【数学】河北省大名县一中2018-2019学年高二上学期18周周测（理）（解析版）

河北省大名县一中2018-2019学年高二上学期18周周测（理）

一、单选题

1．△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于(　　)

A．        B．

C． 或    D． 或

2．已知定义在上的奇函数满足,数列的前项和为,且,则(    )

A． 0    B． 0或1

C． -1或0    D． 1或-1

3．设，，若是与的等比中项，则的最大值为（     ）

A．     B．     C．     D．

4．若满足约束条件 ，则的最大值为（   ）

A． 4    B． 8    C． 2    D． 6

5．设，则“”是“且”的（    ）

A． 充分而不必要条件    B． 必要而不充分条件

C． 充要条件    D． 既不充分也不必要条件

6．有下列三个命题:

①“若,则互为相反数”的逆命题;

②“若,则”的逆否命题;

③“若,则”的否命题.

其中真命题的个数是(　  　).

A． 0    B． 1    C． 2    D． 3

7．已知双曲线的离心率等于，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，则的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

8．已知函数在区间上单调递减，则的最小值是（   ）

A．     B．     C．     D．

9．由曲线围成的封闭图形的面积为（     ）

A．     B．     C．     D．

10．函数在点处的切线方程为（   ）

A．     B．     C．     D．

11．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（    ）

A．     B．

C．     D．

12．已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数所对应的点在（     ）

A． 第一象限    B． 第二象限    C． 第三象限    D． 第四象限

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．已知函数的导函数为，且满足，则______．

14．命题“若则”的逆否命题是______________.

15．若数列的首项，且，则=________.

16．在中三个内角C，所对的边分别是a，b，c，若（b+2sinC）cosA=-2sinAcosC，且a=2，则面积的最大值是________

三、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且

求A；

若，，求c．

18．已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列满足，．

Ⅰ求数列，的通项公式；

Ⅱ求的值．

19．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在实数使，若存在求出实数的值；若不存在需说明理由.

20．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点.

（I）证明：AM⊥PM ；

(II)求二面角P－AM－D的大小.

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，可得BC＝1或BC＝2，分别利用面积公式计算面积即可得解.

【详解】

由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，即1＝3＋BC2－3BC，

解得BC＝1或BC＝2，

当BC＝1时，△ABC的面积S＝AB·BCsin B＝××1×＝.

当BC＝2时，△ABC的面积S＝AB·BCsin B＝××2×＝，

综上，△ABC的面积等于或.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了利用余弦定理求解三角形，利用面积公式计算面积，属于基础题.

2．A

【解析】

【分析】

由满足f（x+2）=f（x），因此函数f（x）是周期为2的函数．由Sn=2an+2，利用递推关系可得an．再利用周期性与奇函数的性质f（0）=0即可得出．

【详解】

∵,

所以函数周期为2,

∵数列满足,

∴,,∴,即,

∴以-2为首项,2为公比的等比数列,

∴,∴,故选A.

【点睛】

本题考查了数列的递推关系、函数的奇偶性与周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．C

【解析】

【分析】

先由等比中项化简得2x+y=1，进一步利用均值不等式求出结果．

【详解】

因为x＞0．y＞0，若是9x与3y的等比中项，

则：，即：2x+y=1，

由1=2x+y．（当且仅当2x=y=等号成立）

即xy

故选：C．

【点睛】

本题考查的是由基本不等式求最大值问题，也利用了等比数列的性质，属基础题．

4．A

【解析】

【分析】

作出可行域，根据目标函数求最值即可.

【详解】

作出可行域如图：

作出直线，平移直线，当直线经过点A时，Z有最大值.

由 解得 ，

所以，故选A.

【点睛】

本题主要考查了线性规划最优解，属于中档题.

5．B

【解析】

【分析】

由“且”易得“”一定会成立，当且时，可得“”成立，但“且”不成立，从而得解.

【详解】

显然“且”成立时，“”一定会成立，所以是必要条件，

当且时，“”成立，但“且”不成立，所以不是充分条件.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.

6．B

【解析】

【分析】

①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假。

【详解】

①“若,则互为相反数”的逆命题是，若互为相反数则；是真命题；②“若,则”，当a=-1,b=-2,时不满足，故原命题为假命题，而原命题和逆否命题真假性相同，故得到命题为假；③“若,则”的否命题是若,则，举例当x=5时，不满足不等式，故得到否命题是假命题；

故答案为：B.

【点睛】

这个题目考查了命题真假的判断，涉及命题的否定，命题的否命题，逆否命题，逆命题的相关概念，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假。

7．B

【解析】

【分析】

先由离心率等于求出双曲线的方程，再利用直线与双曲线的左右两支各有一个交点，联立直线方程与双曲线方程可得，根据方程根与系数的关系建立不等式组，即可求出的取值范围.

【详解】

双曲线的离心率等于,

,可得

,

双曲线,

直线与双曲线联立可得,

直线与双曲线的左右两支各有一个交点,

,,

即的取值范围是，故选B.

【点睛】

本题主要考查双曲线的离心率、双曲线的几何性质，以及双曲线与直线的位置关系，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及综合应用所学知识解答问题的能力，考查函数与方程思想的应用，属于综合题.

8．A

【解析】

【分析】

利用函数的导数，推出m，n的不等式组，然后利用线性规划，表达式的几何意义求解即可．

【详解】

∵，
∴ ，
∵在区间上单调递减，
∴在区间上恒成立，
∴，不等式组表示的可行域如图阴影部分，
∴则m2+n2的几何意义是可行域内的点与原点距离的平方，显然原点到直线距离最小，所以则 ．
故选：D．

【点睛】

本题考查函数的单调性，考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，线性规划的应用，属于中档题．

9．A

【解析】

【分析】

先计算出两个图像的交点分别为，再利用定积分算两个图形围成的面积.

【详解】

封闭图形的面积为.选A.

【点睛】

本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.

10．C

【解析】

【分析】

点 在曲线上，先求出点的纵坐标，再根据导数几何意义先求出切线的斜率，有直线的点斜式方程即可写出切线方程.

【详解】

，

又

切线方程是：

故选C

【点睛】

本题考查导数的应用，近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线在点的导数就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.

11．C

【解析】

【分析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．

【详解】

当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，

当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查数学归纳法，属于中档题./

12．D

【解析】

【分析】

利用复数的乘除运算性质可求得 ，从而可得 ，根据复数的几何意义可得解.

【详解】

因为，所以 ，其在复平面对应的点为，位于第四象限，故选D.

【点睛】

解答与复数有关的问题时，通常需要先把所给的复数化为a+bi （a，b∈R）的形式，再根据题意求解,复数z=a+bi（a,b∈R）在复平面的对应点坐标是（a，b）

13．

【解析】

【分析】

将看成常数，利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出．

【详解】

因为，

所以 ，

令得

，

，

，故答案为6.

【点睛】

本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题．

14．若，则

【解析】

【分析】

命题的逆否命题既否结论又否条件，根据这一要求写出即可.

【详解】

命题“若则”的逆否命题是若，则。

故答案为：若，则.

【点睛】

这个题目考查了命题的逆否命题，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假。

15．

【解析】

【分析】

将变形为，即得出是以2为首项，1为公差的等差数列。

【详解】

得且

所以

即是以2为首项，1为公差的等差数列。

=n+1，从而

【点睛】

本题主要考察等差数列的定义及通项公式，考察的核心要素是数学运算及推理逻辑。

16．

【解析】

【分析】

根据正弦定理将边化为角化简，即可求得角A，结合余弦定理及不等式，即可求得bc的最大值，进而求得三角形面积的最大值。

【详解】

则，结合正弦定理得，即，

由余弦定理得，化简得，故

，故答案为

【点睛】

本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的基本应用，不等式求最值的用法，属于基础题。

17．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出的值，即可确定出A的度数；

由的值求出的值，进而求出的值，由a，，的值，利用正弦定理即可求出c的值．

【详解】

解：，，

代入已知等式得：，

整理得：，

是三角形内角，

；

为三角形内角，，

，

，

，，，

由正弦定理得：．

【点睛】

此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

18．(Ⅰ)；(Ⅱ)

【解析】

【分析】

(Ⅰ)根据题意求出等差数列的的首项和公差、等比数列的首项和公比，然后可得两个数列的通项公式； (Ⅱ)由(Ⅰ)得，然后根据错位相减法可得所求数列的和．

【详解】

(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.

，

,

又,

,

又，,

,

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得．

令，

则   ……①

∴……②

①-②得：

 ，

∴．

【点睛】

（1）对于等差（比）数列的基本运算的问题，可转化为两数列的最基本的量处理，即求出数列的首项和共差（比）后可得所求问题．

（2）用错位相减法求和的注意事项

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；

③应用错位相减法求和时，由于要涉及到大量的计算，容易出现错误，所以在解题时要注意计算的准确性，平时要重视对计算的训练．

19．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线焦点可得,又根据离心率可求,利用，即可写出椭圆的方程

（2）由题意可设直线的方程为，联立方程组，消元得一元二次方程，写出，利用根与系数的关系可求存在m.

【详解】

（1）抛物线的焦点是

，，又椭圆的离心率为，即

，，则

故椭圆的方程为.

（2）由题意得直线的方程为

由消去得.

由，解得.

又，.

设，，则，.

.

，，

则由，即，

解得或.又，

.

即存在使.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的简单几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，直线和椭圆相交的问题，向量的运算，属于难题.

20．（1）见解析； （2）45°.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,求出与的坐标，利用数量积为零，即可证得结果；（Ⅱ）求出平面PAM与平面ABCD的法向量，代入公式即可得到结果.

【详解】

（I）证明:以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,依题意，可得   

∴

∴

即,∴AM⊥PM .

 (II)设，且平面PAM，则

   即 ∴ ，   

取，得；取，显然平面ABCD，

 ∴，结合图形可知，二面角P－AM－D为45°.

【点睛】

空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.