2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：4.2　平面向量的基本定理及向量坐标运算

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第二节　平面向量的基本定理及向量坐标运算

知识体系

必备知识

1.平面向量基本定理

(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

(2)基底:不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中a在x轴上的坐标是x,a在y轴上的坐标是y.

3.平面向量的坐标运算

4.向量共线的坐标表示

若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b ⇔x1y2-x2y1=0.

1.注意点:

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后,任一向量的表示都是唯一的.

(2)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.

2.易错点:

三点共线问题.A,B,C三点共线等价于与共线.

基础小题

1.给出下列说法:

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.

(2)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.

(3)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.

(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成=.

(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.

其中正确的是________. 

【解析】(1)只有不共线的向量才能做基底,故错误.

(2)因为a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,所以λ1=λ2,μ1=μ2.故正确.

(3)因为基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示,故正确.

(4)错误,因为a∥b的充要条件是x1y2=x2y1.

(5)正确,向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.

答案:(2)(3)(5)

2.(教材改编)在如图所示的平面直角坐标系中,向量的坐标是 (　　)

A.(2,2)

B.(-2,-2)

C.(1,1)

D.(-1,-1)

【解析】选D.因为A(2,2),B(1,1),所以=(-1,-1).

3.下列各组向量中,能作为平面上一组基底的是 (　　)

A.e1=(0,2),e2=(0,-1)

B.e1=(2,1),e2=(0,0)

C.e1=(3,1),e2=

D.e1=(-2,1),e2=(4,2)

【解析】选D.对于A,e1=-2e2,向量e1,e2共线,

所以不能作基底,对于B,零向量不能作为基底;

对于C,e2=e1,e1,e2共线,所以不能作为基底;

对于D,e1,e2不共线,可以作为基底,所以选D.

4.在△ABC中,点D在BC边上,且=2,=r+s,则r+s等于 (　　)

A.  B. s C.-3 D.0

【解析】选D.因为=2,所以==(-)=-,则r+s=+

=0.

5.(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________. 

【解析】设D(x,y),则由=,

得(4,1)=(5-x,6-y),

即解得

答案:(1,5)

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