2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：2.12　定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用

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第十二节　定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用

知识体系

必备知识

1.定积分的概念、几何意义和性质

(1)定积分的定义及相关概念.

①定义:一般地,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b,将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi

(i=1,2,…,n),作和式f(ξi)Δx=f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)dx.

②相关概念:在f(x)dx中,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.

(2)定积分的几何意义.

(3)定积分的性质.

①kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数).

②[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx.

③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b).

2.微积分基本定理

一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)dx

=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿-莱布尼茨公式.

3.定积分的应用

(1)定积分与曲边梯形面积的关系.

设阴影部分的面积为S.

①S=f(x)dx;

②S=-f(x)dx;

③S=f(x)dx-f(x)dx;

④S=f(x)dx-g(x)dx=[f(x)-g(x)]dx .

(2)定积分与变速直线运动的路程及变力做功之间的关系.

①s=v(t)dt.②W=F(x)dx.

利用定积分求曲边梯形的面积的两个注意点

(1)一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不同情况讨论.

(2)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值为0.

基础小题

1.下列命题不正确的是 (　　)

A.若f(x)是连续的奇函数,则f(x)dx=0

B.若f(x)是连续的偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx

C.若f(x)在[a,b]上连续且恒正,则f(x)dx>0

D.若f(x)在[a,b)上连续且f(x)dx>0,则f(x)在[a,b)上恒正

【解析】选D.本题考查定积分的几何意义,对于A:因为f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A正确.

对于B:因为f(x)是偶函数,所以图象关于y轴对称,故图象都在x轴下方或上方且面积相等,故B正确.C显然正确.

D选项中f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大.

2.设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则f(-x)dx的值等于 (　　)

A.  B.  C.  D.

【解析】选A.由于f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,于是f(-x)dx=(x2-x)dx==.

3.如图所示,阴影部分的面积为 (　　)

A.  B.  C.1 D.

【解析】选C.根据定积分的定义可知,图中阴影部分面积S=|(x2-x)dx|+

(x2-x)dx=+-2+=1.

4.函数F(x)=t(t-4)dt在[-1,5]上 (　　)

A.有最大值0,无最小值

B.有最大值0和最小值-

C.有最小值-,无最大值

D.既无最大值也无最小值

【解析】选B.F(x)=t(t-4)dt=

=x3-2x2(-1≤x≤5).

F′(x)=x2-4x,由F′(x)=0得x=0或x=4,列表如下:

 所以极大值F(0)=0,极小值F(4)=-.

又F(-1)=-,F(5)=-,

所以最大值为0,最小值为-.

5.正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示.则图中阴影区域的面积为________. 

【解析】首先求第一象限内阴影部分的面积,

1-x2dx=1-x3=,根据对称性,

阴影部分的面积为S=×4=.

答案:

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