【数学】河北省隆化县存瑞中学2019-2020学年高二上学期第一次质检试题
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高二上学期第一次质检试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
（第I卷）
一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共60分。每题只有一个正确的选项，请将正确选项的序号涂在答题卡上。否则不得分。）
- 在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是 ( )
A. 4件都是正品 B. 至少有一件次品
C. 4件都是次品 D. 至少有一件正品
- 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）=（ ）
A. B. C. D.
- 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是( )
A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生”
B. “至少1名男生”与“全是女生”
C. “至少1名男生”与“全是男生”
D、恰好有1名男生”与“恰好2名女生”
- 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A. B. C. D.
- 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
- 完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是（）
①从30件产品中抽取3件进行检查．
②某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为300的样本；
③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈．
A. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
C. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D. ①简单随机抽样，②分层 抽样，③系统抽样
- 在区间[0，2]上随机取一个实数x，则事件“3x-1＜0”发生的概率为（ ）
A. B. C. D.
- 焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
- 我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（ ）
A. B. C. D.
- 如图，在边长为2的正方形ABCD的内部随机取一点E，则△ABE的面积大于的概率为（ ）
A. B. C. D.
- 设F1，F2是椭圆（0＜b＜2）的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
- 已知椭圆的左，右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，
若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（第II卷）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中对应题号的横线处。）
- 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______．
- 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．
- 一根木棍长为5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为__ __.
- 已知点P是椭圆上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2=120°，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为______．
三、解答题：（本题共6小题，总分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分)
已知椭圆中心在原点，焦点为，，且离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于A，B两点，求的周长．
18、（本小题满分12分）
绿色出行越来越受到社会的关注，越来越多的消费者对新能源汽车感兴趣但是消费者比较关心的问题是汽车的续驶里程某研究小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程单次充电后能行驶的最大里程，被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，，绘制成如图所示的频率分布直方图．
求直方图中m的值；
(2)求本次调查中续驶里程在
的车辆数；
若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车续驶里程在的概率
19.(本小题满分12分)
设()；.
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，且p与q一真一假，求实数的取值范围.
20.(本小题满分12分)
某种产品的广告费用支出x(万元)与销售额y(万元)之间有如下的对应数据：
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)据此估计广告费用为9万元时，销售收入y的值.
注：①参考公式：线性回归方程系数公式；
②参考数据：
21．(本小题满分12分)
已知平面内有两定点F1(-1,0),F2(1,0)，动点P满足,记点P的轨迹为曲线C.
（I）求曲线C的方程；
（II）若，求的面积.
22．(本小题满分12分)
已知椭圆焦点为且过点，椭圆上一点到两焦点 , 的距离之差为2，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的面积.
参考答案
1、【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】B 6.【答案】D
7.【答案】D 8.【答案】A 9.【答案】B 10.【答案】C 11.【答案】A 12.【答案】C
13.【答案】0＜m＜ 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】
17.【答案】解：（1）因为，，，
所以，
得到.又椭圆的焦点在x轴上，
所以求椭圆的标准方程为.
（2）因为F1的直线l交椭圆于两点，
根据椭圆的定义的周长等于．
【解析】本题考查椭圆的标准方程的求法，解题的关键是运用椭圆的定义，是容易题.
（1）根据椭圆的两个焦点坐标，得到a，再由c,求得b,从而得椭圆标准方程；
（2）根据椭圆的定义可求.
18.【答案】解：（1）由直方图可得：（0.002+0.005+0.008+m+0.002）×50=1，
解得m=0.003；
（2）由题意知续驶里程在[200，300]的车辆数为20×（0.003×50+0.002×50）=5；
（3）由题意知，续驶里程在[200，250）的车辆数为3，设为a，b，c，
续驶里程在[250，300]的车辆数为2，设为d，e，
共有10个基本事件：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，
设“其中恰有一辆车续驶里程在[200，250]”为事件A，
则事件A包含6个基本事件：ad，ae，bd，be，cd，ce，
则.
【解析】本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．
（1）利用小矩形的面积和为1，求得m值；
（2）求得续驶里程在[200，300]的车辆的频率，再利用频数=频率×样本容量求车辆数；
（3）利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．
19.【答案】解：（1）由得：
若q是p的充分不必要条件，则即,
所以
所以，实数的取值范围是
（2）当时， 因为为假，为真，所以一真一假。
p真q假时，得 ,所以2<x≤3；
p假q真时，得 ,所以-3≤x<1;
综上，实数x的取值范围是 .
【解析】本题考查了有逻辑联结词的复合命题的真假，以及充分条件的应用求参数的范围.
（1）若是的充分不必要条件，可得到 p,q对应集合的关系，从而得到结果.
（2），且为假，为真得到p,q一真一假，在此两种情况下分别求出满足条件的x范围.
20.【答案】解：（1）根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，在平面直角坐标系中画出点，得到散点图．
（2）∵=5，=50
∴b==6.5
∴a=-b=50-6.5×5=17.5
∴回归直线方程为y=6.5x+17.5
（3）当x=9时，预报y的值为y=9×6.5+17.5=76．
【解析】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，本题是一个基础题．
（1）根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，在平面直角坐标系中画出点，得到散点图．
（2）先做出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，再做出a的值，协会粗线性回归方程．
（3）把所给的x的值代入线性回归方程，求出y的值，这里的y的值是一个预报值，或者说是一个估计值．
21.【答案】解：（I）由椭圆定义知：,
所以动点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆，
其中，
故
所以曲线的方程.
（II）设由已知得，
所以：中，由余弦定理得：,
所以
故.
【解析】本题考查了动点的轨迹方程、椭圆的概念及标准方程、余弦定理和三角形面积公式，是中档题.
（I）考查求曲线的轨迹，根据题意知：符合椭圆定义，直接求解，
（II）考查椭圆中焦点三角形问题，根据几何性质求解.属中档题.
22.【答案】解：（1）由,解得,
所以椭圆的标准方程为.
（2）由，解得.
又，故满足.
∴为直角三角形.
∴.
【解析】本题考查椭圆的标准方程的求法和椭圆的几何性质的应用.
(1)由,得，则方程为.
(2)由，解得,满，可知为直角三角形.可求三角形的面积.
