2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第三章第3节　定积分与微积分基本定理

第3节　定积分与微积分基本定理

考试要求　1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.

知 识 梳 理

1.定积分的概念与几何意义

(1)定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝__f(ξi).

在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.

(2)定积分的几何意义

2.定积分的性质

(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数).

(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.

(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b).

3.微积分基本定理

一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a).

[常用结论与微点提醒]

1.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.

2.函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有

(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.

(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)

(2)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是(x2－x)dx.(　　)

(3)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.(　　)

(4)定积分f(x)dx一定等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.(　　)

(5)加速度对时间的积分是路程.(　　)

解析　(2)y＝x2与y＝x所围成的面积是(x－x2)dx.

(3)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形在x轴下方的面积比在x轴上方的面积大.

(4)定积分f(x)dx等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成图形的面积的代数和.

(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程.

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×

2.(老教材选修2－2P50A5改编)定积分|x|dx＝(　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

解析　|x|dx＝(－x)dx＋xdx＝2xdx＝x2＝1.

答案　A

3.(老教材选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　)

A.10t   B.5t   C.t   D.t

解析　S＝vdt＝10tdt＝5t2＝5t.

答案　B

4.(2020·贵阳一中月考)若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sin xdx，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.a<c<b  B.a<b<c

C.c<b<a  D.c<a<b

解析　由微积分基本定理得a＝x2dx＝＝，b＝x3dx＝＝4，c＝sin xdx＝(－cos x)＝1－cos 2<2，则c<a<b.

答案　D

5.(2020·南昌模拟)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.

解析　封闭图形如图所示，

则dx＝x＝a＝a2，解得a＝.

答案　

6.(2020·长沙一中月考)定积分(＋x)dx＝________.

解析　dx表示圆x2＋y2＝4在x轴及其上方的面积.

∴dx＝×π×22＝2π.又xdx＝0，

故(＋x)dx＝2π＋0＝2π.

答案　2π

考点一　定积分的计算

【例1】 (1)(sin x－cos x)dx＝________.

(2)设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为________.

解析　(1)原式＝sin xdx－cos xdx

＝－cos x－sin x＝2－0＝2.

(2)f(x)dx＝x2dx＋dx

＝＋ln x＝＋1＝.

答案　(1)2　(2)

规律方法　运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：

(1)对被积函数要先化简，再求积分；

(2)若被积函数为分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分.

【训练1】 (1)设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)

A.   B.   C.   D.不存在

(2)定积分(x2＋sin x)dx＝________.

解析　(1)如图，

f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx

＝x3＋

＝＋＝.

(2)(x2＋sin x)dx＝x2dx＋sin xdx

＝2x2dx＝2·|＝.

答案　(1)C　(2)

考点二　定积分的几何意义　多维探究

角度1　利用定积分的几何意义计算定积分

【例2－1】 (1)(2020·吉安五校联考)(＋xcos x)dx＝________.

(2)若 dx＝，则m＝________.

解析　(1)(＋xcos x)dx

＝dx＋xcos xdx.

∵dx表示位于x轴上方半圆x2＋y2＝1的面积，

∴dx＝，

又t＝xcos x为奇函数，知xcos xdx＝0，

∴(＋xcos x)dx＝.

(2)根据定积分的几何意义 dx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，又 dx＝为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.

答案　(1)　(2)－1

角度2　利用定积分计算平面图形的面积

【例2－2】 (一题多解)由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积为________.

解析　如图所示，解方程组得两交点为(2，－2)，(8，4).

法一　选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，

即S＝2dx＋(－x＋4)dx＝18.

法二　选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积S＝dy＝18.

答案　18

规律方法　1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.

2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).

【训练2】 (1)(角度1)(2020·合肥模拟)(＋x)dx＝________.

(2)(角度2)曲线y＝与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形的面积为(　　)

A.2－ln 2    B.2ln 2－

C.2＋ln 2    D.2ln 2＋

解析　(1)(＋x)dx＝dx＋xdx，

令y＝(y≥0)，得x2＋y2＝4.

又圆x2＋y2＝4的面积为4π，

由定积分的几何意义可得，dx＝π，

由于xdx＝x2|＝2，

∴(＋x)dx＝π＋2.

(2)解方程组得则曲线y＝与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形如图所示，

所求的面积S＝dx＝

＝(2ln 2－2＋2)－＝2ln 2－.

答案　(1)π＋2　(2)B

考点三　定积分在物理中的应用

【例3】 (1)物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为(　　)

A.3   B.4   C.5   D.6

(2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________ J(x的单位：m，力的单位：N).

解析　(1)因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt.

所以(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5.

整理得(t－5)(t2＋1)＝0，解得t＝5.

(2)变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝＝342(J).

答案　(1)C　(2)342

规律方法　定积分在物理中的两个应用

(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的位移s＝v(t)dt.

(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.

【训练3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)

A.1＋25ln 5    B.8＋25ln

C.4＋25ln 5    D.4＋50ln 2

(2)一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________ J.

解析　(1)令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，

∴汽车行驶距离s＝dt

＝

＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).

(2)从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，力F(x)做的功为2dx＋(2x－2)dx＝2x|＋(x2－2x)|＝12(J).

答案　(1)C　(2)12

A级　基础巩固

一、选择题

1.|sin x|dx等于(　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

解析　|sin x|dx＝2sin xdx＝2(－cos x)|＝4.

答案　D

2.(2020·成都模拟)(3x2＋k)dx＝10，则k＝(　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

解析　∵(3x2＋k)dx＝(x3＋kx)|＝23＋2k.

由题意，得8＋2k＝10，∴k＝1.

答案　A

3.汽车以v＝(3t＋2) m/s做变速运动时，在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程是(　　)

A. m   B.6 m   C. m   D.7 m

解析　s＝(3t＋2)dt＝

＝×4＋4－＝10－＝(m).

答案　A

4.sin2dx等于(　　)

A.0    B.－

C.－    D.－1

解析　sin2dx＝dx

＝＝－.

答案　B

5.(一题多解)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)

A.S1<S2<S3    B.S2<S1<S3

C.S2<S3<S1    D.S3<S2<S1

解析　法一　S1＝x3|＝－＝，

S2＝ln x|＝ln 2<ln e＝1，

S3＝ex|＝e2－e≈2.72－2.7＝4.59，

所以S2<S1<S3.

法二　S1，S2，S3分别表示曲线y＝x2，y＝，y＝ex与直线x＝1，x＝2及x轴围成的图形的面积，通过作图易知S2<S1<S3.

答案　B

6.如图，指数函数的图象过点E(2，9)，则图中阴影部分的面积等于(　　)

A.  　　  B.8

C.  　　  D.9

解析　设指数函数为y＝ax(a>0且a≠1)，因为其过点E(2，9)，所以a2＝9，解得a＝3，所以图中阴影部分的面积S＝3xdx＝＝.

答案　A

7.(2020·汕头模拟)已知函数f(x)＝则f(x)dx＝(　　)

A.1＋    B.＋

C.1＋    D.＋

解析　f(x)dx＝(x＋1)dx＋dx

＝＋＝＋.

答案　B

8.由y＝x2，y＝，y＝1所围成的图形的面积为(　　)

A.   B.   C.2   D.1

解析　如图所示，阴影部分的面积为

S＝2

＝2

＝2＝.

答案　A

二、填空题

9.已知dx＝，则m的值为________.

解析　由微积分基本定理得dx＝(ln x－mx)＝m＋1－me，结合题意得m＋1－me＝，解得m＝.

答案　

10.如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________.

解析　由解得x1＝0，x2＝2.

∴S＝(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx

＝＝－＋4＝.

答案　

11.一物体作变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在 s～6 s间的运动路程为______ m.

解析　由题图可知，v(t)＝

由变速直线运动的路程公式，可得

s＝v(t)dt＝2tdt＋2dt＋dt

＝t2＋2t＋＝(m).

所以物体在 s～6 s间的运动路程是 m.

答案　

12.(2019·衡水中学质检)曲线y＝2sin x(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________.

解析　令2sin x＝1，得sin x＝，

当x∈[0，π]时，得x＝或x＝，

所以所求面积S＝ (2sin x－1)dx

＝(－2cos x－x)＝2－.

答案　2－

B级　能力提升

13.(2020·皖东名校联盟)二次函数f(x)＝x2－nx＋m(n，m∈R)的图象如图所示，则定积分f(x)dx＝(　　)

A.    B.

C.2    D.3

解析　由图象可知，n＝3，m＝2.

f(x)dx＝(x2－3x＋2)dx＝|＝.

答案　B

14.(2020·太原联考)如图，矩形OABC中曲线的方程分别是y＝sin x，y＝cos x，A，C(0，1)，在矩形OABC内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　　)

A.    B.

C.4(－1)π    D.4(－1)π

解析　由题可知图中阴影部分的面积

S＝2(cos x－sin x)dx

＝2(sin x＋cos x) ＝2(－1)，

易知矩形OABC的面积为，所以在矩形OABC内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为.

答案　B

15.dx＝________.

解析　cos＝－sin x，令y＝(y≥0)，两边平方得y2＝16－x2，则有x2＋y2＝16，所以函数y＝在x∈[－4，4]上的图象是圆x2＋y2＝16的上半部分.∴＝×π×42＝8π，

又t＝－sin x在[－4，4]为奇函数，知－sin xdx＝0.

故dx＝(－sin x)dx＋8π＝8π.

答案　8π

16.(2020·武汉模拟)考虑函数y＝ex与函数y＝ln x的图象关系，计算ln xdx＝________.

解析　如图所示，函数y＝ln x与函数y＝ex的图象关于直线y＝x对称，结合图象可知，图中两个阴影部分区域的面积相等，所以ln xdx＝(e2－ex)dx＝(e2x－ex)|＝e2＋1.

答案　e2＋1

C级　创新猜想

17.(情境创新题)在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝x与直线x＝1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝πx2dx＝x3|＝.据此类比：将曲线y＝2ln x与直线y＝2及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V＝________.

解析　类比已知结论，将曲线y＝2ln x与直线y＝2及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e)2＝πey，积分变量为y，积分区间为[0，2]，即V＝πeydy＝πey|＝π(e2－1).

答案　π(e2－1)