2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：3.3 三角函数的图象与性质
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第三节 三角函数的图象与性质
知识体系
必备知识
1.三个基本三角函数的图象和性质
函数 | y=sin x | y=cos x | y=tan x | |
图象 | ||||
定 义 域 | R | R | xx≠kπ+,k∈Z | |
值域 | [-1,1] | [-1,1] | R | |
函 数 的 最 值 | 最大值为1,当且仅当x=2kπ+,k∈Z时取得; 最小值为-1,当且仅当x=2kπ-,k∈Z时取得 | 最大值为1,当且仅当x=2kπ,k∈Z时取得; 最小值为-1,当且仅当x=2kπ-π,k∈Z时取得 | 无最大值和最小值 | |
单调 性 | 增区间k·2π-,k· 2π+(k∈Z); 减区间k·2π+,k· 2π+(k∈Z) | 增区间[k·2π-π,k· 2π](k∈Z); 减区间[k·2π,k· 2π+π](k∈Z) | 增区间k·π-,k· π+(k∈Z) | |
奇偶 性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | |
周期 性 | 周期为2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为2π | 周期为2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为2π | 周期为kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为π | |
对 称 性 | 对 称 中 心 | (kπ,0),k∈Z | , k∈Z | ,k∈Z |
对 称 轴 | x=kπ+,k∈Z | x=kπ,k∈Z | 无对称轴 | |
零点 | kπ,k∈Z | kπ+,k∈Z | kπ,k∈Z | |
2.周期函数
(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
注意点:
(1)理解函数周期性的注意点
由函数周期性的定义可知,若存在一个非零常数T,使得
对定义域内的任意一个自变量x,都有f(x+T)=f(x)成立,而不是某个自变量x满足f(x+T)=f(x).
(2)判断三角函数的奇偶性的注意点
判断三角函数的奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称,如果定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数也不是偶函数.
基础小题
1.下列判断错误的是________.(填序号)
(1)因为sin=sin ,所以函数y=sin x的最小正周期是.
(2)因为tan(x+π)=tan x对于x≠kπ+(k∈Z)
的一切实数x都成立,所以函数y=tan x的最小正周期是π.
【解析】根据周期函数的定义可知(1)错误,(2)正确.
答案:(1)
2.(教材改编)函数f(x)=2sin +1的最大值是______,取得最大值时,x取值的集合为________.
【解析】f(x)max=2+1=3,此时=2kπ+(k∈Z)得x=4kπ+π(k∈Z).
答案:3 {x|x=4kπ+π(k∈Z)}
3.函数f(x)=2sin+1的最小正周期为__________.
【解析】f(x)=2sin+1的最小正周期为T=
=3π.
答案:3π
4.函数y=的定义域是________.
【解析】要使函数有意义,只需2cosx-≥0,
即cos x≥.由余弦函数图象知(如图),
所求定义域为,k∈Z.
答案:,k∈Z
5.函数f(x)=-2sin 的最小正周期为________.
【解析】T==2.
答案:2
6.函数f(x)=sin在区间上的最小值为________.
【解析】由x∈得2x-∈,
所以sin∈,
故函数f(x)=sin在区间上的最小值为-.
答案:-
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