2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第8章第3节 圆的方程
展开第三节 圆的方程
[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
1．圆的定义及方程
定义 | 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) | |
标准方程 | (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) | 圆心(a，b)，半径r |
一般方程 | x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) | 圆心， 半径 |
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[常用结论]
1．圆心为坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．( )
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D [由题意得圆的半径为，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.]
3．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )
A.＜m＜1 B．m＜或m＞1
C．m＜ D．m＞1
B [由16m2－20m＋4＞0得m＜或m＞1.故选B.]
4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1.
A [由题意可得(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1.故选A.]
5．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________．
(x－2)2＋y2＝10 [设圆心坐标为C(a,0)，
∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，即＝，
解得a＝2，所以圆心为C(2,0)，
半径|CA|＝＝，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.]
圆的方程
【例1】 (1)圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为( )
A.2＋y2＝ B.2＋y2＝
C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
(2)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
(1)C (2)C [(1)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得解得
∴x2＋y2－x－1＝0，即2＋y2＝.故选C.
(2)∵圆心在直线x＋y－2＝0上，∴设圆心坐标为(a,2－a)．
∴圆的半径r＝
＝，
解得a＝1，r＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.故选C.]
[规律方法] 求圆的方程的两种方法
1几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.
2待定系数法：①若已知条件与圆心a，b和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
(1)(2018·合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为( )
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
(2)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________．
(1)C (2)(x－2)2＋(y－1)2＝4 [(1)由题意可知圆心C为(6,8)，则以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C.
(2)设圆C的圆心为(a，b)(b＞0)，由题意得a＝2b＞0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.]
与圆有关的最值问题
【例2】 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．
[解] (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有交点，所以≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
[母题探究] (1)(变化结论)在本例的条件下，求y－x的最大值和最小值．
(2)(变换条件)若本例中条件“点Q(－2,3)”改为“点Q是直线3x＋4y＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值．
[解] (1)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，
∴＝2，∴b＝9或b＝1.
因此y－x的最大值为9，最小值为1.
(2)∵圆心C(2,7)到直线3x＋4y＋1＝0上动点Q的最小值为点C到直线3x＋4y＋1＝0的距离，
∴|QC|min＝d＝＝7.
又圆C的半径r＝2，
∴|MQ|的最小值为7－2.
[规律方法] 与圆有关的最值问题的三种几何转化法
1形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.
2形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.
3形如m＝x－a2＋y－b2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(1)设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为( )
A.＋2 B.
C．5 D．6
(2)一束光线从点A(－1,1)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长是( )
A．4 B．5
C．3－1 D．2
(1)A (2)A [(1)的几何意义为点P(x，y)与点A(1,1)之间的距离．易知点A(1,1)在圆x2＋(y＋4)2＝4的外部，由数形结合可知的最大值为＋2＝＋2.故选A.
(2)由题意可得圆心C(2,3)，半径r＝1，点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，求得|A′C|＝＝5，故最短路径为|A′C|－r＝5－1＝4，故选A.]
与圆有关的轨迹问题
【例3】 (2019·衡水调研)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[解] (1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
[规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法
1直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.
2定义法：根据圆的定义列方程求解.
3几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.
4代入法相关点法：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.
动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝4
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D.2＋y2＝
C [设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)．∵点A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.故选C.]
1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
A [圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．]
2．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．8
C．4 D．10
C [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，
∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4，故选C.]
3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
2＋y2＝ [由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0<m<4，r>0)，则解得所以圆的标准方程为2＋y2＝.]
