2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第2章第5节　指数与指数函数

第五节　指数与指数函数

[考纲传真]　1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．

1．根式的性质

(1)()n＝a.

(2)当n为奇数时，＝a.

(3)当n为偶数时，＝|a|＝

(4)负数的偶次方根无意义．

(5)零的任何次方根都等于零．

2．有理指数幂

(1)分数指数幂

①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

②负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

[常用结论]

1．指数函数图象的画法

画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.

2．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．

3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)＝()n＝a.(　　)

(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)

(3)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(　　)

(4)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n.(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．函数y＝ax－1＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点的坐标为(　　)

A．(2,2)　　 B．(2,4)

C．(1,2)   D．(1,3)

D　[令x－1＝0得x＝1，此时y＝1＋2＝3，故选D.]

3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c   B．a＜c＜b

C．b＜a＜c   D．b＜c＜a

C　[y＝0.6x在R上是减函数，又0.6＜1.5，

∴0.60.6＞0.61.5，

又y＝x0.6为R上的增函数，

∴1.50.6＞0.60.6，

∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5.

即c＞a＞b.]

4．(教材改编)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)

A　[f(x)＝21－x＝x－1，又f(0)＝2，f(1)＝1，故排除B，C，D，故选A.]

5．(教材改编)计算：

÷＝________.

4a　[原式＝×a＋－b＋－＝4a1b0＝4a.]

指数幂的运算

1．化简(x＜0，y＜0)的正确结果是(　　)

A．2x2y　　 B．2xy

C．4x2y   D．－2x2y

D　[∵x＜0，y＜0，∴＝－2x2y，选D.]

2．计算0＋2－2×－(0.01)＝________.

　[原式＝1＋×－   

＝1＋×－

＝.]

3.ab－2(－3ab－1)÷(4ab－3)·＝________.

－　[原式＝÷2ab－·ab

＝－ab·ab＝－.]

指数函数的图象及应用

【例1】　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a＞1，b＜0

B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0

D．0＜a＜1，b＜0

(2)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．

(1)D　(2)(0,1)　[由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.]

(2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，

则b的取值范围是(0,1)．

(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

A　　B　 　C　　　D

(2)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.

其中不可能成立的关系式有(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．4个

(1)A　(2)B　[(1)易知f(x)是偶函数，且f(0)＝0，从而排除选项B，C，D，故选A.

(2)作出y＝2 018x及y＝2 019x的图象如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有2 018a＝2 019b，故③④不可能成立，故选B.]

指数函数的性质及应用

【例2】　(1)下列各式比较大小正确的是(　　)

A．1.72.5＞1.73   B．0.6－1＞0.62

C．0.8－0.1＞1.250.2   D．1.70.3＜0.93.1

(2)(2019·承德模拟)若函数f(x)＝x2＋2x＋3的值域是，则f(x)的单调递增区间是________．

(3)已知函数f(x)＝x，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.

(1)B　(2)(－∞，－1]　(3)2　[(1)A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.

B中，因为y＝0.6x在R上是减函数，－1＜2，

所以0.6－1＞0.62.

C中，因为0.8－1＝1.25，

所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．

因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1＜0.2，

所以1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.

D中，因为1.70.3＞1,0＜0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.

(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f(x)的值域为，所以g(x)的值域为[2，＋∞)．

因此解得a＝1.

∴g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝x2＋2x＋3，

由于g(x)在(－∞，－1]上是减函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]．

(3)令g(x)＝＋，则g(－x)＝＋

＝＋＝＋＝－1＋

＝－＋＝－g(x)，即g(x)为奇函数，

∴f(x)＝xg(x)为偶函数，

又f(a)＝2，∴f(－a)＝f(a)＝2.]

(1)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，那么a的值为(　　)

A.   B．1

C．3   D.或3

(2)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．

(1)D　(2)(－1,2)　[(1)令ax＝t，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.

当a＞1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，

所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3.

当0＜a＜1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈，

又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，

则ymax＝2－2＝14，解得a＝.

综上知a＝3或a＝.

(2)∵(m2－m)4x－2x＜0在(－∞，－1]上恒成立，

∴m2－m＜x在(－∞，－1]上恒成立．

由于f(x)＝x在(－∞，－1]上是减函数，且f(x)min＝－1＝2.

故由m2－m＜2得－1＜m＜2.]