2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第2章第12讲　定积分与微积分基本定理


第12讲　定积分与微积分基本定理
[考纲解读]　1.了解定积分的实际背景、基本思想及其概念，并掌握运用微积分定理求定积分值．(重点)
2．准确掌握定积分的计算公式，能熟练求出定积分及曲边梯形的面积．(重点、难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的冷考点，高考中即使考查定积分的试题，难度一般也不会太大．预测2021年可能涉及定积分的计算、分段函数的定积分、定积分的几何意义等，以求曲边梯形的面积与几何概型综合考查为主要命题方向，试题难度一般不大，以选择、填空形式呈现.

1.定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0 述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝ f(ξi)．其中f(x)称为被积函数，a称为积分下限，b称为积分上限．
2.定积分的几何意义
f(x)
f(x)dx的几何意义
f(x)≥0
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
f(x)<0
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
f(x)在[a，b]
上有正有负
表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积
3．定积分的性质
性质1：kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)．
性质2：[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dx±g(x)dx.
性质3：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx.
4．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
5．定积分与曲边梯形面积的关系

设阴影部分的面积为S.
(1)S＝f(x)dx；
(2)S＝－f(x)dx；
(3)S＝f(x)dx－f(x)dx；
(4)S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.
6．定积分与函数奇偶性的关系
函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有
(1)若f(x)为偶函数，则－af(x)dx＝2f(x)dx.
(2)若f(x)为奇函数，则－af(x)dx＝0.

1．概念辨析
(1)在区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝|f(x)|dx.(　　)
(2)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　)
(3)微积分基本定理中的F(x)是唯一的．(　　)
(4)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是(x2－x)dx.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．小题热身
(1)如图，指数函数的图象过点E(2，9)，则图中阴影部分的面积等于(　　)
A. B．8
C. D．9

答案　A
解析　设指数函数为y＝ax(a>0且a≠1)，因为其过点E(2,9)，所以a2＝9，解得a＝3，所以图中阴影部分的面积S＝3xdx＝＝.
(2)已知质点的速率v＝10t，则从t＝0 到t＝t0质点所经过的路程是(　　)
A．10t B．5t
C.t D.t
答案　B
解析　

答案　
解析　的几何意义是函数y＝|x|的图象与直线x＝－1，x＝2，y＝0围成的图形(如图阴影所示)的面积，所以＝×1×1＋×2×2＝.

(4)若＝9，则常数t的值为________．
答案　3
解析　解得t＝3.

题型 一　定积分的计算

1．设f(x)＝则等于(　　)
A. B.
C. D．不存在
答案　C
解析　＝＝x3＋＝＋－＝＋4－2－2＋＝.
2. ＝________.
答案　0
解析　易证函数f(x)＝3x3＋4sinx为奇函数，
所以－5(3x3＋4sinx)dx＝0.
3. ＝________.
答案　
解析　由定积分的几何意义知，所求定积分是由x＝0，x＝2，y＝，以及x轴围成的图象的面积，即圆(x－1)2＋y2＝1的面积的一半，∴＝.

求定积分的常用方法
(1)微积分基本定理法
其一般步骤为：
①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的和、差、积或商．
②把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．
③分别用求导公式找到一个相应的原函数．
④利用微积分基本定理求出各个定积分的值．
⑤计算原始定积分的值．
(2)几何意义法
将待求定积分转化为一个易求平面图形的面积，进而求值．如举例说明3.
(3)基本性质法
对绝对值函数、分段函数，可利用定积分的基本性质将积分区间分解为若干部分求解．
(4)奇偶性法
若函数f(x)为偶函数，且在[－a，a]上连续，则
－af(x)dx＝2f(x)dx；
若f(x)为奇函数，且在[－a，a]上连续，则－af(x)dx＝0.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1. ＝(　　)
A．7 B.
C. D．4
答案　C
解析　＝＝＝4－＝.
2. 的值为________．
答案　2(e－1)
解析　＝2exdx＝2·ex＝2(e－1)．
3．若f(x)＝，则＝________.
答案　π
解析　令y＝，则(x－1)2＋y2＝4(y≥0)，所以函数f(x)的图象是以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x轴上方(包括x轴)的部分，所以＝×π×22＝π.
题型 二　利用定积分求平面图形的面积　

角度1　求平面图形的面积
1．(2019·南宁模拟)曲线y＝与直线y＝5－x所围成的平面图形的面积为(　　)
A. B.
C.－4ln 2 D.－8ln 2
答案　D
解析　方程＝5－x的解为x＝1或x＝4，所以曲线y＝与直线y＝5－x所围成的平面图形的面积为(阴影部分)dx＝＝15－－4ln 4＝－8ln 2.

角度2　已知平面图形的面积求参数
2．如图，已知点A(0,1)，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上移动，过P点作PB垂直x轴于点B，若图中阴影部分的面积是四边形AOBP面积的，则P点的坐标为________．

答案　(1,1)
解析　由题意，点P(x0，y0)，则梯形AOBP的面积为(1＋y0)x0＝(1＋x)x0，
且阴影部分的面积为
又阴影部分的面积是梯形AOBP面积的，
∴x＝×(1＋x)x0，解得x0＝0或x0＝±1；
取x0＝1，则y0＝1，∴P点的坐标为(1,1)．
角度3　与其他知识的交汇命题
3．(2019·山西八校联考)如图，矩形OABC中曲线的方程分别是y＝sinx，y＝cosx.A，C(0,1)，在矩形OABC内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　　)

A. B.
C．4(－1)π D．4(－1)π
答案　B
解析　由题可知图中阴影部分的面积
故选C.
2．如图，点M在曲线y＝上，若由曲线y＝与直线OM所围成的阴影部分的面积为，则实数a等于(　　)
A. B.

C．1 D．2
答案　C
解析　由题意，M(a，)，直线OM的方程为y＝，故所求图形的面积为得a＝1，故选C.

3．若函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为________．
答案　
解析　由图可知，A＝1，
＝－＝π，T＝2π，∴ω＝1，
则f(x)＝sin，
∴图中的阴影部分的面积为
＝1－＝.
题型 三　定积分在物理中的应用

1．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
答案　C
解析　由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为
2．一物体做变速直线运动，其 v­t曲线如图所示，则该物体在～6 s间的运动路程为________ m.

答案　
解析　由题图可知，v(t)＝
由变速直线运动的路程公式，可得

所以物体在～6 s间的运动路程是 m.

定积分在物理中的两个应用
(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程
(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　C
解析　物体A在t秒内行驶的路程为物体B在t秒内行驶的路程为所以＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5，所以(t－5)·(t2＋1)＝0，故t＝5.
2．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J.
答案　36
解析　由题意知，力F(x)所做的功为
W＝
＝5×2＋
＝10＋＝36(J)．


　组　基础关
1．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B.
C．2 D．2
答案　B
解析　函数y＝cosx是偶函数，＝.
2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为(　　)
A.g B．g
C.g D．2g
答案　C
解析　由题意知电视塔高为＝2g－g＝g.
3．(2019·呼和浩特质检)若则S1，S2，S3的大小关系为(　　)
A．S1 C．S2 答案　B
解析　因为

所以，S2 4．如图，阴影部分的面积是(　　)

A．2 B．5
C. D.
答案　C
解析　联立解得或
由图可知，阴影部分的面积可表示为

＝－
＝.
5．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C的方程为x2－y＝0)的点的个数的估计值为(　　)

A．5000 B．6667
C．7500 D．7854
答案　B
解析　图中阴影部分的面积为＝，又正方形的面积为1，则10000个点落入阴影部分个数估计为10000×≈6667，故选B.
6．若＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
答案　A
解析　∵(x2)′＝2x，(ln x)′＝，∴dx＝＝(a2－1)＋ln a，由＝3＋ln 2(a>1)，
所以(a2－1)＋ln a＝3＋ln 2，所以a＝2.
7．若定积分＝，则m等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案　A
解析　根据定积分的几何意义知，定积分
的值是函数y＝的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝是圆心为(－1,0)，半径为1的上半圆，其面积等于，而＝，即在区间[－2，m]上该函数图象应为的圆，于是得m＝－1.
8．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为________J.
答案　
解析　
＝，
所以F(x)做的功为 J.
9．如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是_______．

答案　
解析　由解得x1＝0，x2＝2.
＝＝＝－＋4＝.
10．已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝________.
答案　2
解析　令x2＝kx得x＝0或x＝k，则阴影部分的面积为
解得k＝2.
　组　能力关


1．已知函数y＝f(x)的图象为如图所示的折线ABC，则等于(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1

答案　D
解析　当0≤x≤1，f(x)＝x－1，当－1≤x<0时，f(x)＝－x－1，

＝－
＝－1＋＝－1.
2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．－2

答案　C
解析　由f(x)＝－x3＋ax2＋bx，得f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.∵x＝0是原函数的一个极值点，∴f′(0)＝b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，(x3－ax2)dx＝＝0－＋＝＝，∴a＝±1.函数f(x)与x轴的交点横坐标一个为0，另一个为a，根据图形可知a<0，得a＝－1.
3．函数的最大值是(　　)
A. B．2
C．2 D．2
答案　B
解析　由题意可知

＝－cosx－(2cos2x－1)＋
＝－cos2x－cosx＋
＝－(cosx＋1)2＋2≤2.所以y的最大值是2.
4．如图，由两条曲线y＝－x2,4y＝－x2及直线y＝－1所围成的图形的面积为________．

答案　
解析　令y＝－1得到A(－2，－1)，B(－1，－1)，C(1，－1)，D(2，－1)．设围成的图形的面积为S，因为y轴两边的阴影部分关于y轴对称，所以
　组　素养关
1．曲线y＝－x2－x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为(　　)
A．－ B.
C．－1－ D.－1
答案　D
解析　曲线y＝－x2－x与x轴交于(－1,0)和原点，所以，曲线y＝－x2－x与x轴围成的平面区域的面积为联立解得或即直线y＝kx与曲线y＝－x2－x交于点(－k－1，－k2－k)和坐标原点，所以曲线y＝－x2－x位于直线y＝kx上方区域的面积为＝＝(k＋1)3＝×＝，解得k＝－1，选D.
2．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，为使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，区间[0,1]内的t的值为________，最小值为________．

答案　　
解析　面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－＝t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即＝t3－t2＋.
所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0时，得t＝0或t＝.
当t＝0时，S＝；当t＝时，S＝；当t＝1时，S＝.所以当t＝时，S最小，且最小值为.