【数学】河北省曲周县一中2018-2019学年高二上学期12月月考（理） 试卷
展开河北省曲周县一中2018-2019学年
高二上学期12月月考（理）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)
1.“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2.曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3.已知为等比数列，且，，则（ ）
A． B． C．4 D．
4.双曲线的一个焦点到渐近线的距离为（ ）
A．1 B．2 C. D．
5.在正方体中分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．0 B．
C. D．
6. 已知，则 的最小值（ ）
A． B． C． D．
7.在中，三内角所对边的长分别为，已知，，，则（ ）
A． B． C.或 D．或
8.下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“，则”的逆否命题是真命题
B．命题“，均有”的否定为“，使得”
C.命题“”的否定是“”
D．命题“若，则”的否命题为“若，则”
9. 函数，是的导函数，则的图象大致是（ ）
A B C D
10.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为（ ）
A． B． C. D．
11如图，在三棱锥O-ABC中 ，点D是棱AC的中点 ，若 ， ， ，则等于( )
A. B. C. D.
12. 设是函数的导函数，，若对任意的，
，则的解集为（ ）
A. (－1,1) B. (－1,+∞) C. (－∞,－1) D. (－∞,1)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.若满足约束条件，则的最大值为 ．
14.已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，的中点的横坐标为2，则此抛物线的方程为 ．
15. 若在(－1,+∞)上是减函数，则b的取值范围是 ．
16. 如图，已知二面角的大小为60°，其棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则线段的长为 ．
三、解答题：(本大题共6小题，17题10分，其余5题每题12分 ，共70分.)
17.在锐角中，内角的对边分别为，已知.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求的值和的面积.
18. 设数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19. 如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.
(1) 若m＝1，求异面直线AP与BD1所成角的余弦值；
(2) 是否存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成角的正弦值是？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
20. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，且，.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
21. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求在区间[0,1]上的最小值.
22. 已知椭圆经过点，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，且，求直线的方程.
参考答案
一、选择题
1-5:ABCBD 6-10: CCBAC 11、12：BB
二、填空题
13.2 14. 15. (－∞,－1] 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由，
由正弦定理，得，则.
∵，，∴，
∴，，∵，∴.
（Ⅱ）由，得.
根据余弦定理，得，∴.
∴.
18. 解：（1）因为， ①
当时， ②
①②得， ，所以
当时， 适合上式，所以（）
（2）由（1）得所以
所以
③
④
③④得
,
所以
19. (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，2)，D1(0，0，2)．
所以 ＝(－1，－1，2)， ＝(－1，1，1)．
，
即异面直线AP与BD1所成角的余弦是.
(2) 假设存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，则
＝(1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，1，m)．
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则由 得 取x＝2，得平面AB1D1的法向量为n＝(2，－2，1)．
由直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，得
，
解得m＝.
因为0≤m≤2，所以m＝满足条件，
所以当m＝时，直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于.
20. （Ⅰ）证明：∵平面，∴.又，，
∴.故平面.又平面，∴平面平面.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，设的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点作的平行线为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
不防设，又∵，，，
∴.连接，又，∴,∴，∴平面.
∴，
，，.
设为平面的法向量，
则，即，可取.
∵为平面的法向量，∴.
又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.
21. 解：（1）
令，得，
，随的变化情况如下：
0 | |||
∴的单调递减区间是，的单调递增区间；
（2）当，即时，函数在区间上单调递增，
∴在区间上的最小值为；
当，即时，
由（1）知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴在区间上的最小值为
当，即时，函数在区间上单调递减，
∴在区间上的最小值为；
综上所述
22.解：（Ⅰ）由题意得，解得.故椭圆的方程是.
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，消去，得.
则有，.
.
设的中点为，则，.
∵直线与直线垂直，∴，整理得.∴.
又∵
，
∴，解得或.
∵与矛盾，∴.∵，∴.
故直线的方程为或.
