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高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第3章 圆周运动第3节 离心现象学案
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这是一份高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第3章 圆周运动第3节 离心现象学案，共24页。
知识点一 车辆转弯时所需的向心力
[观图助学]
观察上图，火车转弯处的轨道和自行车赛转弯处的赛道有什么共同特点，为什么要这样设计？
1.汽车在水平路面转弯
汽车eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(向心力来源：受到的静摩擦力提供。,向心力方程：F＝m\f(v2,r)。,最大速度：v＝\r(\f(Fmaxr,m))，受最大静摩擦力的制约。))
2.汽车、火车在内低外高的路面上转弯
eq \a\vs4\al(汽车,火车)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(向心力来源：重力和支持力的合力提供。,向心力方程：mgtan θ＝m\f(v2,r)。,临界速度：v＝\r(grtan θ)，取决于转弯半径和倾角。))
[思考判断]
(1)汽车在水平路面上正常转弯时所需要的向心力是滑动摩擦力提供的。(×)
(2)铁路的轨道，内、外轨道都是一样高。(×)
(3)火车转弯时，如果速度合适，则不会对轨道产生侧向的压力。(√)
火车转弯处的轨道和自行车转弯处的赛道都要外侧高、内侧略低，这样设计的目的是为了防止车速过快而导致发生侧滑现象。
雪天，路面与汽车的最大摩擦力变小，汽车转弯时更容易发生侧滑。
火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。
知识点二 竖直面内的圆周运动
[观图助学]
观察上图，过山车在最高点时和汽车过拱桥时，都是什么力提供向心力？
1.汽车过拱形桥
2.过山车(在最高点和最低点)
(1)向心力来源：受力如图所示，重力和支持力的合力提供向心力。
(2)向心力方程
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(在最高点：N＋mg＝m\f(v2,r)。,在最低点：N′－mg＝m\f(v2,r)。))
(3)通过最高点的条件：由N≥0，得v≥eq \r(gr)。
[思考判断]
(1)汽车过拱形桥时，对桥面的压力一定大于汽车自身的重力。(×)
(2)过山车运动到最高点时之所以不掉下来是因为受到了向上的作用力。(×)
(3)过山车经过轨道最低点时对轨道的压力大于自身的重力。(√)
过山车在最高点时和汽车过拱桥时，都是弹力与重力的合力提供向心力。
汽车过拱形桥时对桥的压力小于重力，过凹形桥时对桥的压力大于重力，所以桥多为拱形桥。
过山车在最高点时若速度过小，容易发生事故。
知识点三 生活中的离心运动
1.离心运动
(1)定义
做圆周运动的物体，在受到合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需要的向心力的情况下，将远离圆心运动。
(2)条件
合外力突然消失或合外力不足以提供向心力。
2.离心运动的应用和防止
(1)应用
离心分离器、离心干燥器、脱水筒、离心水泵。
(2)危害与防止
危害：如果过荷太大时，飞行员会暂时失明，甚至昏厥。
防止：如车辆转弯时要限速。
[思考判断]
(1)做离心运动的物体沿半径方向远离圆心。(×)
(2)做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动。(×)
(3)当半径方向的合外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力时，物体沿圆周与切线之间的曲线做离心运动。(√),
松手后，链球做圆周运动的向心力消失，沿切线方向飞出，远离圆心。
车辆转弯时限速是为了减小转弯时需要的向心力。
核心要点 火车转弯问题分析
[要点归纳]
1.火车车轮的特点
火车的车轮有凸出的轮缘，火车在铁轨上运行时，车轮与铁轨有水平与竖直两个接触面，这种结构特点，主要是避免火车运行时脱轨，如图所示。
2.圆周平面的特点
弯道处外轨高于内轨，但火车在行驶过程中，重心高度不变，即火车的重心轨迹在同一水平面内，火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
3.向心力的来源分析
在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝meq \f(v2,R)，如图所示，则v＝eq \r(gRtan θ)。
其中R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v为转弯处的规定速度。
4.转弯时速度与轨道侧压力的关系
(1)当火车行驶速度v＝eq \r(gRtan θ)时，重力和弹力的合力提供向心力，轮缘对内、外轨无侧压力。
(2)当火车行驶速度v＞eq \r(gRtan θ)时，轮缘对外轨有侧压力。
(3)当火车行驶速度v＜eq \r(gRtan θ)时，轮缘对内轨有侧压力。
[经典示例]
[例1] 修铁路时，两轨间距是1 435 mm，某处铁路转弯的半径是300 m，若规定火车通过这里的速度是72 km/h。请你运用学过的知识计算一下，要想使内、外轨均不受轮缘的挤压，内、外轨的高度差应是多大？
解析 火车受到的支持力和重力的合力指向轨道圆心做向心力，如图所示。
图中h为两轨高度差，d为两轨间距，mgtan α＝meq \f(v2,r)，tan α＝eq \f(v2,gr)，又由于轨道平面和水平面间的夹角一般较小，可近似认为tan α＝sin α＝eq \f(h,d)。因此，eq \f(h,d)＝eq \f(v2,gr)，又v＝72 km/h＝20 m/s，则h＝eq \f(v2d,gr)＝eq \f(202×1.435,9.8×300) m＝0.195 m。
答案 0.195 m
方法总结 火车转弯问题的解题方法
(1)对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力提供物体做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心。
(2)弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力提供。
(3)当外轨高于内轨时，向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供，这与火车的速度大小有关。
[针对训练1] 火车在拐弯时，关于向心力的分析，正确的是( )
A.由于火车本身作用而产生了向心力
B.主要是由于内、外轨的高度差的作用，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力
C.火车在拐弯时的速率小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力
D.火车在拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车拐弯时向心力的一部分
解析 火车正常拐弯时，重力和支持力的合力提供向心力，故A、B错误；当拐弯速率大于规定速率时，外轨对火车有侧压力作用；当拐弯速率小于规定速率时，内轨对火车有侧压力作用，此时，火车拐弯所需的向心力是重力、支持力和侧压力的合力来提供，故C错误，D正确。
答案 D
核心要点 竖直平面内圆周运动分析
[情境探究]
如图所示，一辆汽车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，图中标出的4个点中，汽车在哪一点对路面的压力最大？在哪一点对路面的压力最小呢？在哪一点容易发生“飞车”现象？
答案 在最低点B时对路面的压力最大；在最高点C时对路面的压力最小，易发生“飞车”现象。
[探究归纳]
1.汽车过拱形桥问题
(1)过凸形桥顶(如图甲)：
①合力等于向心力：mg－N＝meq \f(v2,R)，N＜mg，汽车处于失重状态，速度越大，支持力越小。
②汽车安全过桥的条件：由mg－N＝meq \f(v2,R)知，当N＝0时，v＝eq \r(gR)，这时汽车会以该速度从桥顶做平抛运动。故汽车安全过桥的条件是在桥顶的速度v＜eq \r(gR)。
(2)过凹形桥底(如图乙)：
合力等于向心力：N－mg＝meq \f(v2,R)，N＞mg，汽车处于超重状态，速度越大，支持力越大。
2.竖直平面内圆周运动的两类模型
(1)轻绳模型
如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(gr)。
在最高点时：
①v＝eq \r(gr)时，拉力或压力为零。
②v＞eq \r(gr)时，物体受向下的拉力或压力。
③v＜eq \r(gr)时，物体不能达到最高点。
即轻绳模型的临界速度为v临＝eq \r(gr)。
(2)轻杆模型
如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零。在最高点
①v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg。
②0＜v＜eq \r(gr)时，小球受向上的支持力0＜N＜mg。
③v＝eq \r(gr)时，小球除受重力之外不受其他力。
④v＞eq \r(gr)时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。
即轻杆模型的临界速度为v临＝0。
[经典示例]
[例2] 杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直平面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳子总长l＝120 cm，g取9.8 m/s2。求：
(1)在最高点水不流出的最小速率。
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。
解析 (1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即mg≤meq \f(v2,\f(l,2))，则所求最小速率v0＝eq \r(g\f(l,2))＝eq \r(9.8×0.6) m/s＝2.42 m/s。
(2)当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时杯子底对水有向下的力，设为N，由牛顿第二定律有N＋mg＝meq \f(v2,\f(l,2))，即N＝meq \f(v2,\f(l,2))－mg＝2.6 N。
由牛顿第三定律知，水对杯子的压力大小N′＝N＝2.6 N。
答案 (1)2.42 m/s (2)2.6 N
方法总结 竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
[针对训练2] 如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝eq \r(2gR) 的速度通过轨道最高点B，并以v2＝eq \r(3)v1的速度通过最低点A。求在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差多少？
解析 由题意可知，在B点，有FB＋mg＝meq \f(veq \\al(2,1),R)，
解之得FB＝mg，
在A点，有FA－mg＝meq \f(veq \\al(2,2),R)，
解之得FA＝7mg，
所以在A、B两点轨道对车的压力大小相差6mg。
答案 6mg
核心要点 生活中的离心运动
[情境探究]
雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出。汽车高速转弯时，若摩擦力不足，汽车会滑出路面。请思考：
(1)水滴飞出、汽车滑出是因为受到了离心力吗？
(2)物体做离心运动的条件是什么？
(3)汽车转弯发生侧翻会向外翻还是向内翻？
答案 (1)水滴飞出、汽车滑出的原因是物体惯性的表现，不是因为受到了什么离心力，离心力是不存在的。
(2)物体做离心运动的条件是做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者外力不能提供足够大的向心力。
(3)由于外力不足以提供向心力，所以向外翻。
[探究归纳]
1.离心运动中合外力与向心力的关系
(1)若F合＝mrω2或F合＝meq \f(v2,r)，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
(2)若F合>mrω2或F合>meq \f(v2,r)，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”。
(3)若F合
(4)若F合＝0，则物体沿切线方向飞出。
2.常见几种离心运动对比图示
3.离心现象的防止
(1)汽车在公路转弯处限速：在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需要的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的。如果转弯时速度过大，所需向心力F大于最大静摩擦力fmax，汽车将做离心运动而造成车体侧滑，因此在公路转弯处汽车必须限速。
(2)转动的砂轮、飞轮限速：高速转动的砂轮、飞轮等，都不得超过允许的最大转速，如果转速过高，砂轮、飞轮内部分子间的作用力不足以提供所需的向心力，离心运动会使它们破裂，甚至酿成事故。
[经典示例]
[例3] (多选)如图是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A.摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B.摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C.摩托车将沿其线速度的方向与半径向外的方向之间做离心运动
D.摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析 摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A项错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明合力小于需要的向心力，B项正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动，C项正确，D项错误。
答案 BC
[针对训练3] (多选)如图甲所示，在光滑水平转台上放一木块A，用细绳的一端系住木块A，另一端穿过转台中心的光滑小孔O悬挂另一木块B。当转台以角速度ω匀速转动时，A恰能随转台一起做匀速圆周运动，图乙为其俯视图，则( )
A.当转台的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的a方向运动
B.当转台的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的b方向运动
C.当转台的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的b方向运动
D.当转台的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的c方向运动
解析 木块A以角速度ω做匀速圆周运动时的向心力由细绳的拉力提供，大小等于木块B所受的重力，而木块B所受重力不变，所以转台角速度增大时，木块A需要的向心力大于B所受的重力，木块A做离心运动，a为绳继时木块A的运动方向，选项B正确；转台角速度减小时，木块A需要的向心力小于木块B所受的重力，木块A做靠近圆心的运动，选项D正确。
答案 BD
1.(火车转弯问题)火车在某个弯道按规定运行速度40 m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则下列说法中正确的是( )
A.仅内轨对车轮有侧压力
B.仅外轨对车轮有侧压力
C.内、外轨对车轮都有侧压力
D.内、外轨对车轮均无侧压力
解析 火车在弯道按规定运行速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车的运行速度小于规定运行速度时，重力和支持力的合力大于火车转弯需要的向心力，火车有做近心运动的趋势，内轨对车轮产生侧压力，重力、支持力和内轨的侧压力的合力提供火车做圆周运动的向心力，故A正确。
答案 A
2.(汽车过桥问题)(多选)如图所示，汽车以速度v通过一弧形的拱桥顶端时，关于汽车受力的说法中正确的是( )
A.汽车的向心力就是它所受的重力
B.汽车的向心力是它所受的重力与支持力的合力，方向指向圆心
C.汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用
D.汽车受到的支持力比重力小
解析 汽车以速度v通过一弧形的拱桥顶端时，汽车受重力、支持力、牵引力和摩擦力，重力与支持力的合力提供向心力，方向指向圆心，A、C错误，B正确；汽车受到的支持力比重力小，D正确。
答案 BD
3.(竖直面内的圆周运动——绳模型)如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
A.eq \r(gR) B.2eq \r(gR)
C.eq \r(\f(g,R)) D.eq \r(\f(R,g))
解析 小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝eq \r(\f(g,R))，选项C正确。
答案 C
4.(竖直平面内的圆周运动——杆模型)如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是( )
A.小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于0
B.小球过最高点时，速度至少为eq \r(gR)
C.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用
D.小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球受重力方向相反
解析 当小球在最高点的速度为eq \r(gR)时，杆所受弹力为0，A错误；因为是轻杆，小球过最高点时的最小速度是0，B错误；小球过最高点时，如果速度在0～eq \r(gR)范围内，则杆对小球有向上的支持力，但由于合力向下，故此时重力一定大于杆对球的作用，C正确；小球通过最高点的速度大于eq \r(gR)，小球的重力不足以提供向心力，此时杆对球产生向下的作用力，D错误。
答案 C
5.(离心现象的应用和防止)下列哪些现象不是为了防止物体产生离心运动( )
A.汽车转弯时要限制速度
B.转速很高的砂轮半径不能做得太大
C.在修筑铁路时，转弯处内轨要低于外轨
D.离心水泵工作时
解析 汽车转弯靠静摩擦力提供向心力，由F向＝meq \f(v2,R)，当v过大时，静摩擦力不足以提供向心力，产生离心运动。B、C两个选项与A分析方法相同，而离心水泵工作时是离心运动的应用。故选D。
答案 D
基础过关
1.(多选)火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损。为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，下列措施可行的是( )
A.适当减小内外轨的高度差
B.适当增加内外轨的高度差
C.适当减小弯道半径
D.适当增大弯道半径
解析 火车转弯时为减小外轨所受压力，可使外轨略高于内轨，使轨道形成斜面，若火车速度合适内、外轨均不受挤压，此时，重力与支持力的合力提供向心力，如图，F＝mgtan θ＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(gRtan θ)，当火车速度增大时，应适当增大转弯半径或增加内、外轨道高度差，故选B、D。
答案 BD
2.在世界一级方程式锦标赛中，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，其原因是( )
A.是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘造成的
B.是由于赛车行驶到弯道时，没有及时加速造成的
C.是由于赛车行驶到弯道时，没有及时减速造成的
D.是由于在弯道处汽车受到的摩擦力比在直道上小造成的
解析 由于路面材料及粗糙程度没变，所以直道、弯道所受的摩擦力大小应该是相同的，故D错误；对赛车受力分析可知，真正使赛车转弯的应该是地面给车的静摩擦力，之所以滑出是由于车速过高，需要的向心力大于最大静摩擦力，此时即使转动方向盘也没用，所以A、B错误，只有C正确。
答案 C
3.某高速公路弯道处设计为内侧低外侧高的圆弧弯道，使路面与水平面有一倾角α，弯道半径为R。当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯的速度v为(重力加速度取g)( )
A.v＝eq \r(gRtan α)
B.v＝eq \r(gRct α)
C.v＝eq \r(gR)
D.安全速度与汽车的质量有关
解析 当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯所需的向心力由重力和路面支持力的合力提供，即mgtan α＝meq \f(v2,R)，则汽车的转弯速度为v＝eq \r(gRtan α)，选项A正确。
答案 A
4.如图所示为水上摩天轮的照片。假如乘客在轿厢中，随转轮始终不停地匀速转动，环绕一周需18分钟。试判断下列关于轿厢中乘客的说法正确的是( )
A.乘客受到的合外力为零
B.乘客在乘坐过程中速度保持不变
C.乘客对座椅的压力大小不变
D.从最低点到最高点的过程中，乘客先超重后失重
解析 每个乘客都在做匀速圆周运动，速度大小不变，方向变化，所以是变速运动，加速度不为零，合力不为零，故A、B错误；乘客对座椅的压力大小是变化的，在最低点最大，到达摩天轮的最高点时，乘客的加速度向下，处于失重状态，对座椅的压力最小，故C错误；当有向上的加速度时处于超重状态，有向下的加速度时处于失重状态，所以从最低点到最高点的过程中，乘客先超重后失重，D正确。
答案 D
5.如图所示，用轻绳一端拴一小球，绕另一端O在竖直平面内做圆周运动。若绳子不够结实，则运动过程中绳子最易断的位置是小球运动到( )
A.最高点
B.最低点
C.两侧与圆心等高处
D.无法确定
解析 在最低点位置时，小球的速率最大，向心力方向又向上，拉力F＝mg＋meq \f(v2,r)，此处绳子受到的拉力最大，故最易断。选项B正确。
答案 B
6.如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动。当小球运动到最高点时，瞬时速度v＝eq \r(\f(1,2)Lg)，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是( )
A.拉力，大小为eq \f(1,2)mg B.压力，大小为eq \f(1,2)mg
C.0 D.压力，大小为eq \f(3,2)mg
解析 当只有重力提供向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝meq \f(v′2,R)，解得v′＝eq \r(gL)。因为eq \r(\f(1,2)gL)＜eq \r(gL)，杆对球的作用力是支持力，即mg－N＝meq \f(v2,L)，解得N＝eq \f(1,2)mg，由牛顿第三定律，球对杆的作用力是压力，故选B。
答案 B
7.某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动，圆的半径为R，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面，重力加速度取g)( )
A.mg B.2mg
C.mg＋eq \f(mv2,R) D.eq \f(2mv2,R)
解析 在最高点有F1＋mg＝meq \f(v2,R)，解得F1＝meq \f(v2,R)－mg；在最低点有F2－mg＝meq \f(v2,R)，解得F2＝mg＋meq \f(v2,R)。所以F2－F1＝2mg，B正确。
答案 B
8.质量为103 kg的小汽车驶过一座半径为50 m的圆形拱桥，到达桥顶时的速度为5 m/s。(重力加速度g＝10 m/s2)求：
(1)汽车在桥顶时对桥的压力；
(2)如果要求汽车到达桥顶时对桥的压力为零，且车不脱离桥面，到达桥顶时的速度应是多大？
解析 (1)汽车在最高点时重力与支持力的合力提供向心力。
mg－N＝meq \f(v2,R)
N＝mg－meq \f(v2,R)＝9 500 N
由牛顿第三定律可知，汽车对桥的压力
N′＝9 500 N(竖直向下)。
(2)当汽车对桥面压力恰好为0时，有mg＝meq \f(v2,R)，
v＝eq \r(gR)＝10eq \r(5) m/s。
答案 (1)大小为9 500 N 竖直向下 (2)10eq \r(5) m/s
能力提升
9.(多选)如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A.小球通过最高点时的最小速度是eq \r(Rg)
B.小球通过最高点时的最小速度为零
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
解析 圆环外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球通过最高点时的速度可以为零，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，即外侧管壁对小球一定有作用力，故B、D正确。
答案 BD
10.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道的压力大小为(重力加速度为g)( )
A.0 B.mg
C.3mg D.5mg
解析 当小球以速度v经内轨道最高点时，小球仅受重力，重力提供向心力，有mg＝meq \f(v2,r)。
当小球以速度2v经内轨道最高点时，小球受重力mg和向下的压力N，如图，合力提供向心力，有mg＋N＝meq \f(（2v）2,r)；又由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力与轨道对小球的压力相等，N′＝N；由以上三式可得，N′＝3mg。故C正确。
答案 C
11.如图所示是半径为r的竖直光滑圆形轨道，将一玩具小车放到与轨道圆心O处于同一水平面的A点，并给小车一竖直向下的初速度，使小车沿轨道内侧做圆周运动。要使小车不脱离轨道，则在A处使小车获得竖直向下的最小初速度应为(重力加速度为g)( )
A.eq \r(7gr) B.eq \r(5gr)
C.eq \r(3gr) D.eq \r(2gr)
解析 小车恰好不脱离轨道的条件是在最高点满足mg＝meq \f(v2,r)。小车沿轨道内侧做圆周运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒。设小车在A处获得的最小初速度为vA，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＝mgr＋eq \f(1,2)mv2，解得vA＝eq \r(3gr)。故选项C正确。
答案 C
12.(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F－v2图像如乙图所示，则( )
A.小球的质量为eq \f(aR,b)
B.当地的重力加速度大小为eq \f(R,b)
C.v2＝c时，小球对杆的弹力方向向下
D.v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
解析 由图乙可知：当v2＝b时，杆对球的弹力恰好为零，此时小球只受重力，重力提供向心力，mg＝meq \f(v2,R)＝meq \f(b,R)，即重力加速度g＝eq \f(b,R)，故B错误；当v2＝0时，向心力为零，杆对球的弹力恰好与球的重力等大反向，F弹＝mg＝a，即小球的质量m＝eq \f(a,g)＝eq \f(aR,b)，故A正确；根据圆周运动的规律，当v2＝b时杆对球的弹力为零，当v2＜b时，mg－F弹＝meq \f(v2,R)，杆对球的弹力方向向上，当v2＞b时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)，杆对球的弹力方向向下，v2＝c＞b，杆对小球的弹力方向向下，根据牛顿第三定律，小球对杆的弹力方向向上，故C错误；当v2＝2b时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)＝meq \f(2b,R)，又g＝eq \f(b,R)，F弹＝meq \f(2b,R)－mg＝mg，故D正确。
答案 AD
13.游乐园里过山车原理的示意图如图所示。设过山车的总质量为m，由静止从高为h的斜轨顶端A点开始下滑，到半径为r的圆形轨道最高点B时恰好对轨道没有压力，重力加速度为g。求：
(1)过山车在圆形轨道最高点B时的速度大小v。
(2)过山车从A到B过程中克服阻力所做的功W。
解析 (1)在B点，由牛顿第二定律和向心力公式有
mg＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(gr)。
(2)由动能定理有mg(h－2r)－W＝eq \f(1,2)mv2，
得W＝mgh－eq \f(5,2)mgr。
答案 (1)eq \r(gr) (2)mgh－eq \f(5,2)mgr
14.如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一个光滑的半圆形轨道，已知轨道的半径为R，小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰好等于小球的重力，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)小球到达轨道最高点时的速度大小；
(2)小球落地时距A点的距离；
(3)落地时速度的大小。
解析 (1)小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰好等于小球的重力，由牛顿第二定律得
mg＋N＝2mg＝meq \f(v2,R)
则小球的速度为v＝eq \r(2gR)。
(2)小球离开轨道后做平抛运动，
由平抛运动规律得2R＝eq \f(1,2)gt2
s＝vt
联立解得s＝2eq \r(2)R。
(3)小球脱离轨道后，只受重力作用，只有重力做功，机械能守恒，取水平面为零势能面，则
2mgR＋eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mv′2
落地时的速度大小为v′＝eq \r(6gR)。
答案 (1)eq \r(2gR) (2)2eq \r(2)R (3)eq \r(6gR)
核心素养
物理观念
科学探究
科学思维
科学态度与责任
1.会分析汽车、火车转弯时的向心力来源。
2.会分析汽车过凸形桥和凹形桥时的向心力来源。
3.理解轻绳模型和轻杆模型的相同点和不同点。
4.知道什么是离心运动和离心运动产生的条件。
竖直面内圆周运动的临界条件。
离心运动产生的条件。
通过分析火车转弯问题了解火车转弯的速度与安全的关系。
分类
分析
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
向心力
支持力与重力的合力提供向心力
支持力与重力的合力提供向心力
方程
mg－N＝meq \f(v2,r)
N－mg＝meq \f(v2,r)
压力
N′＝mg－meq \f(v2,r)
压力小于重力，当v＝eq \r(gr)时N＝0
N′＝mg＋meq \f(v2,r)
压力大于重力
项 目
实物图
原理图
现象及结论
洗衣机脱水筒
当水滴跟物体的附着力F不足以提供向心力时，即F＜mω2r，水滴做离心运动
汽车在水平路面上转弯
当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即fmax＜meq \f(v2,r)，汽车做离心运动
用离心机把体温计的水银甩回玻璃泡中
当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力时，水银柱做离心运动进入玻璃泡内
知识点一 车辆转弯时所需的向心力
[观图助学]
观察上图，火车转弯处的轨道和自行车赛转弯处的赛道有什么共同特点，为什么要这样设计？
1.汽车在水平路面转弯
汽车eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(向心力来源：受到的静摩擦力提供。,向心力方程：F＝m\f(v2,r)。,最大速度：v＝\r(\f(Fmaxr,m))，受最大静摩擦力的制约。))
2.汽车、火车在内低外高的路面上转弯
eq \a\vs4\al(汽车,火车)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(向心力来源：重力和支持力的合力提供。,向心力方程：mgtan θ＝m\f(v2,r)。,临界速度：v＝\r(grtan θ)，取决于转弯半径和倾角。))
[思考判断]
(1)汽车在水平路面上正常转弯时所需要的向心力是滑动摩擦力提供的。(×)
(2)铁路的轨道，内、外轨道都是一样高。(×)
(3)火车转弯时，如果速度合适，则不会对轨道产生侧向的压力。(√)
火车转弯处的轨道和自行车转弯处的赛道都要外侧高、内侧略低，这样设计的目的是为了防止车速过快而导致发生侧滑现象。
雪天，路面与汽车的最大摩擦力变小，汽车转弯时更容易发生侧滑。
火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。
知识点二 竖直面内的圆周运动
[观图助学]
观察上图，过山车在最高点时和汽车过拱桥时，都是什么力提供向心力？
1.汽车过拱形桥
2.过山车(在最高点和最低点)
(1)向心力来源：受力如图所示，重力和支持力的合力提供向心力。
(2)向心力方程
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(在最高点：N＋mg＝m\f(v2,r)。,在最低点：N′－mg＝m\f(v2,r)。))
(3)通过最高点的条件：由N≥0，得v≥eq \r(gr)。
[思考判断]
(1)汽车过拱形桥时，对桥面的压力一定大于汽车自身的重力。(×)
(2)过山车运动到最高点时之所以不掉下来是因为受到了向上的作用力。(×)
(3)过山车经过轨道最低点时对轨道的压力大于自身的重力。(√)
过山车在最高点时和汽车过拱桥时，都是弹力与重力的合力提供向心力。
汽车过拱形桥时对桥的压力小于重力，过凹形桥时对桥的压力大于重力，所以桥多为拱形桥。
过山车在最高点时若速度过小，容易发生事故。
知识点三 生活中的离心运动
1.离心运动
(1)定义
做圆周运动的物体，在受到合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需要的向心力的情况下，将远离圆心运动。
(2)条件
合外力突然消失或合外力不足以提供向心力。
2.离心运动的应用和防止
(1)应用
离心分离器、离心干燥器、脱水筒、离心水泵。
(2)危害与防止
危害：如果过荷太大时，飞行员会暂时失明，甚至昏厥。
防止：如车辆转弯时要限速。
[思考判断]
(1)做离心运动的物体沿半径方向远离圆心。(×)
(2)做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动。(×)
(3)当半径方向的合外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力时，物体沿圆周与切线之间的曲线做离心运动。(√),
松手后，链球做圆周运动的向心力消失，沿切线方向飞出，远离圆心。
车辆转弯时限速是为了减小转弯时需要的向心力。
核心要点 火车转弯问题分析
[要点归纳]
1.火车车轮的特点
火车的车轮有凸出的轮缘，火车在铁轨上运行时，车轮与铁轨有水平与竖直两个接触面，这种结构特点，主要是避免火车运行时脱轨，如图所示。
2.圆周平面的特点
弯道处外轨高于内轨，但火车在行驶过程中，重心高度不变，即火车的重心轨迹在同一水平面内，火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
3.向心力的来源分析
在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝meq \f(v2,R)，如图所示，则v＝eq \r(gRtan θ)。
其中R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v为转弯处的规定速度。
4.转弯时速度与轨道侧压力的关系
(1)当火车行驶速度v＝eq \r(gRtan θ)时，重力和弹力的合力提供向心力，轮缘对内、外轨无侧压力。
(2)当火车行驶速度v＞eq \r(gRtan θ)时，轮缘对外轨有侧压力。
(3)当火车行驶速度v＜eq \r(gRtan θ)时，轮缘对内轨有侧压力。
[经典示例]
[例1] 修铁路时，两轨间距是1 435 mm，某处铁路转弯的半径是300 m，若规定火车通过这里的速度是72 km/h。请你运用学过的知识计算一下，要想使内、外轨均不受轮缘的挤压，内、外轨的高度差应是多大？
解析 火车受到的支持力和重力的合力指向轨道圆心做向心力，如图所示。
图中h为两轨高度差，d为两轨间距，mgtan α＝meq \f(v2,r)，tan α＝eq \f(v2,gr)，又由于轨道平面和水平面间的夹角一般较小，可近似认为tan α＝sin α＝eq \f(h,d)。因此，eq \f(h,d)＝eq \f(v2,gr)，又v＝72 km/h＝20 m/s，则h＝eq \f(v2d,gr)＝eq \f(202×1.435,9.8×300) m＝0.195 m。
答案 0.195 m
方法总结 火车转弯问题的解题方法
(1)对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力提供物体做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心。
(2)弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力提供。
(3)当外轨高于内轨时，向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供，这与火车的速度大小有关。
[针对训练1] 火车在拐弯时，关于向心力的分析，正确的是( )
A.由于火车本身作用而产生了向心力
B.主要是由于内、外轨的高度差的作用，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力
C.火车在拐弯时的速率小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力
D.火车在拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车拐弯时向心力的一部分
解析 火车正常拐弯时，重力和支持力的合力提供向心力，故A、B错误；当拐弯速率大于规定速率时，外轨对火车有侧压力作用；当拐弯速率小于规定速率时，内轨对火车有侧压力作用，此时，火车拐弯所需的向心力是重力、支持力和侧压力的合力来提供，故C错误，D正确。
答案 D
核心要点 竖直平面内圆周运动分析
[情境探究]
如图所示，一辆汽车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，图中标出的4个点中，汽车在哪一点对路面的压力最大？在哪一点对路面的压力最小呢？在哪一点容易发生“飞车”现象？
答案 在最低点B时对路面的压力最大；在最高点C时对路面的压力最小，易发生“飞车”现象。
[探究归纳]
1.汽车过拱形桥问题
(1)过凸形桥顶(如图甲)：
①合力等于向心力：mg－N＝meq \f(v2,R)，N＜mg，汽车处于失重状态，速度越大，支持力越小。
②汽车安全过桥的条件：由mg－N＝meq \f(v2,R)知，当N＝0时，v＝eq \r(gR)，这时汽车会以该速度从桥顶做平抛运动。故汽车安全过桥的条件是在桥顶的速度v＜eq \r(gR)。
(2)过凹形桥底(如图乙)：
合力等于向心力：N－mg＝meq \f(v2,R)，N＞mg，汽车处于超重状态，速度越大，支持力越大。
2.竖直平面内圆周运动的两类模型
(1)轻绳模型
如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(gr)。
在最高点时：
①v＝eq \r(gr)时，拉力或压力为零。
②v＞eq \r(gr)时，物体受向下的拉力或压力。
③v＜eq \r(gr)时，物体不能达到最高点。
即轻绳模型的临界速度为v临＝eq \r(gr)。
(2)轻杆模型
如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零。在最高点
①v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg。
②0＜v＜eq \r(gr)时，小球受向上的支持力0＜N＜mg。
③v＝eq \r(gr)时，小球除受重力之外不受其他力。
④v＞eq \r(gr)时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。
即轻杆模型的临界速度为v临＝0。
[经典示例]
[例2] 杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直平面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳子总长l＝120 cm，g取9.8 m/s2。求：
(1)在最高点水不流出的最小速率。
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。
解析 (1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即mg≤meq \f(v2,\f(l,2))，则所求最小速率v0＝eq \r(g\f(l,2))＝eq \r(9.8×0.6) m/s＝2.42 m/s。
(2)当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时杯子底对水有向下的力，设为N，由牛顿第二定律有N＋mg＝meq \f(v2,\f(l,2))，即N＝meq \f(v2,\f(l,2))－mg＝2.6 N。
由牛顿第三定律知，水对杯子的压力大小N′＝N＝2.6 N。
答案 (1)2.42 m/s (2)2.6 N
方法总结 竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
[针对训练2] 如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝eq \r(2gR) 的速度通过轨道最高点B，并以v2＝eq \r(3)v1的速度通过最低点A。求在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差多少？
解析 由题意可知，在B点，有FB＋mg＝meq \f(veq \\al(2,1),R)，
解之得FB＝mg，
在A点，有FA－mg＝meq \f(veq \\al(2,2),R)，
解之得FA＝7mg，
所以在A、B两点轨道对车的压力大小相差6mg。
答案 6mg
核心要点 生活中的离心运动
[情境探究]
雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出。汽车高速转弯时，若摩擦力不足，汽车会滑出路面。请思考：
(1)水滴飞出、汽车滑出是因为受到了离心力吗？
(2)物体做离心运动的条件是什么？
(3)汽车转弯发生侧翻会向外翻还是向内翻？
答案 (1)水滴飞出、汽车滑出的原因是物体惯性的表现，不是因为受到了什么离心力，离心力是不存在的。
(2)物体做离心运动的条件是做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者外力不能提供足够大的向心力。
(3)由于外力不足以提供向心力，所以向外翻。
[探究归纳]
1.离心运动中合外力与向心力的关系
(1)若F合＝mrω2或F合＝meq \f(v2,r)，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
(2)若F合>mrω2或F合>meq \f(v2,r)，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”。
(3)若F合
(4)若F合＝0，则物体沿切线方向飞出。
2.常见几种离心运动对比图示
3.离心现象的防止
(1)汽车在公路转弯处限速：在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需要的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的。如果转弯时速度过大，所需向心力F大于最大静摩擦力fmax，汽车将做离心运动而造成车体侧滑，因此在公路转弯处汽车必须限速。
(2)转动的砂轮、飞轮限速：高速转动的砂轮、飞轮等，都不得超过允许的最大转速，如果转速过高，砂轮、飞轮内部分子间的作用力不足以提供所需的向心力，离心运动会使它们破裂，甚至酿成事故。
[经典示例]
[例3] (多选)如图是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A.摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B.摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C.摩托车将沿其线速度的方向与半径向外的方向之间做离心运动
D.摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析 摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A项错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明合力小于需要的向心力，B项正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动，C项正确，D项错误。
答案 BC
[针对训练3] (多选)如图甲所示，在光滑水平转台上放一木块A，用细绳的一端系住木块A，另一端穿过转台中心的光滑小孔O悬挂另一木块B。当转台以角速度ω匀速转动时，A恰能随转台一起做匀速圆周运动，图乙为其俯视图，则( )
A.当转台的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的a方向运动
B.当转台的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的b方向运动
C.当转台的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的b方向运动
D.当转台的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的c方向运动
解析 木块A以角速度ω做匀速圆周运动时的向心力由细绳的拉力提供，大小等于木块B所受的重力，而木块B所受重力不变，所以转台角速度增大时，木块A需要的向心力大于B所受的重力，木块A做离心运动，a为绳继时木块A的运动方向，选项B正确；转台角速度减小时，木块A需要的向心力小于木块B所受的重力，木块A做靠近圆心的运动，选项D正确。
答案 BD
1.(火车转弯问题)火车在某个弯道按规定运行速度40 m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则下列说法中正确的是( )
A.仅内轨对车轮有侧压力
B.仅外轨对车轮有侧压力
C.内、外轨对车轮都有侧压力
D.内、外轨对车轮均无侧压力
解析 火车在弯道按规定运行速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车的运行速度小于规定运行速度时，重力和支持力的合力大于火车转弯需要的向心力，火车有做近心运动的趋势，内轨对车轮产生侧压力，重力、支持力和内轨的侧压力的合力提供火车做圆周运动的向心力，故A正确。
答案 A
2.(汽车过桥问题)(多选)如图所示，汽车以速度v通过一弧形的拱桥顶端时，关于汽车受力的说法中正确的是( )
A.汽车的向心力就是它所受的重力
B.汽车的向心力是它所受的重力与支持力的合力，方向指向圆心
C.汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用
D.汽车受到的支持力比重力小
解析 汽车以速度v通过一弧形的拱桥顶端时，汽车受重力、支持力、牵引力和摩擦力，重力与支持力的合力提供向心力，方向指向圆心，A、C错误，B正确；汽车受到的支持力比重力小，D正确。
答案 BD
3.(竖直面内的圆周运动——绳模型)如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
A.eq \r(gR) B.2eq \r(gR)
C.eq \r(\f(g,R)) D.eq \r(\f(R,g))
解析 小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝eq \r(\f(g,R))，选项C正确。
答案 C
4.(竖直平面内的圆周运动——杆模型)如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是( )
A.小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于0
B.小球过最高点时，速度至少为eq \r(gR)
C.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用
D.小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球受重力方向相反
解析 当小球在最高点的速度为eq \r(gR)时，杆所受弹力为0，A错误；因为是轻杆，小球过最高点时的最小速度是0，B错误；小球过最高点时，如果速度在0～eq \r(gR)范围内，则杆对小球有向上的支持力，但由于合力向下，故此时重力一定大于杆对球的作用，C正确；小球通过最高点的速度大于eq \r(gR)，小球的重力不足以提供向心力，此时杆对球产生向下的作用力，D错误。
答案 C
5.(离心现象的应用和防止)下列哪些现象不是为了防止物体产生离心运动( )
A.汽车转弯时要限制速度
B.转速很高的砂轮半径不能做得太大
C.在修筑铁路时，转弯处内轨要低于外轨
D.离心水泵工作时
解析 汽车转弯靠静摩擦力提供向心力，由F向＝meq \f(v2,R)，当v过大时，静摩擦力不足以提供向心力，产生离心运动。B、C两个选项与A分析方法相同，而离心水泵工作时是离心运动的应用。故选D。
答案 D
基础过关
1.(多选)火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损。为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，下列措施可行的是( )
A.适当减小内外轨的高度差
B.适当增加内外轨的高度差
C.适当减小弯道半径
D.适当增大弯道半径
解析 火车转弯时为减小外轨所受压力，可使外轨略高于内轨，使轨道形成斜面，若火车速度合适内、外轨均不受挤压，此时，重力与支持力的合力提供向心力，如图，F＝mgtan θ＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(gRtan θ)，当火车速度增大时，应适当增大转弯半径或增加内、外轨道高度差，故选B、D。
答案 BD
2.在世界一级方程式锦标赛中，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，其原因是( )
A.是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘造成的
B.是由于赛车行驶到弯道时，没有及时加速造成的
C.是由于赛车行驶到弯道时，没有及时减速造成的
D.是由于在弯道处汽车受到的摩擦力比在直道上小造成的
解析 由于路面材料及粗糙程度没变，所以直道、弯道所受的摩擦力大小应该是相同的，故D错误；对赛车受力分析可知，真正使赛车转弯的应该是地面给车的静摩擦力，之所以滑出是由于车速过高，需要的向心力大于最大静摩擦力，此时即使转动方向盘也没用，所以A、B错误，只有C正确。
答案 C
3.某高速公路弯道处设计为内侧低外侧高的圆弧弯道，使路面与水平面有一倾角α，弯道半径为R。当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯的速度v为(重力加速度取g)( )
A.v＝eq \r(gRtan α)
B.v＝eq \r(gRct α)
C.v＝eq \r(gR)
D.安全速度与汽车的质量有关
解析 当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯所需的向心力由重力和路面支持力的合力提供，即mgtan α＝meq \f(v2,R)，则汽车的转弯速度为v＝eq \r(gRtan α)，选项A正确。
答案 A
4.如图所示为水上摩天轮的照片。假如乘客在轿厢中，随转轮始终不停地匀速转动，环绕一周需18分钟。试判断下列关于轿厢中乘客的说法正确的是( )
A.乘客受到的合外力为零
B.乘客在乘坐过程中速度保持不变
C.乘客对座椅的压力大小不变
D.从最低点到最高点的过程中，乘客先超重后失重
解析 每个乘客都在做匀速圆周运动，速度大小不变，方向变化，所以是变速运动，加速度不为零，合力不为零，故A、B错误；乘客对座椅的压力大小是变化的，在最低点最大，到达摩天轮的最高点时，乘客的加速度向下，处于失重状态，对座椅的压力最小，故C错误；当有向上的加速度时处于超重状态，有向下的加速度时处于失重状态，所以从最低点到最高点的过程中，乘客先超重后失重，D正确。
答案 D
5.如图所示，用轻绳一端拴一小球，绕另一端O在竖直平面内做圆周运动。若绳子不够结实，则运动过程中绳子最易断的位置是小球运动到( )
A.最高点
B.最低点
C.两侧与圆心等高处
D.无法确定
解析 在最低点位置时，小球的速率最大，向心力方向又向上，拉力F＝mg＋meq \f(v2,r)，此处绳子受到的拉力最大，故最易断。选项B正确。
答案 B
6.如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动。当小球运动到最高点时，瞬时速度v＝eq \r(\f(1,2)Lg)，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是( )
A.拉力，大小为eq \f(1,2)mg B.压力，大小为eq \f(1,2)mg
C.0 D.压力，大小为eq \f(3,2)mg
解析 当只有重力提供向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝meq \f(v′2,R)，解得v′＝eq \r(gL)。因为eq \r(\f(1,2)gL)＜eq \r(gL)，杆对球的作用力是支持力，即mg－N＝meq \f(v2,L)，解得N＝eq \f(1,2)mg，由牛顿第三定律，球对杆的作用力是压力，故选B。
答案 B
7.某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动，圆的半径为R，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面，重力加速度取g)( )
A.mg B.2mg
C.mg＋eq \f(mv2,R) D.eq \f(2mv2,R)
解析 在最高点有F1＋mg＝meq \f(v2,R)，解得F1＝meq \f(v2,R)－mg；在最低点有F2－mg＝meq \f(v2,R)，解得F2＝mg＋meq \f(v2,R)。所以F2－F1＝2mg，B正确。
答案 B
8.质量为103 kg的小汽车驶过一座半径为50 m的圆形拱桥，到达桥顶时的速度为5 m/s。(重力加速度g＝10 m/s2)求：
(1)汽车在桥顶时对桥的压力；
(2)如果要求汽车到达桥顶时对桥的压力为零，且车不脱离桥面，到达桥顶时的速度应是多大？
解析 (1)汽车在最高点时重力与支持力的合力提供向心力。
mg－N＝meq \f(v2,R)
N＝mg－meq \f(v2,R)＝9 500 N
由牛顿第三定律可知，汽车对桥的压力
N′＝9 500 N(竖直向下)。
(2)当汽车对桥面压力恰好为0时，有mg＝meq \f(v2,R)，
v＝eq \r(gR)＝10eq \r(5) m/s。
答案 (1)大小为9 500 N 竖直向下 (2)10eq \r(5) m/s
能力提升
9.(多选)如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A.小球通过最高点时的最小速度是eq \r(Rg)
B.小球通过最高点时的最小速度为零
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
解析 圆环外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球通过最高点时的速度可以为零，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，即外侧管壁对小球一定有作用力，故B、D正确。
答案 BD
10.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道的压力大小为(重力加速度为g)( )
A.0 B.mg
C.3mg D.5mg
解析 当小球以速度v经内轨道最高点时，小球仅受重力，重力提供向心力，有mg＝meq \f(v2,r)。
当小球以速度2v经内轨道最高点时，小球受重力mg和向下的压力N，如图，合力提供向心力，有mg＋N＝meq \f(（2v）2,r)；又由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力与轨道对小球的压力相等，N′＝N；由以上三式可得，N′＝3mg。故C正确。
答案 C
11.如图所示是半径为r的竖直光滑圆形轨道，将一玩具小车放到与轨道圆心O处于同一水平面的A点，并给小车一竖直向下的初速度，使小车沿轨道内侧做圆周运动。要使小车不脱离轨道，则在A处使小车获得竖直向下的最小初速度应为(重力加速度为g)( )
A.eq \r(7gr) B.eq \r(5gr)
C.eq \r(3gr) D.eq \r(2gr)
解析 小车恰好不脱离轨道的条件是在最高点满足mg＝meq \f(v2,r)。小车沿轨道内侧做圆周运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒。设小车在A处获得的最小初速度为vA，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＝mgr＋eq \f(1,2)mv2，解得vA＝eq \r(3gr)。故选项C正确。
答案 C
12.(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F－v2图像如乙图所示，则( )
A.小球的质量为eq \f(aR,b)
B.当地的重力加速度大小为eq \f(R,b)
C.v2＝c时，小球对杆的弹力方向向下
D.v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
解析 由图乙可知：当v2＝b时，杆对球的弹力恰好为零，此时小球只受重力，重力提供向心力，mg＝meq \f(v2,R)＝meq \f(b,R)，即重力加速度g＝eq \f(b,R)，故B错误；当v2＝0时，向心力为零，杆对球的弹力恰好与球的重力等大反向，F弹＝mg＝a，即小球的质量m＝eq \f(a,g)＝eq \f(aR,b)，故A正确；根据圆周运动的规律，当v2＝b时杆对球的弹力为零，当v2＜b时，mg－F弹＝meq \f(v2,R)，杆对球的弹力方向向上，当v2＞b时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)，杆对球的弹力方向向下，v2＝c＞b，杆对小球的弹力方向向下，根据牛顿第三定律，小球对杆的弹力方向向上，故C错误；当v2＝2b时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)＝meq \f(2b,R)，又g＝eq \f(b,R)，F弹＝meq \f(2b,R)－mg＝mg，故D正确。
答案 AD
13.游乐园里过山车原理的示意图如图所示。设过山车的总质量为m，由静止从高为h的斜轨顶端A点开始下滑，到半径为r的圆形轨道最高点B时恰好对轨道没有压力，重力加速度为g。求：
(1)过山车在圆形轨道最高点B时的速度大小v。
(2)过山车从A到B过程中克服阻力所做的功W。
解析 (1)在B点，由牛顿第二定律和向心力公式有
mg＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(gr)。
(2)由动能定理有mg(h－2r)－W＝eq \f(1,2)mv2，
得W＝mgh－eq \f(5,2)mgr。
答案 (1)eq \r(gr) (2)mgh－eq \f(5,2)mgr
14.如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一个光滑的半圆形轨道，已知轨道的半径为R，小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰好等于小球的重力，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)小球到达轨道最高点时的速度大小；
(2)小球落地时距A点的距离；
(3)落地时速度的大小。
解析 (1)小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰好等于小球的重力，由牛顿第二定律得
mg＋N＝2mg＝meq \f(v2,R)
则小球的速度为v＝eq \r(2gR)。
(2)小球离开轨道后做平抛运动，
由平抛运动规律得2R＝eq \f(1,2)gt2
s＝vt
联立解得s＝2eq \r(2)R。
(3)小球脱离轨道后，只受重力作用，只有重力做功，机械能守恒，取水平面为零势能面，则
2mgR＋eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mv′2
落地时的速度大小为v′＝eq \r(6gR)。
答案 (1)eq \r(2gR) (2)2eq \r(2)R (3)eq \r(6gR)
核心素养
物理观念
科学探究
科学思维
科学态度与责任
1.会分析汽车、火车转弯时的向心力来源。
2.会分析汽车过凸形桥和凹形桥时的向心力来源。
3.理解轻绳模型和轻杆模型的相同点和不同点。
4.知道什么是离心运动和离心运动产生的条件。
竖直面内圆周运动的临界条件。
离心运动产生的条件。
通过分析火车转弯问题了解火车转弯的速度与安全的关系。
分类
分析
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
向心力
支持力与重力的合力提供向心力
支持力与重力的合力提供向心力
方程
mg－N＝meq \f(v2,r)
N－mg＝meq \f(v2,r)
压力
N′＝mg－meq \f(v2,r)
压力小于重力，当v＝eq \r(gr)时N＝0
N′＝mg＋meq \f(v2,r)
压力大于重力
项 目
实物图
原理图
现象及结论
洗衣机脱水筒
当水滴跟物体的附着力F不足以提供向心力时，即F＜mω2r，水滴做离心运动
汽车在水平路面上转弯
当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即fmax＜meq \f(v2,r)，汽车做离心运动
用离心机把体温计的水银甩回玻璃泡中
当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力时，水银柱做离心运动进入玻璃泡内
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