【数学】河北省大名县一中2018-2019学年高二（清北班）上学期12月半月考（理） 试卷

河北省大名县一中2018-2019学年

高二（清北班）上学期12月半月考（理）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数等于（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

3．函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

6．在中，，，，则角等于（    ）

A．或 B． C． D．

7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是（    ）

A． B． C． D．

9．在长方体中，，与所成的角为，

则（    ）

A． B．3 C． D．

10．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

11．函数对任意的实数都有，若的图像关于对称，且，则（    ）

A．0 B．2 C．3 D．4

12．设，分别为椭圆的右焦点和上顶点，为坐标原点，是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．曲线在点处的切线方程为__________．

14．若变量，满足约束条件，则的取值范围是__________．

15．已知，，则__________．

16．四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）设为数列的前项和，已知，．

（1）证明：为等比数列；

（2）求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？

18．（12分）某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：

（1）可用线性回归模型拟合与之间的关系吗？如果能，请求出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；

（2）公司决定再采购，两款车扩大市场，，两款车各100辆的资料如表：

平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？

参考数据：，，，．

参考公式：相关系数；

回归直线方程，其中，．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．

（1）证明：；

（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．

20．（12分）已知的直角顶点在轴上，点，为斜边的中点，且平行于轴．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为．以为直径的圆交轴于、，记此圆的圆心为，，求的最大值．

21．（12分）已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在有两个零点，求的取值范围．

22.已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．

参考答案      

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【解析】，故选C．

2．【答案】C

【解析】集合，，

∴，故选C．

3．【答案】B

【解析】由题得，所以函数是偶函数，

所以图像关于y轴对称，所以排除A，C．由题得，所以D错误，

故答案为B．

4．【答案】D

【解析】，

则向量在向量方向上的投影为：．

故选D．

5．【答案】D

【解析】双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，

可得，解得，则双曲线的标准方程是．故选D．

6．【答案】A

【解析】∵，，，∴由正弦定理得：．

则，又∵，，∴或．

故选A．

7．【答案】C

【解析】输入，，，，；

，，；

，，；

，结束运算，输出，故选C．

8．【答案】C

【解析】由题得恰好是2个白球1个红球的概率为．故答案为C．

9．【答案】D

【解析】如图所示，连接，

∵，∴是异面直线与所成的角，即，

在中，，

在中，有，即．故选D．

10．【答案】B

【解析】函数

，

的图象向左平移个单位，得的图象，

∴函数；

又在上为增函数，∴，即，解得，

所以的最大值为2．故选B．

11．【答案】B

【解析】因为的图像关于对称，

所以的图像关于对称，即为偶函数，

因为，

所以，所以，，

因此，，，故选B．

12．【答案】A

【解析】根据，由平面向量加法法则，

则有为平行四边形的对角线，故，

联立椭圆、直线方程，可得，

∵，则 ，
，

可得，∴，故选A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】．

【解析】的导数，

则在处的切线斜率为，切点为，

则在处的切线方程为，即为．

故答案为．

14．【答案】

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示阴影部分；

由得，即直线的截距最大，也最大；

平移直线，可得直线经过点时，截距最大，此时最大，

即；经过点时，截距最小，由，得，

即，此时最小，为；

即的取值范围是，故答案为．

15．【答案】

【解析】∵，，∴，

则，解得．

∴．

故答案为．

16．【答案】

【解析】四棱锥中，

可得：；平面平面平面，

过作于，则平面，

设，故，

所以，，

在中，，则有，，

所以的外接圆半径，

将该四棱锥补成一个以为一个底面的直三棱柱，

得外接球的半径，，

所以．故答案为．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过

程或演算步骤．

17．【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）证明：∵，，∴，

∴，∴，，

∴是首项为2，公比为2的等比数列．

（2）由（1）知，，∴，

∴，

∴

∴，即，，成等差数列．

18．【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）∵，，

，．

∴，

所以两变量之间具有较强的线性相关关系，

故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．

，

又，，

∴，

∴回归直线方程为．

（2）用频率估计概率，款车的利润的分布列为：

∴（元）．

款车的利润的分布列为：

∴（元）．

以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择款车型．

19．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，可得，，，，

由为棱的中点，得．向量，，

故，．

（2），，，，

由点在棱上，设，，

故，

由，得，

因此，，即，

设为平面的法向量，则，即，

不妨令，可得为平面的一个法向量

取平面的法向量，则，

所以二面角的余弦值为．

20．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设点的坐标为，

则的中点的坐标为，点的坐标为．

，，

由，得，即，

经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去．

所以轨迹的方程为．

（2）依题意，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，点、的坐标分别为、，圆心的坐标为．

由，可得，∴，．

∴，∴．

∴圆的半径．

过圆心作于点，则．

在中，，

当，即垂直于轴时，取得最小值为，取得最大值为，

所以的最大值为．

21．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）证明：当时，函数．则，

令，则，令，得．

当时，，当时，

∴在单调递增，∴．

（2）解：在有两个零点方程在有两个根，

在有两个根，

即函数与的图像在有两个交点．，

当时，，在递增

当时，，在递增

所以最小值为，

当时，，当时，，

∴在有两个零点时，的取值范围是．

22.【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，∴，

当时，不等式可化为，解得，所以；

当，不等式可化为，解得，无解；

当时，不等式可化为，解得，所以

综上所述，．

（2）因为，

且的解集不是空集，

所以，即的取值范围是．