广东省东莞市第四高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题

东莞市第四高级中学2020—2021学年度第一学期期中考试

高二年级数学试卷

满分150分，考试时间120分钟

一、单选题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的4个选项中，

只有一项符合题目要求）

1.已知中，，则角等于（      ）

A.         B.          C.             D.

2.在中，，则等于（     ）

A． B． C． D．

3.等差数列中，，公差d=2,则=（     ）

A． 200             B．100          C．90           D． 80

4．等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，则a6＝(　  　)

A．64             B．128            C．256              D．512

5. △ABC中，若，则B等于（    ）

A.            B.         C.                D.

6. △ABC中，分别是角A和角B所对的边，，则△ABC是（      ）

A.等腰三角形     B.等边三角形     C.直角三角形       D.等腰或直角三角形

7. 不等式组表示的平面区域是下列图中的(  　　)

8.已知数列为等比数列，且，则的值为（     ）

  A．       B．       C．       D．

9.对于给定的实数a，关于实数的一元二次不等式的解集不可能是(      )

A.       B.        C.        D.

10.已知数列的前项和为，且满足，，则（    ）

A．7          B． 12          C．14            D．21

二、多选题：（本大题共2个小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的4个选项中，

有多项符合题目要求）

11.已知，则下列不等式中一定成立的是 （         ）

A.     B.      C.    D.

12.记为等差数列前项和，若 且，则下列关于数列的描述正确的是（    ）

A.          B.数列中最大值的项是 

C.公差              D.数列也是等差数列

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

13. 函数的最小值为_______________________.

14．数列的前项和为，若，则_________.

15．设的内角、、所对的边分别为，，，，

,则面积的最大值是_________________.

16．火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用A、B两种型号的车厢共50节运送这批货物.已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货厢；25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B节货厢，据此安排A、B两种货厢的节数，共有______种方案.若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，则最少运费为____________万元.

四．解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. (本题10分)设是一个公差为的等差数列，已知，

且.求数列的通项公式．

18. (本题12分)在锐角中，角的对边分别是，且．

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，且，求的值．

19．(本题12分)某化工企业2018年年底投入100万元，购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备年的年平均污水处理费用为（单位：万元）

（1）用表示；

（2）当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备,则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备?

20. (本题12分)如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.

（1）求点D到塔底B的距离BD；

（2）若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高.

21.(本题12分)已知二次函数.

（1）若，解不等式：；

（2）求使不等式的解集为的实数的取值范围.

22．(本题12分)

已知数列的前项和为，且．

 （1）求的值；

 （2）证明数列是等比数列，并求出的通项公式；

 （3）设，，求数列的前项和．

东莞市第四高级中学2020—2021学年度第一学期期中考试

高二数学参考答案

ABCAA    DDBBC

10. ∵，∴，∴数列为等差数列．

∵，∴，∴．

11.ABC    12.AB

13. 6      14.       15.   16．3  ,   31

16.解：设需要A型货厢x节，则需要B型货厢(50-x)节
依题意得 
由①得x≥28    由②得x≤30
∴28≤x≤30   ∵x为整数，∴x取28，29，30.
因此有三种方案：① A型车厢28节，B型车厢22节；② A型车厢29节，B型车厢21节；
③ A型车厢30节，B型车厢20节.
由题意，当A型车厢为x节时，运费为y万元，则y=0.5x+0.8(50-x)=0.5x+40-0.8x=-0.3x+40
显然，当x=30时，y最小，即方案③的运费最少。最少运费是31万元.

17. 解：设数列的公差为，则

，即

整理得

，又，           ………………………4分

又，

                 ………………………8分

数列的通项公式为：.   ………………………10分

18. 解：（1）由题意知,   根据正弦定理得：    ．．．．2分

∴                         ．．．．．．．．．．．．3分

       ∵是锐角三角形的内角．．．．．4分       ∴  ．．．．．．5分

    （2）因为   ∴    ．．．．．．．．．．．．．7分

         又∵

         ∴                      ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

         由余弦定理

        ∴      ．．．．．．．．．．．．11分

        ∴．                           ．．．．．．．．12分

19.（1）由题意得，，..........4分

即...........6分

（2）由基本不等式得：，..........10分

当且仅当时取等号...........11分

故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备...........12分

20．解：（1）由题意可知，∠BCD=450，∠BDC=1050，故∠CBD=300........2分

在ΔBCD中，由正弦定理，得

（2）在ΔBCD中，由正弦定理，得

所以，铁塔高AB为米.....................12分

21. （1）依条件知，不等式为

由方程解得：         ……2分

观察函数的图像得

                ……5分

（2）依条件知：要满足不等式的解集为，则方程无实数根，函数的图像开口向上且与就没有交点，满足：            ……6分

，即  ……8分

由方程得，         ……10分

由函数的简图知 或 又，故  ……12分

22．（1）    …1分

                …2分

         …3分

（2）由，,        …4分

两式相减得：    即,              …5分

由（1）得  ∴n=1也成立     …6分

所以数列是以首项为，公比为的等比数列，得    ... …7分

（3）= n ，    =            ......…8分 

则=   …9分

得3×                                ……10分

上两式相减得 2×1+=   ……11分

得：                          …12分.

（说明：算得、均得满分）