【数学】甘肃省庆阳二中2018-2019学年高二上学期第三次月考（理）（解析版） 试卷
展开甘肃省庆阳二中2018-2019学年高二上学期第三次月考（理）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上。
第1卷 （选择题）
一、选择题。（每小题5分，共60分）
1.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. B. C. D.
2.已知是椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于，两点,若的周长为,则椭圆方程为( )
A. B. C. D.
3.已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,则的方程是( )
A. B. C. D.
4.若,，且与的夹角为钝角,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.如图所示,在平行六面体中,为与的交点,若
,,.则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
6.双曲线的左、右焦点分别是,,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知点为抛物线上的动点,点在轴上的射影是,点坐标为,则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.设分别是椭圆，的左右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9.设平面上有四个互异的点,,,,已知,则的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
10.已知双曲线的左、右焦点分别是、,其一条渐近线方程为,点在双曲线上.则 ( )
A.-12 B.-2 C.0 D.4
11.在正三棱柱中, ,则与所成角的大小为( )
A.60° B.90° C.105° D.75°
12.已知,分别为双曲线的左、右焦点, 为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题。（每小题5分，共20分）
13.若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则等于__________
14.设抛物线的焦点为,点若线段的中点在抛物线上,则到该抛物线准线的距离为________.
15.已知向量,且与互相垂直,则__________.
16.直线被抛物线截得线段的中点坐标是 .
三、解答题。
17.（10分） 根据下列条件求双曲线的标准方程.
（1） 经过点,焦点在轴上;
（2）与双曲线有相同的焦点,且经过点.
18.（12分）已知抛物线的顶点在原点,过点且焦点在轴。
（1）求抛物线方程；
（2）直线过定点,与该抛物线相交所得弦长为,求直线的方程。
19.（12分） 如图(1)所示,在中, ,,,、分别是、上的点,且,,将沿折起到的位置,使,如图(2)所示。若是的中点,求与平面所成角的大小;
20.（12分） 在直三棱柱中,,,是中点.
（1）求证:平面;
（2）求点到平面的距离;
21.（12分） 如图,在四棱锥中,底面梯形中, ,平面平面,是等边三角形,已知,.
（1）求证:平面平面;
（2）求二面角的余弦值.
22.（12分） 已知椭圆的离心率,并且经过定点.
（1）求椭圆的方程;
（2）问是否存在直线,使直线与椭圆交于两点,满足,若存在,求值,若不存在说明理由。
参考答案
一、选择题
1.答案：C
解析：双曲线的一个顶点坐标为,一条渐近线为,故由对称性知顶点到渐近线的距离,选C
考点:双曲线的几何性质,点到直线的距离。
点评:简单题,通过确定双曲线的顶点、渐近线方程,利用点到直线的距离公式计算。
2.答案：A
解析：∵是椭圆的两个焦点∴,又根据椭圆的定义, 的周长,得,进而得,所以椭圆方程为.
3.答案：B
解析：∵,∴∴
∴
∴双曲线的标准方程为,故选B.
4.答案：B
解析：∵为钝角,∴,即,∴.
5.答案： A
解析：
。答案选A。
6.答案：B
解析：在直角中于是
从而有代入,得,故
7.答案：C
解析：由已知得焦点，点在抛物线外，故选C
8.答案 C
解析 根据椭圆定义，知,两式相加得，即,而,所以，即
9.答案：B
解析：,得,所以是等腰三角形.
10.答案：C
解析：因为双曲线的渐近线为,所以=1,解得.所以双曲线的方程为.又因为点在曲线上,所以.又因为.所以∴.故选C.本题通过渐近线求出双曲线的方程.从而求出的值.在根据向量的数量积即可求出答案.
考点:1.双曲线的渐近线.2.向量的数量积.3.椭圆的标准方程.
11.答案：B
解析：解法一：
设,,且令,
则,,,,
,
,
∴,
∴,
∴
解法二：
取的中点,建立空间直角坐标系,
设,则,,,,
∴ ∴与所成的角为90°
12.答案：A
解析：设,,
故,
为使得等号成立,由基本不等式可知,
只有在时,取得最小值,
故,
又∵,∴.
二、填空题
13.答案：
解析：依题意有,解得
14.答案：
解析：由已知得点的纵坐标为1,横坐标为,即的坐标为,将其代入得,解得则点到准线的距离为.
15.答案：
解析：
16.答案： (3,2)
解析： 设直线与抛物线交于,其中
.
联立方程组得,即,
∴,∴中点坐标为.
三、解答题
17.答案：1.线的焦点在轴上
∴设所求双曲线的方程为
∵双曲线过点,∴
解得或 (舍去),故所求双曲线的标准方程为
2.所求双曲线与双曲线有相同的焦点,
可设所求双曲线的方程为
双曲线过点∴
解得或 (舍去),故所求双曲线的标准方程为
18.答案：1.设抛物线方程为抛物线过点,,得则
2.①当直线的斜率不存在时,直线与抛物线交于,弦长为,不合题意;
②当直线的斜率存在时,设斜率为,直线为,消得,
弦长解得得,
所以直线方程为或
19.答案：如图,以为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,.
所以,.
设平面法向量为.
则所以
则故,
又因为,所以.
设与平面所成角的大小为,
则.
故与平面所成角的大小为.
20.答案：1.连结交于,连结.因为,平面,平面,所以平面
2.因为为的中点,所以,建立如图所示的坐标系。
则,,,
所以,,
设平面的法向量为,则,取,所以所求距离
21.答案：1.证明:在中,由于,
∴,故.
又平面平面,平面平面,
平面,∴平面,
又平面,故平面平面 .
2.如图,以所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系,,,
设平面的法向量为,
则,
即
令,则
∴.
设平面的法向量为,
则,即,令,则,
∴.
∴二面角的余弦值为.
22.答案：1.因为E经过点(0, 1),所以,
又因为椭圆E的离心率为 所以
所以椭圆E的方程为:
2.设 (*)
所以
由得
又方程(*)要有两个不等实根, m的值符合上面条件,所以
