2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第8章第7节　抛物线


第七节　抛物线
[考纲传真]　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．

1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
[常用结论]
1．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
2.设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)
(3)若一抛物线过点P(－2,3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p＞0)．(　　)
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A．y＝－1　　　 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]
3．(教材改编)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
D　[若焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝my，由题意可知16＝－2m，∴m＝－8，即x2＝－8y.若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝nx，由题意，得4＝－4n，∴n＝－1，
∴y2＝－x.
综上知，y2＝－x或x2＝－8y.故选D.]
4．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A. B.
C. D．0
B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]
5．(教材改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于________．
8　[|PQ|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]



抛物线的定义及应用

【例1】　(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B．1
C. D.
(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，A(3,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为________，取最小值时点P的坐标为________．
(1)C　(2)　(2,2)　[(1)如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，由抛物线的定义知p＝，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则点M到y轴的距离为|MM1|－＝(|AA1|＋|BB1|)－＝.故选C.
(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.因为＞2，所以点A在抛物线内部，如图所示．
过点P作PQ⊥l于点Q，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，
当PA⊥l，即A，P，Q三点共线时，|PA|＋|PQ|最小，
最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以所求点P的坐标为(2,2)．]
[规律方法]　应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离

(1)动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．
(2)(2017· 全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
(1)y2＝4x　(2)6　[(1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.]

抛物线的标准方程及其性质

【例2】　(1)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x
B．y2＝4x
C．y2＝2x
D．y2＝x
(2)在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝_______.
(1)B　(2)4　[(1)如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30° ，则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵AE∥FG，
∴＝，即＝，p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x.故选B.
(2)法一：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°.又tan 60°＝，所以yA＝2.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝2.将其代入y2＝4x，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.
法二：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为PA⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF为等边三角形，所以|PF|＝|AF|＝＝4.]
[规律方法]　1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
(1)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点．若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)
A. B.
C．2 D．3
(2)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
(1)B　(2)C　[(1)抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为直线x＝－1.设点P(x，y)，由抛物线的定义，得|PF|＝x＋1＝4，所以x＝3.把x＝3代入y2＝4x，得y＝±2，故△POF的面积S＝×|OF|×|y|＝×1×2＝.故选B.
(2)如图所示，抛物线y2＝2px的焦点F坐标为，准线方程为l：x＝－.由|MF|＝5，可得点M到准线的距离为5，则点M的横坐标为5－，可设M，则MF中点B的坐标为B，∵以MF为直径的圆过点A(0,2)，∴|AB|＝|MF|＝，则有2＋2＝2，解得m＝4，由点M在抛物线上可得m2＝42＝2p，解得p＝2或p＝8，∴所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.]

直线与抛物线的位置关系

【例3】　(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
[解]　(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，
所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为
kBM＋kBN＝＋＝.①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.
[规律方法]　解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法.
提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.
(1)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．
(2)(2019·临沂模拟)已知点A(m,4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C.
①求证：直线BC的斜率为定值；
②若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围．
(1)3　[结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．]
(2)[解]　①证明：∵点A(m,4)在抛物线上，
∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则kAB＋kAC＝＋＝＝0，
∴x1＋x2＝－8.
∴kBC＝＝＝＝－2，
∴直线BC的斜率为定值－2.
②设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)
关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则
kPQ＝＝＝＝，∴x0＝1.
∴M(1，－2＋b)．
又点M在抛物线内部，∴－2＋b＞，即b＞.
由得x2＋8x－4b＝0，
∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b.
∴|BC|＝|x3－x4|＝·
＝×.
又b＞，∴|BC|＞10.
∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．

1.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
A．5　　　 B．6
C．7 D．8
D　[过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.故选D.]
2．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
B　[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D.
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，
∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.]
3.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
2　[由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y，得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2.]
4.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解]　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.