2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第2章第7节　函数的图象

第七节　函数的图象

[考纲传真]　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题．

1．利用描点法作函数的图象

方法步骤：(1)确定函数的定义域；

(2)化简函数的解析式；

(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；

(4)描点连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；

②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；

③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；

④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．

(3)伸缩变换

①y＝f(x)的图象

y＝f(ax)的图象；

②y＝f(x)的图象

y＝af(x)的图象．

(4)翻转变换

①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；

②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．

[常用结论]

1．关于对称的三个重要结论

(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．

(3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

2．函数图象平移变换八字方针

(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．

(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　　)

(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　)

(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．(　　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．(教材改编)函数f(x)＝－x的图象关于(　　)

A．y轴对称　　 B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称   D．直线y＝x对称

C　[∵f(x)＝－x是奇函数，∴图象关于原点对称．]

3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)

A．ex＋1   B．ex－1

C．e－x＋1   D．e－x－1

D　[依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]

4．(教材改编)函数f(x)＝x2－x的大致图象是(　　)

A　     　B

C　     　D

B　[∵f(0)＝－1＜0，故排除选项D；又f(－2)＝0，f(－4)＝0，故排除选项A、C，故选B.]

5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．

(0，＋∞)　[在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．由图象知当a＞0时，方程|x|＝a－x只有一个解．]

作函数的图象

【例1】　作出下列函数的图象：

(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；

(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.

[解]　(1)先作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分．

①　　 　　②

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.

(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.

③　　　④

(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.

识图与辨图

【例2】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(　　)

A　　           　B

C　　       　　D

(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)

A　         　B

C　       　D

(1)B　(2)B　[(1)当x＜0时，因为ex－e－x＜0，所以此时f(x)＝＜0，故排除A、D；又f(1)＝e－＞2，故排除C，选B.

(2)当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项可知，应选B.]

(1)已知图1中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图2中的图象对应的函数为(　　)

图1　　　图2

A．y＝f(|x|)　　　 B．y＝|f(x)|

C．y＝f(－|x|)   D．y＝－f(|x|)

(2)如图，圆与两坐标轴分别切于A，B两点，圆上一动点P从A开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到A点，则与△OBP的面积随时间变化的图象相符合的是(　　)

A　  　B　  　C　　　D

(1)C　(2)A　[(1)由题图知，图2中的图象对应的函数为y＝f(－|x|)，故选C.

(2)当P从A运动到B的过程中，△OBP的面积逐渐减小，在点B处，△OBP的面积为零，当P从B运动到圆的最高点的过程中，△OBP的面积又逐渐增大，且当P位于圆的最高点时，△OBP的面积达到最大值，当P从最高点运动到A点的过程中，△OBP的面积又逐渐减小，故选A.]

函数图象的应用

►考法1　研究函数的性质

【例3】　设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：

①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；

④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.

其中所有正确命题的序号是________．

①②④　[由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；

当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，

函数y＝f(x)的部分图象如图所示：

由图象知②正确，③不正确；

当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此④正确．故正确命题的序号为①②④.]

►考法2　求参数的取值范围

【例4】　(1)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x＜0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)

A.   B．(－∞，)

C.   D.

(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．

(1)B　(2)(0,1]　[(1)由题意知，设x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＝g(－x0)，

即x＋ex0－＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)，

∴ex0－ln(－x0＋a)－＝0.

令y1＝ex－，y2＝ln(－x＋a)，要使得函数图象的交点A在y轴左侧，如图，则ln a＜＝ln e，∴a＜e.

(2)作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，

由图可知k∈(0,1]．]

(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)

A．f(x)在(0,2)单调递增

B．f(x)在(0,2)单调递减

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称

(2)已知函数f(x)＝ln x－x2与g(x)＝(x－2)2＋－m(m∈R)的图象上存在关于(1,0)对称的点，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，1－ln 2)   B．(－∞，1－ln 2]

C．(1－ln 2，＋∞)   D．[1－ln 2，＋∞)

(1)C　(2)D　[(1)f(x)的定义域为(0,2)．

f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．

设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．

又y＝ln u在其定义域上单调递增，

∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．

∴选项A，B错误．

∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，

∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．

∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，

∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．

故选C.

(2)∵f(x)＝ln x－x2与g(x)＝(x－2)2＋－m(m∈R)的图象上存在关于(1,0)对称的点，

∴f(x)＋g(2－x)＝0有解，∴ln x－x2＝－x2－＋m，∴m＝ln x＋在(0，＋∞)内有解．∵m′＝，

∴函数在内单调递减，在内单调递增，∴m≥ln ＋1＝1－ln 2.]

1．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)

A　　    　B

C　   　　D

D　[当x＝1时，y＝2，排除A，B.由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1,1)上有三个极值点，所以排除C，故选D.]

2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝(　　)

A．0　　B．m　　C．2m　　 D．4m

B　[因为f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数y＝＝1＋，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以xi＝0，yi＝2×＝m，所以(xi＋yi)＝m.]