2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：2.11.1　利用导数研究函数的单调性

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第十一节　导数在研究函数中的应用

第一课时　利用导数研究函数的单调性

知识体系

必备知识

　函数的单调性与导数的关系

函数y=f(x)在某个区间内可导:

(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增.

(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减.

(3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数.

1.注意点:

(1)讨论函数单调性的注意点

讨论函数单调性时要注意在函数的定义域内进行讨论.

(2)解决含参数函数单调性时需注意分类讨论

研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.

2.易错点:讨论取值范围时漏掉等号情况

根据函数在某区间内单调确定参数的取值范围时要注意f′(x)≥0或f′(x)≤0,其中的等号不能漏掉.

基础小题

1.给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立,则f(x)在D上为凸函数,以下四个函数在上是凸函数的有________(填序号). 

①f(x)=-x3+2x-1;　  ②f(x)=ln x-2x;　

③f(x)=sin x+cos x; 　④f(x)=xex.

【解析】①对于f(x)=-x3+2x-1,f′(x)=-3x2+2,

f″(x)=-6x,当x∈时,f″(x)<0,故为凸函数;

②对于f(x)=ln x-2x,f′(x)=-2,f″(x)=-,

当x∈时,f″(x)<0,故为凸函数;

③对于f(x)=sin x+cos x,f′(x)=cos x-sin x,

f″(x)=-sin x-cos x,当x∈时,

f″(x)<0,故为凸函数;

④对于f(x)=xex,f′(x)=(x+1)ex,

f″(x)=(x+2)ex,当x∈时,

f″(x)>0,故不是凸函数.

答案:①②③

2.(教材改编)如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是              (　　)

A.在(-2,1)上f(x)单调递增

B.在(1,3)上f(x)单调递减

C.在(4,5)上f(x)单调递增

D.当x=4时,f(x)取极大值

【解析】选C.由图象得,当x∈(-2,1)时,f′(x)有正有负,则f(x)在区间(-2,1)上不是单调递增的,故选项A错误;当x∈(1,3)时,f′(x)有正有负,则f(x)在区间(1,3)上不是单调递减的,故选项B错误;因为在x∈(2,4)时,f′(x)<0,x∈(4,5)时,f′(x)>0,即函数f(x)在(2,4)上递减,在(4,5)上递增,故在x=4处取得极小值,所以C正确,D错误.

3.(教材改编)函数f(x)=(2x-1)ex的递增区间为 (　　)

A.(-∞,+∞)  B.

C.   D.

【解析】选D.f′(x)=(2x+1)ex,由于ex>0恒成立,所以当f′(x)≥0时,x≥-,则增区间为.

4.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f(x)的单调递增区间为 (　　)

A.(-1,0)  B.(-1,0)∪(2,+∞)

C.(2,+∞) D.(0,+∞)

【解析】选C.f′(x)=2x-2-==,由f′(x)>0得x>2.

5.已知f(x)=2cos2x+1,x∈(0,π),则f(x)的单调递增区间是________. 

【解析】因为f(x)=2cos2x+1=2+cos 2x,x∈(0,π),

所以f′(x)=-2sin 2x.令f′(x)>0,则sin 2x<0.

又x∈(0,π),所以0<2x<2π.

所以π<2x<2π,即<x<π.

答案:

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