2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：10.3 二项式定理
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第三节 二项式定理
知识体系
必备知识
1.二项式定理
(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N*),其中右端为(a+b)n的二项展开式,共n+1项.
2.二项展开式的通项公式
第k+1项为:Tk+1=an-kbk.
3.二项式系数
(1)定义:二项式系数为:(k∈{0,1,2,…,n}).
(2)二项式系数的性质
性质 | 性质描述 | |
对称 性 | 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等, 即=__ | |
增减 性 | 二项式系 数 | 当k<(n∈N*)时,是递增的 |
当k>(n∈N*)时,是递减的 | ||
最大 值 | 当n为偶数时,中间的一项取得最大值 | |
当n为奇数时,中间的两项__ 和__取得最大值 | ||
各二 项式 系数 和 | +++…+=2n 展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,都等于2n-1,即 +++…=+++…=2n-1. | |
1.易错点:
通项确定时理解致误
二项式的通项易误认为是第k项,实质上是第k+1项.
2.注意点:
二项式系数与展开式项的系数的异同
在Tk+1=an-kbk中,是该项的二项式系数,与该项的系数是两个不同的概念,前者只是指,只与n和k有关,恒为正,后者还与a,b有关,可正可负.
基础小题
1.(教材改编)二项式的展开式中,常数项的值是 ( )
A.240 B.60 C.192 D.180
【解析】选A.二项式展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=26-rx6-3r,令6-3r=0,得r=2,所以常数项为26-2=16×=240.
2.已知n=dx,那么展开式中含x2项的系数为 ( )
A.130 B.135 C.121 D.139
【解析】选B.根据题意,n=dx=ln x=6,则中,由二项式定理得通项公式为Tr+1=(-3)rx6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以系数为×9=135.
3.给出下列说法:
(1)(a+b)n的展开式中的第r项是an-rbr.
(2)在二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.
(3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数与a,b无关.
(4)通项Tr+1=an-rbr中的a和b不能互换.
(5)(a+b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同.
其中正确的说法有________.(只填序号)
【解析】an-rbr是(a+b)n的展开式中第r+1项,不是第r项,所以(1)错;在二项展开式中,二项式系数最大的项为中间一项或中间两项,不是系数,所以(2)错误;(a+b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数是两个不同概念,所以(5)错误.
答案:(3)(4)
4.(教材改编)(1-2x)7的展开式的第4项的系数是________.
【解析】展开式中,Tr+1=·(-2x)r=·(-2)rxr,当r=3时,T4=·(-2)3·x3=-280x3,所以第4项的系数为-280.
答案:-280
5.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是________.
【解析】由题意知+1=5,解得n=8,
的展开式的通项Tr+1=
=(-1)r2r-8,令8-r=0,得r=6,
则展开式中的常数项为(-1)626-8=7.
答案:7
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