2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第六章第七节　三角函数的化简与求值

第七节　三角函数的化简与求值

二倍角的正弦、余弦和正切公式

1.二倍角的正弦公式

sin 2α=2sin αcos α. 

2.二倍角的余弦公式

cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.

3.二倍角的正切公式

tan 2α=.

1.公式理解

(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中当α=β时的特殊情况.

(2)倍角是相对的,例如是的倍角,3α是的倍角.

2.与倍角公式有关的变形公式

(1)升幂公式:1+cos α=2cos2;1-cos α=2sin2;

1+sin α=(sin +cos )2;1-sin α=(sin -cos )2.

(2)降幂公式:sin2α=;cos2α=;

sin αcos α=.

(3)半角公式:sin =±;

cos =±;

tan =±==.

1.已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan 2α等于(　C　)

(A) (B) (C)- (D)-

解析:法一　(直接法)由已知得(sin α+2cos α)2=,

所以=.

化简得3tan2α-8tan α-3=0,tan α=3或tan α=-,

代入tan 2α=,得

tan 2α=-.

解析:法二　(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记sin α=,cos α=,

这时sin α+2cos α=符合要求,

此时tan α=3,代入二倍角公式得到答案C.故选C.

2.函数y=sin2x+2sin xcos x+3cos2x的最小正周期和最小值为(　C　)

(A)π,0    (B)2π,0

(C)π,2- (D)2π,2-

解析:y=sin2x+2sin xcos x+3cos2x

=1+sin 2x+(1+cos 2x)

=2+sin(2x+),最小正周期为π,

当sin(2x+)=-1时,y取得最小值为2-.

故选C.

3.(2018·嘉兴测试)cos ·cos ·cos(-)=　　　　. 

解析:cos ·cos ·cos(-)

=cos 20°·cos 40°·cos 100°=-cos 20°·cos 40°·cos 80°

=-

=-

=-

=-

=-

=-.

答案:-

4.化简sin2(α-)+sin2(α+)-sin2α的结果是　　　　. 

解析:法一　原式=+-sin2α=1-[cos(2α-)+cos(2α+)]-sin2α

=1-cos 2α·cos -sin2α

=1--

=.

法二　令α=0,则原式=+=.

答案:

考点一　三角函数式的化简与给角求值

[例1] (1)已知a=sin 15°cos 15°,b=cos2-sin2,c=,则a,b,c的大小关系是(　　)

(A)a<b<c (B)a>b>c

(C)c>a>b (D)a<c<b

(2)+2的化简结果为　　　　. 

(3)-sin 10°(-tan 5°)=　　　　. 

解析:(1)a=sin 15°cos 15°=sin 30°=,

b=cos2-sin2=cos =,

c==tan 60°=,

由<<,可知a<b<c.故选A.

(2)原式=+2

=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,

因为π<4<π,

所以cos 4<0,且sin 4<cos 4,

所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4.

(3)原式=-sin 10°(-)

=-sin 10°·

=-sin 10°·

=-2cos 10°

=

=

=

=

=.

答案:(1)A　(2)-2sin 4　(3)

(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则

①一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;

②二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;

③三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.

(2)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.

1.若函数f(x)=5cos x+12sin x在x=θ时取得最小值,则cos θ等于(　B　)

(A) (B)- (C) (D)-

解析:f(x)=5cos x+12sin x

=13(cos x+sin x)=13sin(x+α),

其中sin α=,cos α=,

由题意知θ+α=2kπ-(k∈Z),

得θ=2kπ--α(k∈Z),

所以cos θ=cos(2kπ--α)

=cos(+α)

=-sin α=-.

故选B.

2.化简:sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-cos 2α·cos 2β.

解:法一　原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-·(2cos2α-1)·(2cos2β-1)

=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-(4cos2α·cos2β-2cos2α-2cos2β+1)

=sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β-

=sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β-

=sin2β+cos2β-

=1-

=.

法二　原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)·cos2β-cos 2α·

cos 2β

=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)- cos 2α·cos 2β

=cos2β-sin2α·cos 2β-cos 2α·cos 2β

=cos2β-cos 2β·(sin2α+cos 2α)

=-cos 2β·[sin2α+(1-2sin2α)]

=-cos 2β

=.

法三　原式=·+·-cos 2α·cos 2β

=(1+cos 2α·cos 2β-cos 2α-cos 2β)+(1+cos 2α·

cos 2β+cos 2α+cos 2β)-·cos 2α·cos 2β

=.

法四　原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α·

sin β·cos α·cos β-cos 2α·cos 2β

=cos2(α+β)+sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β

=cos2(α+β)-cos(2α+2β)

=cos2(α+β)- [2cos2(α+β)-1]

=.

考点二　三角函数的给值求值与给值求角问题

[例2] 已知tan =3,则=　　　　. 

解析:因为tan =3,

所以原式=

=

=

=tan

=3.

答案:3

已知三角函数值,求三角函数式值的一般思路

(1)先化简所求式子;

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);

(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

1.(2019·台州高三模拟)在斜△ABC中,sin A=-cos Bcos C,且tan B·tan C=1-,则角A的值为　　　　. 

解析:由已知sin(B+C)=-cos Bcos C,

所以sin Bcos C+cos Bsin C=-cos Bcos C,

所以tan B+tan C=-,

又tan B·tan C=1-,

所以tan(B+C)==-1,

所以tan A=1,

又0<A<π,所以A=.

答案:

2.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a为大于1的常数)的两根为tan α,tan β,且α,β∈(-,),则tan 的值是　　　　. 

解析:因为a>1,

所以tan α+tan β=-4a<0,tan α·tan β=3a+1>0,

所以tan α,tan β是方程x2+4ax+3a+1=0的两个负根,

又α,β∈(-,),

所以α,β∈(-,0),

即∈(-,0),

由tan (α+β)=== ,

可得tan =-2.

答案:-2

考点三　三角恒等变换的应用

[例3] (2018·金华十校模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A,B,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM=,点B的纵坐标是.

(1)求cos (α-β)的值;

(2)求2α-β的值.

解:(1)根据题意知,OA=OB=1.

由S△OAM=和α为锐角,

得sin α=,cos α=,

又点B的纵坐标是,β为钝角,

所以sin β=,cos β=-.

所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β

=×(-)+×

=-.

解: (2)因为cos 2α=2cos2α-1=2×()2-1=-,

sin 2α=2sin α·cos α=2××=,且0<α<,

所以2α∈(,π).

因为β∈(,π),

所以2α-β∈(-,).

sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=-,

故2α-β=-.

三角恒等变换的综合应用主要是将三角恒等变换与三角函数的性质相结合,通过变形,将复杂的函数式子化为y=Asin(ωx+)+b的形式再研究性质,在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题.

已知函数f(x)=cos2x+sin xcos x,x∈R.

(1)求f()的值;

(2)若sin α=,且α∈(,π),求f(+).

解:(1)f()=cos2+sin cos

=()2+×

=.

解: (2)因为f(x)=cos2x+sin xcos x

=+sin 2x

=+(sin 2x+cos 2x)

=+sin(2x+),

所以f(+)=+sin(α++)

=+sin(α+)

=+(sin α+cos α).

又因为sin α=,且α∈(,π),

所以cos α=-,

所以f(+)=+(×-×)

=.

类型一　三角函数式的化简与给角求值

1.等于(　C　)

(A)- (B) (C) (D)1

解析:原式=

=

=

=.

故选C.

2.cos ·cos 的值是(　B　)

(A)4 (B) (C)2 (D)

解析:原式===.

故选B.

3.若θ是第二象限角,且cos <0,则的值是　　　　. 

解析:θ是第二象限角,且cos <0,

所以2kπ+π<<2kπ+π,k∈Z,

=

=

=-1.

答案:-1

4.化简··=　　　　. 

解析:原式=··

=·

=·

=

=tan .

答案:tan

类型二　三角函数求值

5.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)等于(　C　)

(A) (B)- (C) (D)-

解析:cos(α+)

=cos[(+α)-(-)]

=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-),

因为0<α<,

所以<+α<,

所以sin(+α)= .

又-<β<0,

所以<-<,

所以sin(-)=.

故cos(α+)=×+×=.

故选C.

6.已知sin x+cos x=1,则=　　　　. 

解析:由于==cos x-sin x,

因为(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=1,

故或

代入解得=cos x-sin x=±1.

答案:±1

7.已知cos2α-cos2β=a,那么sin(α+β)·sin(α-β)等于　　　　. 

解析:sin(α+β)·sin(α-β)

=(sin αcos β+cos αsin β)·(sin αcos β-cos αsin β)

=sin2αcos2β-cos2αsin2β

=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)

=cos2β-cos2α

=-a.

答案:-a

8.已知α∈(0,),β∈(,π),cos 2β=-,sin(α+β)= ,则sin α的值为　　　　. 

解析:cos2β===,

又因为β∈(,π),

所以cos β=-.

于是sin β===.

由α∈(0,),β∈(,π),得

α+β∈(,).

cos(α+β)=-

=-

=-.

sin α=sin(α+β-β)

=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β

=×(-)-(-)×

=.

答案:

类型三　三角恒等变换的应用

9.在△ABC中,A,B,C是△ABC的内角,设函数f(A)=2sin sin(π-)+sin2(π+)-cos2,则f(A)的最大值为　　　　. 

解析:f(A)=2cos sin +sin2-cos2

=sin A-cos A

=sin(A-),

因为0<A<π,所以-<A-<.

所以当A-=,即A=时,f(A)有最大值.

答案:

10.定义一种运算a⊗b=令f(x)=(cos2x+sin x)⊗ .当x∈[0,]时,函数f(x-)的最大值是　　　　. 

解析:依题意得,当x∈[0,]时,y=cos2(x-)+sin(x-)=sin2x-

cos x=-cos2x-cos x+1=-(cos x+)2+的值域是[-1,1],此时函数f(x-)的值域是[-1,1],所以f(x-)的最大值是1.

答案:1