保持的室内撑竿跳世界纪录，这是她个人第28次打破世界纪录。已知伊辛巴耶娃身高1.74 m，体重65 kg，则她从起跳到跳过5.01 m的过程中，为克服重力至少要做多少功？她的重力势能改变了多少？(g取10 m/s2)
解析 伊辛巴耶娃身高1.74 m，人的重心大约在人身高的一半的位置，即0.87 m处，在撑竿跳的过程中，人的重心升高的高度为
h＝5.01 m－0.87 m＝4.14 m
克服重力所做的功为
W＝mgh＝65×10×4.14 J＝2 691 J
重力势能增加了2 691 J。
答案 2 691 J 2 691 J
基础过关
1.甲、乙两个物体的位置如图所示，质量关系m甲
A.Ep1>Ep2 B.Ep1
C.Ep1＝Ep2 D.无法判断
解析 取桌面为零势能面，则Ep1＝0，物体乙在桌面以下，Ep2<0，故Ep1>Ep2，故A项正确。
答案 A
2.图中虚线是一跳水运动员在跳水过程中其重心运动的轨迹，则从起跳至入水的过程中，该运动员的重力势能( )
A.一直减小 B.一直增大
C.先增大后减小 D.先减小后增大
解析 运动员从起跳至入水过程中，其重心位置先升高后降低，重力先做负功后做正功，其重力势能先增大后减小，故C正确。
答案 C
3.如图所示，某物体分别沿三条不同的轨道，由离地h高的A点滑至B点，轨道Ⅱ光滑，轨道Ⅰ、Ⅲ均有摩擦，则重力做功多少的情况是( )
A.沿轨道Ⅰ滑下多
B.沿轨道Ⅱ滑下多
C.沿轨道Ⅲ滑下多
D.沿三条轨道滑下时重力做功相等
解析 重力做功只与初、末位置的高度差有关，故D正确。
答案 D
4.(多选)如图所示，一物体从A点沿粗糙面AB与光滑面AC分别滑到同一水平面上的B点与C点，则下列说法中正确的是( )
A.沿AB面重力做功多
B.沿两个面重力做的功相同
C.沿AB面重力势能减少得多
D.沿两个面减少的重力势能相同
解析 物体重力做功的多少只与它运动的初、末位置的高度差有关，与其他因素无关，所以沿两个面重力做的功相同，A错误，B正确；由于重力势能的变化总等于重力所做的功，故沿两个面减少的重力势能相同，C错误，D正确。
答案 BD
5.一物体在自由下落过程中，重力做了2 J的功，则( )
A.该物体重力势能减少，减少量等于2 J
B.该物体重力势能减少，减少量大于2 J
C.该物体重力势能减少，减少量小于2 J
D.该物体重力势能增加，增加量等于2 J
解析 物体下落时重力做正功，重力势能减少，减少量等于重力做的功，故A正确。
答案 A
6.如图所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1＞h2，小球触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中，正确的一组是( )
A.ΔE1＝ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2
B.ΔE1>ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2
C.ΔE1＝ΔE2，ΔEp1>ΔEp2
D.ΔE1>ΔE2，ΔEp1>ΔEp2
解析 小球速度最大的条件是弹力等于重力，两种情况下，对应于同一位置，则ΔEp1＝ΔEp2，由于h1＞h2，所以ΔE1>ΔE2，B正确。
答案 B
7.如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达eq \f(h,4)的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为( )
A.eq \f(mgh,4) B.eq \f(3mgh,4)
C.mgh D.0
解析 根据重力做功的公式，W＝mg(h1－h2)＝eq \f(3mgh,4)，选项B正确。
答案 B
8.一根粗细均匀的长直铁棒重600 N，平放在水平地面上。现将一端从地面抬高0.50 m，而另一端仍在地面上，则( )
A.铁棒的重力势能增加了300 J
B.铁棒的重力势能增加了150 J
C.铁棒的重力势能增加量为 0
D.铁棒重力势能增加多少与参考平面选取有关，所以无法确定
解析 铁棒的重心升高的高度h＝0.25 m，铁棒增加的重力势能等于克服重力做的功，与参考平面选取无关，即ΔEp＝mgh＝600×0.25 J＝150 J，故B正确。
答案 B
9.在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为m的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动h，力F做功W1，此时木块再次处于平衡状态，如图所示。求：
(1)在木块下移h的过程中重力势能的减少量；
(2)在木块下移h的过程中弹性势能的增加量。
解析 (1)据重力做功与重力势能变化的关系有
ΔEp减＝WG＝mgh
(2)据弹力做功与弹性势能变化的关系有ΔEp增′＝－W弹
又因木块缓慢下移，力F与重力mg的合力与弹力等大、反向，
所以W弹＝－W1－WG＝－W1－mgh
所以弹性势能增量ΔEp增′＝W1＋mgh
答案 (1)mgh (2)W1＋mgh
能力提升
10.物体做自由落体运动，其相对于地面的重力势能与下落速度的关系，图中正确的是( )
解析 设物体原来高度为h0，具有重力势能为Ep0＝mgh0，下落过程中有Ep＝mg(h0－eq \f(1,2)gt2)＝Ep0－eq \f(1,2)mg2t2＝Ep0－eq \f(1,2)mv2，即C正确。
答案 C
11.如图所示，物体A的质量为m，A的上端连接一个轻弹簧原长为L0，劲度系数为k，整个系统置于水平地面上，现将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，B点上移距离为L，此时物体A也已经离开地面，则下列说法中正确的是( )
A.提弹簧的力对系统做功为mgL
B.物体A的重力势能增加mgL
C.物体A的重力势能增加mg(L－L0)
D.物体A的重力势能增加mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L－\f(mg,k)))
解析 将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，由于开始时有支持力，故拉力先小于mg，物体离地后等于mg，拉力的位移为L，故提弹簧的力对系统做功小于mgL，故A错误；B点上移距离为L，弹簧伸长量为ΔL＝eq \f(mg,k)，故A上升的高度为L－ΔL，所以A的重力势能增加mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L－\f(mg,k)))，故B、C错误，D正确。
答案 D
12.(多选)如图所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平。用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中( )
A.软绳重力势能共减少了eq \f(1,2)mgl
B.软绳重力势能共减少了eq \f(1,4)mgl
C.软绳重力势能的减少等于软绳的重力所做的功
D.软绳重力势能的减少等于物块对它做的功与软绳克服自身重力、摩擦力所做功之和
解析 选斜面顶端为参考平面，软绳重力势能共减少mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)lsin θ))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)mgl))＝eq \f(1,4)mgl，A错误，B正确；根据重力做功与重力势能变化的关系知道，软绳重力势能的减少量等于软绳的重力所做的功，C正确，D错误。
答案 BC
13.通过探究得到弹簧的弹性势能的表达式为Ep＝eq \f(1,2)kx2，式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧伸长(或缩短)的长度，请利用弹性势能表达式计算下列问题。
放在地面上的物体上端系在劲度系数k＝400 N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图所示，手拉绳子的另一端，当往下拉0.1 m时，物体开始离开地面，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h＝0.5 m高处。如果不计弹簧自重和滑轮与绳的摩擦，求整个过程拉力所做的功以及弹性势能的最大值。
解析 由题意知弹簧的最大伸长量
x＝0.1 m
则最大弹性势能
Ep＝eq \f(1,2)kx2＝eq \f(1,2)×400×0.12 J＝2 J
此过程中拉力做的功与弹力做的功数值大小相等，
则有W1＝W弹＝|ΔEp|＝2 J
刚好离开地面时有
G＝F＝kx＝400×0.1 N＝40 N
则物体缓慢升高时F＝40 N
物体上升h＝0.5 m，拉力克服重力做功
W2＝Fh＝Gh＝40×0.5 J＝20 J
拉力共做功W＝W1＋W2＝20 J＋2 J＝22 J。
答案 22 J 2 J
14.如图所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m的跳台上以v0＝5 m/s的速度斜向上起跳，最终落入水，若忽略运动员的身高，取g＝10 m/s2。求：
(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为零势能参考平面)；
(2)运动员起跳时的动能；
(3)运动员入水时的速度大小。
解析 (1)以水面为零势能参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为
Ep＝mgh＝5 000 J。
(2)运动员起跳时的速度为v0＝5 m/s，
则运动员起跳时的动能为Ek＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝625 J。
(3)运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，由动能定理得
mgh＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
得v＝15 m/s。
答案 (1)5 000 J (2)625 J (3)15 m/s
核心素养
物理观念
学科探究
科学思维
1.知道重力势能的定义，并记住其公式、单位等。
2.理解重力势能与重力势能改变的不同。
3.理解弹性势能的概念。
重力做功与重力势能变化的关系；弹力做功与弹性势能变化的关系。
影响重力势能、弹性势能大小的因素。
系统性
重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，不是地球上的物体单独具有的
相对性
重力势能Ep＝mgh与参考平面的选择有关，式中的h是物体重心到参考平面的高度
任意性
视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势能面
绝对性
物体从起点运动到终点的过程中，重力势能的变化量与参考平面的选取无关，是绝对的
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