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2020版新一线高考理科数学(人教A版)一轮复习教学案:第3章第3节 三角函数的图象与性质
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第三节 三角函数的图象与性质
[考纲传真] 1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
单调性
递增区间:
,k∈Z,
递减区间:
,k∈Z
递增区间:
[2kπ-π,2kπ],k∈Z,
递减区间:
[2kπ,2kπ+π],k∈Z
递增区间
,k∈Z
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心
(kπ,0),k∈Z
对称中心
,k∈Z
对称中心
,k∈Z
对称轴
x=kπ+(k∈Z)
对称轴
x=kπ(k∈Z)
周期性
2π
2π
π
[常用结论]
若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则:
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=sin x的图象关于点(kπ,0)(k∈Z)中心对称.( )
(2)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( )
(3)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( )
(4)y=sin |x|与y=|sin x|都是周期函数.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.下列函数中,周期为的是( )
A.y=cos 4x B.y=sin 2x
C.y=cos D.y=sin
A [由T=可知,ω==4,检验可知选项A正确,故选A.]
3.若函数y=sin(φ-x)是奇函数,则φ的值可能是( )
A. B.
C. D.π
D [由y=sin(φ-x)是奇函数可知,φ=kπ,k∈Z,故选D.]
4.函数y=tan 2x的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
D [由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
∴y=tan 2x的定义域为.]
5.y=sin的单调减区间是________.
(k∈Z) [由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得
+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.]
三角函数的定义域和值域
1.函数f(x)=3sin在区间上的值域为( )
A. B.
C. D.
B [因为x∈,
所以2x-∈,
所以sin∈,
所以3sin∈,
所以函数f(x)在区间上的值域是.]
2.(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
B [∵f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x
=1-2sin2x+6sin x=-22+,
又sin x∈[-1,1],∴当sin x=1时,f(x)取得最大值5.故选B.]
3.函数y=lg sin x+的定义域为________.
(k∈Z) [要使函数有意义,则有
即
解得(k∈Z),
∴2kπ<x≤+2kπ,k∈Z.
∴函数的定义域为
.]
4.函数y=sin x-cos x+sin x cos x,x∈[0,π]的值域为________.
[-1,1] [设t=sin x-cos x,
则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,
即sin xcos x=,且-1≤t≤.
∴y=-+t+=-(t-1)2+1.
当t=1时,ymax=1;
当t=-1时,ymin=-1.
∴函数的值域为[-1,1].]
[规律方法] 1.三角函数定义域的求法,求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
2.求三角函数最值或值域的常用方法
(1)直接法:直接利用sin x和cos x的值域求解.
(2)化一法:把所给三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,由正弦函数单调性写出函数的值域.
(3)换元法:把sin x,cos x,sin xcos x或sin x±cos x换成t,转化为二次函数求解.
三角函数的单调性
【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x在[0,a] 是减函数,则a的最大值是( )
A. B.
C. D.π
(2)函数f(x)=sin的单调减区间为________.
(1)C (2)(k∈Z) [(1)f(x)=cos x-sin x=-sin,
当x-∈,即x∈时,
sin单调递增,-sin 单调递减,
∴是f(x)在原点附近的单调递减区间,
结合条件得[0,a]⊆,
∴a≤,即amax=,故选C.
(2)由已知,得函数为y=-sin,欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的单调增区间即可.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所求函数的单调减区间为(k∈Z).]
[规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法:求形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.若ω<0,应先用诱导公式化x的系数为正数,以防止把单调性弄错.
(2)图象法:画出三角函数的图象,利用图象求它的单调区间.
2.已知三角函数的单调区间求参数,先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
(1)(2019·珠海模拟)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.(0,2] B.
C. D.
(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2)
C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2)
(1)D (2)A [(1)由2kπ+≤ωx+≤2kπ+,得+≤x≤+,k∈Z,因为f(x)=sin在上单调递减,所以解得因为k∈Z,ω>0,所以k=0,
所以≤ω≤,即ω的取值范围为.故选D.
(2)因为T=π,所以ω=2.所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,得φ的一个正值为,所以y=Asin.
由函数图象及2,-2,0与最近的最高值的距离,距离越大值越小,可判断f(2)<f(-2)<f(0).故选A.]
三角函数的奇偶性、周期性及对称性
►考法1 三角函数的周期性
【例2】 (1)函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为( )
A. B.
C.π D.2π
(2)若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1<T<2,则自然数k的值为________.
(1)C (2)2或3 [(1)因为y=sin 2x+cos 2x=2=2sin,所以其最小正周期T==π.故选C.
(2)由题意知1<<2,即k<π<2k.
又k∈Z,所以k=2或k=3.]
►考法2 三角函数的奇偶性
【例3】 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ),θ∈是偶函数,则θ的值为( )
A.0 B.
C. D.
B [∵f(x)=2sin,
∴要使f(x)为偶函数,只需θ+=kπ+,k∈Z.
∴θ=kπ+,k∈Z.
又θ∈,∴当k=0时, θ=.]
►考法3 三角函数图象的对称性
【例4】 (1)(2018·陕西二模)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线x=对称
D.关于直线x=对称
(2)(2019·武汉模拟)若函数y=cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是,则ω的最小值为________.
(1)C (2)2 [(1)由题意,得T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin.由2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),所以函数f(x)关于点(k∈Z)对称,故A,B不正确;由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),所以函数f(x)关于直线x=对称,故C正确,D不正确,故选C.
(2)由题意知π+=kπ+(k∈Z),
∴ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N* ,
∴ωmin=2.]
[规律方法] 1.对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点.
2.求三角函数周期的方法
(1)利用周期函数的定义.
(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
(1)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为( )
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
(2)(2019·山师大附中模拟)设函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)在x=时取得最大值,则函数g(x)=cos(2x+φ)的图象( )
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线x=对称
D.关于直线x=对称
(3)(2018·济南一模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f=f(x),则( )
A.f(x)在上单调递减
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)在上单调递减
(1)A (2)A (3)D [(1)①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π;
②由图象知y=|cos x|的最小正周期为π;
③y=cos的最小正周期T==π;
④y=tan的最小正周期T=,故选A.
(2)因为x=时,f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)取得最大值,
所以φ=,即g(x)=cos,
所以对称中心,对称轴x=-,故选A.
(3)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin,因为其最小正周期为π,所以=π,ω=2,则f(x)=2sin,又因为f=f(x),所以x=为函数f(x)图象的一条对称轴,则2×+φ+=+kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=-,则f(x)=2sin=2sin,令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=0,得函数f(x)在上单调递减,故选D.]
1.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin的最小正周期为( )
A.4π B.2π
C.π D.
C [函数f(x)=sin的最小正周期T==π.故选C.]
2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在单调递减
D [A项,因为f(x)=cos的周期为2kπ(k∈Z),所以f(x)的一个周期为-2π,A项正确.
B项,因为f(x)=cos图象的对称轴为直线x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的图象关于直线x=对称,B项正确.
C项,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,当k=1时,x=,所以f(x+π)的一个零点为x=,C项正确.
D项,因为f(x)=cos的递减区间为(k∈Z),递增区间为(k∈Z),所以是减区间,是增区间,D项错误.
故选D.]
3.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为________.
3 [由题意知,cos=0,所以3x+=+kπ,k∈Z,所以x=+,k∈Z.当k=0时,x=;当k=1时,x=;当k=2时,x=,均满足题意,所以函数f(x)在[0,π]的零点个数为3.]
4.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是________.
1 [f(x)=1-cos2x+cos x-=-2+1.
∵x∈,∴cos x∈[0,1],
∴当cos x=时,f(x)取得最大值,最大值为1.]
第三节 三角函数的图象与性质
[考纲传真] 1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
单调性
递增区间:
,k∈Z,
递减区间:
,k∈Z
递增区间:
[2kπ-π,2kπ],k∈Z,
递减区间:
[2kπ,2kπ+π],k∈Z
递增区间
,k∈Z
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心
(kπ,0),k∈Z
对称中心
,k∈Z
对称中心
,k∈Z
对称轴
x=kπ+(k∈Z)
对称轴
x=kπ(k∈Z)
周期性
2π
2π
π
[常用结论]
若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则:
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=sin x的图象关于点(kπ,0)(k∈Z)中心对称.( )
(2)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( )
(3)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( )
(4)y=sin |x|与y=|sin x|都是周期函数.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.下列函数中,周期为的是( )
A.y=cos 4x B.y=sin 2x
C.y=cos D.y=sin
A [由T=可知,ω==4,检验可知选项A正确,故选A.]
3.若函数y=sin(φ-x)是奇函数,则φ的值可能是( )
A. B.
C. D.π
D [由y=sin(φ-x)是奇函数可知,φ=kπ,k∈Z,故选D.]
4.函数y=tan 2x的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
D [由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
∴y=tan 2x的定义域为.]
5.y=sin的单调减区间是________.
(k∈Z) [由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得
+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.]
三角函数的定义域和值域
1.函数f(x)=3sin在区间上的值域为( )
A. B.
C. D.
B [因为x∈,
所以2x-∈,
所以sin∈,
所以3sin∈,
所以函数f(x)在区间上的值域是.]
2.(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
B [∵f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x
=1-2sin2x+6sin x=-22+,
又sin x∈[-1,1],∴当sin x=1时,f(x)取得最大值5.故选B.]
3.函数y=lg sin x+的定义域为________.
(k∈Z) [要使函数有意义,则有
即
解得(k∈Z),
∴2kπ<x≤+2kπ,k∈Z.
∴函数的定义域为
.]
4.函数y=sin x-cos x+sin x cos x,x∈[0,π]的值域为________.
[-1,1] [设t=sin x-cos x,
则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,
即sin xcos x=,且-1≤t≤.
∴y=-+t+=-(t-1)2+1.
当t=1时,ymax=1;
当t=-1时,ymin=-1.
∴函数的值域为[-1,1].]
[规律方法] 1.三角函数定义域的求法,求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
2.求三角函数最值或值域的常用方法
(1)直接法:直接利用sin x和cos x的值域求解.
(2)化一法:把所给三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,由正弦函数单调性写出函数的值域.
(3)换元法:把sin x,cos x,sin xcos x或sin x±cos x换成t,转化为二次函数求解.
三角函数的单调性
【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x在[0,a] 是减函数,则a的最大值是( )
A. B.
C. D.π
(2)函数f(x)=sin的单调减区间为________.
(1)C (2)(k∈Z) [(1)f(x)=cos x-sin x=-sin,
当x-∈,即x∈时,
sin单调递增,-sin 单调递减,
∴是f(x)在原点附近的单调递减区间,
结合条件得[0,a]⊆,
∴a≤,即amax=,故选C.
(2)由已知,得函数为y=-sin,欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的单调增区间即可.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所求函数的单调减区间为(k∈Z).]
[规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法:求形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.若ω<0,应先用诱导公式化x的系数为正数,以防止把单调性弄错.
(2)图象法:画出三角函数的图象,利用图象求它的单调区间.
2.已知三角函数的单调区间求参数,先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
(1)(2019·珠海模拟)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.(0,2] B.
C. D.
(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2)
C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2)
(1)D (2)A [(1)由2kπ+≤ωx+≤2kπ+,得+≤x≤+,k∈Z,因为f(x)=sin在上单调递减,所以解得因为k∈Z,ω>0,所以k=0,
所以≤ω≤,即ω的取值范围为.故选D.
(2)因为T=π,所以ω=2.所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,得φ的一个正值为,所以y=Asin.
由函数图象及2,-2,0与最近的最高值的距离,距离越大值越小,可判断f(2)<f(-2)<f(0).故选A.]
三角函数的奇偶性、周期性及对称性
►考法1 三角函数的周期性
【例2】 (1)函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为( )
A. B.
C.π D.2π
(2)若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1<T<2,则自然数k的值为________.
(1)C (2)2或3 [(1)因为y=sin 2x+cos 2x=2=2sin,所以其最小正周期T==π.故选C.
(2)由题意知1<<2,即k<π<2k.
又k∈Z,所以k=2或k=3.]
►考法2 三角函数的奇偶性
【例3】 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ),θ∈是偶函数,则θ的值为( )
A.0 B.
C. D.
B [∵f(x)=2sin,
∴要使f(x)为偶函数,只需θ+=kπ+,k∈Z.
∴θ=kπ+,k∈Z.
又θ∈,∴当k=0时, θ=.]
►考法3 三角函数图象的对称性
【例4】 (1)(2018·陕西二模)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线x=对称
D.关于直线x=对称
(2)(2019·武汉模拟)若函数y=cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是,则ω的最小值为________.
(1)C (2)2 [(1)由题意,得T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin.由2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),所以函数f(x)关于点(k∈Z)对称,故A,B不正确;由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),所以函数f(x)关于直线x=对称,故C正确,D不正确,故选C.
(2)由题意知π+=kπ+(k∈Z),
∴ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N* ,
∴ωmin=2.]
[规律方法] 1.对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点.
2.求三角函数周期的方法
(1)利用周期函数的定义.
(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
(1)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为( )
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
(2)(2019·山师大附中模拟)设函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)在x=时取得最大值,则函数g(x)=cos(2x+φ)的图象( )
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线x=对称
D.关于直线x=对称
(3)(2018·济南一模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f=f(x),则( )
A.f(x)在上单调递减
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)在上单调递减
(1)A (2)A (3)D [(1)①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π;
②由图象知y=|cos x|的最小正周期为π;
③y=cos的最小正周期T==π;
④y=tan的最小正周期T=,故选A.
(2)因为x=时,f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)取得最大值,
所以φ=,即g(x)=cos,
所以对称中心,对称轴x=-,故选A.
(3)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin,因为其最小正周期为π,所以=π,ω=2,则f(x)=2sin,又因为f=f(x),所以x=为函数f(x)图象的一条对称轴,则2×+φ+=+kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=-,则f(x)=2sin=2sin,令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=0,得函数f(x)在上单调递减,故选D.]
1.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin的最小正周期为( )
A.4π B.2π
C.π D.
C [函数f(x)=sin的最小正周期T==π.故选C.]
2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在单调递减
D [A项,因为f(x)=cos的周期为2kπ(k∈Z),所以f(x)的一个周期为-2π,A项正确.
B项,因为f(x)=cos图象的对称轴为直线x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的图象关于直线x=对称,B项正确.
C项,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,当k=1时,x=,所以f(x+π)的一个零点为x=,C项正确.
D项,因为f(x)=cos的递减区间为(k∈Z),递增区间为(k∈Z),所以是减区间,是增区间,D项错误.
故选D.]
3.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为________.
3 [由题意知,cos=0,所以3x+=+kπ,k∈Z,所以x=+,k∈Z.当k=0时,x=;当k=1时,x=;当k=2时,x=,均满足题意,所以函数f(x)在[0,π]的零点个数为3.]
4.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是________.
1 [f(x)=1-cos2x+cos x-=-2+1.
∵x∈,∴cos x∈[0,1],
∴当cos x=时,f(x)取得最大值,最大值为1.]
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