2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：6.3　基本不等式

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第三节　基本不等式

知识体系

必备知识

1.基本不等式≤

(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.

(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.

2.几个重要的不等式

(1)a2+b2≥ 2ab(a,b∈R).

(2)+≥2(a,b同号).

(3)ab≤(a,b∈R).

(4)≤(a,b∈R).

(5)≤≤≤(a>0,b>0).

3.算术平均数与几何平均数

设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题

已知x>0,y>0,则

(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).

(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).

1.易错点:应用基本不等式求最值的易错点

(1)使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.

(2)“当且仅当a=b时等号成立”的含义是“a=b”是等号成立的充要条件,这一点至关重要,忽略它往往会导致解题错误.

2.注意点:

连续使用基本不等式求最值,要求每次等号成立的条件一致.

基础小题

1.判断下列命题正确的个数为 (　　)

①当a≥0,b≥0时,≥;

②两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的;

③x>0且y>0是+≥2的充要条件.

A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3

【解析】选B.对于①,由基本不等式a+b≥2(a≥0,b≥0),得当a≥0,b≥0时,≥正确,②显然当a,b均为负值时,a2+b2≥2ab成立,但是≥不成立,故错误,③当xy>0时,+≥2成立,所以x>0且y>0是+≥2成立的充分不必要条件,故错误.故只有①正确.

2.若f(x)=x+(x>2)在x=n处取得最小值,则n等于 (　　)

A.  B.3 C.  D.4

【解析】选B.因为x-2>0,f(x)=x+=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立,所以n=3.

3.(教材改编)已知x>0,y>0,x+y+=2,则x+y的最小值是 (　　)

A.　　　B. 1　　　C.　　　D.

【解析】选C.由题知,x+y+=2,x>0,y>0,所以x+y<2.由x+y+≥x+y+

=2得x+y≥,所以≤x+y<2,所以x+y的最小值是.

4.若正数a,b满足+=1,则4a+b的最小值为 (　　)

A.7 B.10 C.9 D.4

【解析】选C.由+=1,

可得4a+b=(4a+b)

=4+++1≥5+2=9.

当且仅当=,即a=,b=3时4a+b有最小值9.

5.(教材改编)已知x>1,函数y=+x的最小值是________. 

【解析】由题意可得y=+x=+x-1+1,因为x>1,所以x-1>0.由基本不等式可知y=+x=+x-1+1≥2+1=5,当x=3时取得最小值.

答案:5

6.已知实数x,y满足x2-xy+y2=1,则x+y的最大值为________. 

【解析】因为x2+y2-xy=1,

所以x2+y2=1+xy,

所以(x+y)2=1+3xy≤1+3×,

即(x+y)2≤4,

解得-2≤x+y≤2,

所以x+y的最大值为2.

答案:2

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