2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第8章第6节　双曲线


第六节　双曲线
[考纲传真]　1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．

1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1 (a>0，b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
[常用结论]
1．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为.
2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长．
3．已知双曲线－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)，求其渐近线的方程，只需把λ改写为0整理即可．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．双曲线3x2－y2＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±3x　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
C　[由3x2－y2＝0得y＝±x.故选C.]
3．(教材改编)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．5
C. D．2
A　[由题意可知b＝2a，
∴e＝＝＝，故选A.]
4．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11 B．9
C．5 D．3
B　[由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.]
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________．
－y2＝1　[由题意可得解得a＝2，
b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.]



双曲线的定义及其应用
【例1】　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
(1)x2－＝1(x≤－1)　(2)　[(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4，
所以cos∠F1PF2
＝
＝＝.]
[母题探究]　(1)将本例(2)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
(2)将本例(2)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
[解]　(1)不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
(2)不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵·＝0，∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2.
[规律方法]　1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
(1)方程－＝12的化简结果为(　　)
A.－＝1　　　 B.－＝1
C.－＝1(x＞0) D.－＝1(x＞0)
(2)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于________．
(1)C　(2)17　[(1)设F1(－10,0)，F2(10,0)，动点P(x，y)，则由题意可知
|PF1|－|PF2|＝12，又|F1F2|＝20，
∴动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支．
又2a＝12,2c＝20，∴a＝6，c＝10，b＝8.
即所求方程为－＝1(x＞0)．
(2)由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的右支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.]

双曲线的标准方程

【例2】　(1)(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
(1)C　(2)C　[(1)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
(2)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x, 即＝±x.所以可设双曲线的方程是x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.]
[规律方法]　求双曲线标准方程的主要方法
(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程.
(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.

(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)已知点A(－1,0)，B(1,0)为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B．x2－＝1
C．x2－＝1 D．x2－y2＝1
(1)B　(2)D　[(1)由y＝x可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.
故选B.
(2)由题意知a＝1.不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝1，|MN|＝，所以M(2，)，代入双曲线方程得4－＝1，解得b＝1，所以双曲线的方程为x2－y2＝1，故选D.]

双曲线的几何性质

►考法1　双曲线的离心率问题
【例3】　(2018·广州一模)如图，在梯形ABCD中，已知|AB|＝2|CD|，＝，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．2
C．3 D.
A　[如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则由梯形的性质与双曲线的对称性知C，D关于y轴对称．设A(－c,0)，则B(c,0)，C(其中h为梯形的高)，因为＝，所以xE＝－c，yE＝h.设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为点C，E在双曲线上，则解得＝7，所以双曲线的离心率e＝＝，故选A.]
►考法2　双曲线的渐近线问题
【例4】　(2019·福州模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
A　[由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为＝，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以＝，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.]
►考法3　双曲线几何性质的综合应用
【例5】　(1)(2019·福州模拟)已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
(2)已知双曲线C1：－y2＝1，双曲线C2：－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C2的一条渐近线上，且OM⊥MF2(O为坐标原点)，若S△OMF2＝16，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长为(　　)
A．32 B．16
C．8 D．4
(1)C　(2)B　[(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意，得＞2，∴e＝＝＞＝，即双曲线离心率的取值范围为(，＋∞)．
(2)双曲线C1：－y2＝1的离心率为，设F2(c,0)，双曲线C2的一条渐近线方程为y＝x，可得|MF2|＝＝b，|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32.又a2＋b2＝c2，且＝，得a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C2的实轴长为16.]
[规律方法]　与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.
(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.
(1)(2019·海口模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
(2)若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
(3)已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴、y轴上，渐近线方程为y＝±x(a＞0)，离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
(1)B　(2)A　(3)2　[(1)双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，与圆相切的只能是直线by－ax＝0，则＝1，化简得3a＝4b，所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，e2＝，故e＝，故选B.
(2)∵0＜k＜9，∴9－k＞0,25－k＞0.
∴－＝1与－＝1均表示双曲线，
又25＋(9－k)＝34－k＝(25－k)＋9，
∴它们的焦距相等，故选A.
(3)e1＋e2＝＋＝·≥×＝2，当且仅当a＝1时取等号，故e1＋e2的最小值是2.]

1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
A　[法一：由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.
法二：由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.]
2.(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A. B．3
C．2 D．4
B　[因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.]
3．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
A　[若双曲线的焦点在x轴上，则
又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴
∴－1 若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为
－＝1，即
即n>3m2且n<－m2，此时n不存在．故选A.]
4.(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
　[如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，∴点A到l的距离d＝.
又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN为等边三角形，
∴d＝MA＝b，即＝b，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝.]
5．(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
12　[由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3,0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因为|AF|＝＝15为定值，
所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12.]