2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：3.1　任意角和弧度制及任意角的三角函数

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第三章　三角函数、解三角形

第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数

知识体系

必备知识

1.任意角的概念

(1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角和零角.

①正角:按逆时针方向旋转形成的角;

②负角:按顺时针方向旋转形成的角;

③零角:如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角.

(2)终边相同的角:与角α终边相同的角,连同角α在内可表示为:{β|β=

α+2kπ,k∈Z}.

2.弧度与角度的互化

(1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角.

(2)角α的弧度数计算公式:|α|=.

(3)角度与弧度的换算

360°=2π rad,1°=rad,1rad=°≈57°18′.

(4)扇形的弧长和面积公式

弧长公式:l=α·r,面积公式:S=l·r=α·r2.

3.任意角的三角函数

(1)定义.

①设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=

x,tan α=(x≠0);

②设P(x,y)是角α终边上异于顶点的任意一点,它到原点的距离为r>0,则

sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).

(2)几何表示.

三角函数线可看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都在原点,正切线的起点都在点(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.

(3)各象限角三角函数值的符号.

 一全正,二正弦,三正切,四余弦.

4.终边相同的角的三角函数

sin(α+2kπ)=sin__α,cos(α+2kπ)=cos__α, 

tan(α+2kπ)=tan__α,其中k∈Z. 

即终边相同角的同一三角函数值相等.

1.易错点:易混“锐角”与“第一象限角”的概念

锐角是第一象限角,第一象限角包括锐角和所有与锐角终边相同的角,{锐角}

{第一象限角}.

2.注意点:

(1)利用三角函数的定义求三角函数值的注意点

利用三角函数的定义求三角函数值时,首先要弄清角所在象限,特别是用sin α=

,cos α=,tan α=时,要保证r>0.

(2)表示角时度量单位要一致

表示角时度量单位要一致,在表示同一角时不能“度”与“弧度”并用,即不应出现π+30°这样的表示.

基础小题

1.下列结论正确的个数为 (　　)

(1)330°角的终边与-390°角的终边相同.

(2)直角是第一、第二象限角.

(3)不相等的角终边一定不同.

A.1　　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.0

【解析】选A.因为-390°=-2×360°+330°,所以(1)正确;因为直角的终边在y轴非负半轴上,所以直角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故(2)错误;只要两个角相差360°的整数倍,它们的终边就相同,故(3)错误.

2.(教材改编)已知点P(tan α,cos α)在第四象限,则α的终边在  (　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】选C.因为点P(tan α,cos α)在第四象限,所以tan α>0且cos α<0,所以α的终边在第三象限.

3.(教材改编)rad=________度,________rad=-210°. 

【解析】=×180°=15°,-210°=-210×=-.

答案:15　-

4.已知角α顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-5,12),则sin α=________,cos α=________. 

【解析】由已知得r==13,

所以sin α==,cos α==-.

答案:　-

5.已知扇形AOB的半径r=4,∠AOB=,则的长为________,扇形AOB的面积为________. 

【解析】由题意得,=4×=,

扇形AOB的面积S=×42×=.

答案:　

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