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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）优秀教案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）优秀教案设计，共13页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，总结升华，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.
2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.
3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.
【要点梳理】
【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】
要点一：解答应用问题的基本思想和步骤
1.解应用题的基本思想
2.解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.
上述四步可概括为以下流程：
实际问题(文字语言) SKIPIF 1 < 0 数学问题(数量关系与函数模型) SKIPIF 1 < 0 建模(数学语言) SKIPIF 1 < 0 求模(求解数学问题) SKIPIF 1 < 0 反馈(还原成实际问题的解答).
要点二：解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.
其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.
其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.
【典型例题】
类型一、已建立函数模型的应用题
例1．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T. R. Malthus，1766～1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： SKIPIF 1 < 0 ，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．
下表是1950～1959年的人口数据资料：
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0．000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符．
(2)如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口可达到13亿?
举一反三：
【变式1】 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。
类型二、自建函数模型的应用问题
例2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地方一个身高175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
举一反三：
【变式1】医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表．
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98％．
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命?(精确到天，lg 2＝0.3010)
例3．在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，每个工作台上有若干名工人．现要在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．
例4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：千米/小时）是车流密度 SKIPIF 1 < 0 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当 SKIPIF 1 < 0 时，车流速度 SKIPIF 1 < 0 是车流密度 SKIPIF 1 < 0 的一次函数．
（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度 SKIPIF 1 < 0 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时） SKIPIF 1 < 0 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
类型三、拟合函数模型的应用问题
这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）。为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法。
例5.某县2006～2011年财政收入情况：
(1)请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；
(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2012年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性．
举一反三：
【变式1】某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标。
2006年，某汽车年销量8万辆；
2007年，某汽车年销量18万辆；
2008年，某汽车年销量30万辆。
如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），指数函数型g (x)=a·bx+c（a≠0，b≠1，b＞0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？
参考答案
【典型例题】
类型一、已建立函数模型的应用题
例1．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T. R. Malthus，1766～1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： SKIPIF 1 < 0 ，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．
下表是1950～1959年的人口数据资料：
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0．000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符．
(2)如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口可达到13亿?
【解析】 (1)设1951～1959年的人口增长率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ．由55196(1+r1)＝56300，可得1951年的人口增长率r1≈0.0200．
同理可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184．
于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为
r＝(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221．
令 SKIPIF 1 < 0 55196，则我国在195l～1959年期间的人口增长模型为 SKIPIF 1 < 0 ，t∈N．
根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55196 e0.022 1t(t∈N)的图象(如图所示)．
由上图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．
(2)将y＝130000代入y＝55196 e0.022 1t，由计算器可得t≈38.76．
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．由此可以看出，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国会面临难以承受的人口压力．
【总结升华】明确解题的基本步骤：
阅读理解，审清题意—→引进数学符号，建立数学模—→解答函数(或方程)问题—→回归应用情境，回答具体问题．
举一反三：
【变式1】 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。
【答案】 0.943×105.
【解析】 这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01×105 Pa和x=1000 m时y=0.90×105 Pa可求。
将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=cekx中，得
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 。
将c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k中得0.90×105=1.01×105e1000k，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
由计算器算得k=－1.15×10－4，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
将x=600代入上述函数关系式得 SKIPIF 1 < 0 ，
由计算器算得y=0.943×105 Pa。
答：600 m高空的大气压强约为0.943×105 Pa。
【总结升华】 函数y=c·akx（a、c、k为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数即可。
类型二、自建函数模型的应用问题
例2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地方一个身高175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
【答案】偏胖
【解析】以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，如图所示．根据点的分布特征，可考虑以 SKIPIF 1 < 0 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
不妨取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
用计算器计算得a≈2，b≈1.02，这样，我们就得到一个函数模型y＝2×1.02x．
将已知数据代入上述函数解析式，或作出如图所示的函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
将x＝175代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由计算器算得y＝63.98，
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖．
【总结升华】 对于完全未建立模型的函数应用题，其建模程序如下：(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求解函数模型；(5)检验；(6)检验符合实际，用函数模型解释实际问题；若检验不符会实际，则返回，重复上述步骤即可．
举一反三：
【变式1】医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表．
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98％．
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命?(精确到天，lg 2＝0.3010)
【答案】（1）27（2）33
【解析】(1)由题意知病毒细胞个数y关于天数n(n∈N+)的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 (n∈N+)．为了使小白鼠在实验过程中不死亡，则 SKIPIF 1 < 0 ，两边取对数，解得n≤27.6，即第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%．再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2％×2x，由题意226×2％×2x≤108，两边取对数得26 lg 2+lg 2-2+x1g 2≤8，解得x≤6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射药物．
【总结升华】本题反映的解题技巧是“不等式两边取对数”，这对解决有关指数运算是很有效的．
【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例3】
例3．在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，每个工作台上有若干名工人．现要在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】设供应站位置坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则各工人到零件供应站距离之和为 SKIPIF 1 < 0 。
（1） SKIPIF 1 < 0
故当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
答：当供应站修建在 SKIPIF 1 < 0 时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 函数单调递减
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
故当 SKIPIF 1 < 0 时，均有 SKIPIF 1 < 0
答：当供应站修建在 SKIPIF 1 < 0 时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为 SKIPIF 1 < 0 。
【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例4】
例4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：千米/小时）是车流密度 SKIPIF 1 < 0 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当 SKIPIF 1 < 0 时，车流速度 SKIPIF 1 < 0 是车流密度 SKIPIF 1 < 0 的一次函数．
（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度 SKIPIF 1 < 0 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时） SKIPIF 1 < 0 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度 SKIPIF 1 < 0 与车流速度 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 （Ⅱ）100 3333
【解析】
（Ⅰ）由题意：当 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0
再由已知得 SKIPIF 1 < 0
故函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式为 SKIPIF 1 < 0
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间[20，200]上取得最大值 SKIPIF 1 < 0
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间[0，200]上取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
类型三、拟合函数模型的应用问题
这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）。为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法。
例5.某县2006～2011年财政收入情况：
(1)请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；
(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2012年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性．
【解析】(1)利用描点法，过A(1，2.59)，B(2，3.05)，C(3，3.80)，D(4，4.89)，E(5，6.68)，F(6，8.50)画一条光滑的曲线，如图所示，其中年份第一年为2006年，第二年为2007年，其它依次类推．
通过直观判断函数图象，它可以和前面已学过的两种函数模型进行比较：
模型一：设 SKIPIF 1 < 0 (a＞0，a≠1)，
将A、B、C三点的坐标代入，得
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
计算得 SKIPIF 1 < 0 ≈4.57， SKIPIF 1 < 0 ≈5.73， SKIPIF 1 < 0 ≈7.30，它们与实际的误差分别为0.32，0.95，1.20．
模型二：设 SKIPIF 1 < 0 (a≠0，x≥1)，
将A、B、C三点的坐标代入，得
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
计算得 SKIPIF 1 < 0 ≈4.84， SKIPIF 1 < 0 ≈6.17， SKIPIF 1 < 0 ≈7.79，它们与实际的误差分别为0.05，0.51，0.71．
对两个函数模型进行对比，发现 SKIPIF 1 < 0 与实际的误差较小，所以用函数模型 SKIPIF 1 < 0 (x≥1)较好．
(2)设年财政收入平均增长率为a，由2006年和2011年财政收入，则有
2.59(1+a)5=8.5，解得a≈26.83%．
从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型： SKIPIF 1 < 0 ．
用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别预测2012年的财政收入是：
SKIPIF 1 < 0 =9.7(亿)， SKIPIF 1 < 0 =10.78(亿)．
从该县经济发展趋势看，两种预测都有可能，但是选择 SKIPIF 1 < 0 模型比较稳妥．
【总结升华】在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．
举一反三：
【变式1】某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标。
2006年，某汽车年销量8万辆；
2007年，某汽车年销量18万辆；
2008年，某汽车年销量30万辆。
如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），指数函数型g (x)=a·bx+c（a≠0，b≠1，b＞0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？
【答案】f (x)=x2+7x
【解析】 建立年销量y（万辆）与第x年的函数，可知函数图象必过点（1，8），（2，18），（3，30）。
（1）构造二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），
将点的坐标代入，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 。
则f (x)=x2+7x，故f (4)=44，与计划误差为4.7。
（2）构造指函数型g (x)=a·bx+c，将点的坐标代入，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，与计划误差为5.1。
由上可得f (x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量y（万辆）与第x年的关系。
【总结升华】某个函数模型能否更好地反映变量间的关系，必须与实际数据的误差相对较小。
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
天数
l
2
3
4
5
6
病毒细胞个数
l
2
4
8
16
32
年份
2006
2007
2008
2009
2010
2011
收入(万元)
25899
30504
37997
48898
66800
85000
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
天数
l
2
3
4
5
6
病毒细胞个数
l
2
4
8
16
32
年份
2006
2007
2008
2009
2010
2011
收入(万元)
25899
30504
37997
48898
66800
85000
【学习目标】
1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.
2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.
3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.
【要点梳理】
【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】
要点一：解答应用问题的基本思想和步骤
1.解应用题的基本思想
2.解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.
上述四步可概括为以下流程：
实际问题(文字语言) SKIPIF 1 < 0 数学问题(数量关系与函数模型) SKIPIF 1 < 0 建模(数学语言) SKIPIF 1 < 0 求模(求解数学问题) SKIPIF 1 < 0 反馈(还原成实际问题的解答).
要点二：解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.
其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.
其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.
【典型例题】
类型一、已建立函数模型的应用题
例1．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T. R. Malthus，1766～1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： SKIPIF 1 < 0 ，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．
下表是1950～1959年的人口数据资料：
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0．000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符．
(2)如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口可达到13亿?
举一反三：
【变式1】 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。
类型二、自建函数模型的应用问题
例2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地方一个身高175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
举一反三：
【变式1】医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表．
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98％．
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命?(精确到天，lg 2＝0.3010)
例3．在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，每个工作台上有若干名工人．现要在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．
例4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：千米/小时）是车流密度 SKIPIF 1 < 0 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当 SKIPIF 1 < 0 时，车流速度 SKIPIF 1 < 0 是车流密度 SKIPIF 1 < 0 的一次函数．
（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度 SKIPIF 1 < 0 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时） SKIPIF 1 < 0 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
类型三、拟合函数模型的应用问题
这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）。为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法。
例5.某县2006～2011年财政收入情况：
(1)请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；
(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2012年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性．
举一反三：
【变式1】某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标。
2006年，某汽车年销量8万辆；
2007年，某汽车年销量18万辆；
2008年，某汽车年销量30万辆。
如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），指数函数型g (x)=a·bx+c（a≠0，b≠1，b＞0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？
参考答案
【典型例题】
类型一、已建立函数模型的应用题
例1．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T. R. Malthus，1766～1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： SKIPIF 1 < 0 ，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．
下表是1950～1959年的人口数据资料：
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0．000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符．
(2)如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口可达到13亿?
【解析】 (1)设1951～1959年的人口增长率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ．由55196(1+r1)＝56300，可得1951年的人口增长率r1≈0.0200．
同理可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184．
于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为
r＝(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221．
令 SKIPIF 1 < 0 55196，则我国在195l～1959年期间的人口增长模型为 SKIPIF 1 < 0 ，t∈N．
根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55196 e0.022 1t(t∈N)的图象(如图所示)．
由上图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．
(2)将y＝130000代入y＝55196 e0.022 1t，由计算器可得t≈38.76．
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．由此可以看出，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国会面临难以承受的人口压力．
【总结升华】明确解题的基本步骤：
阅读理解，审清题意—→引进数学符号，建立数学模—→解答函数(或方程)问题—→回归应用情境，回答具体问题．
举一反三：
【变式1】 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。
【答案】 0.943×105.
【解析】 这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01×105 Pa和x=1000 m时y=0.90×105 Pa可求。
将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=cekx中，得
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 。
将c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k中得0.90×105=1.01×105e1000k，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
由计算器算得k=－1.15×10－4，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
将x=600代入上述函数关系式得 SKIPIF 1 < 0 ，
由计算器算得y=0.943×105 Pa。
答：600 m高空的大气压强约为0.943×105 Pa。
【总结升华】 函数y=c·akx（a、c、k为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数即可。
类型二、自建函数模型的应用问题
例2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地方一个身高175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
【答案】偏胖
【解析】以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，如图所示．根据点的分布特征，可考虑以 SKIPIF 1 < 0 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
不妨取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
用计算器计算得a≈2，b≈1.02，这样，我们就得到一个函数模型y＝2×1.02x．
将已知数据代入上述函数解析式，或作出如图所示的函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
将x＝175代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由计算器算得y＝63.98，
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖．
【总结升华】 对于完全未建立模型的函数应用题，其建模程序如下：(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求解函数模型；(5)检验；(6)检验符合实际，用函数模型解释实际问题；若检验不符会实际，则返回，重复上述步骤即可．
举一反三：
【变式1】医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表．
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98％．
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命?(精确到天，lg 2＝0.3010)
【答案】（1）27（2）33
【解析】(1)由题意知病毒细胞个数y关于天数n(n∈N+)的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 (n∈N+)．为了使小白鼠在实验过程中不死亡，则 SKIPIF 1 < 0 ，两边取对数，解得n≤27.6，即第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%．再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2％×2x，由题意226×2％×2x≤108，两边取对数得26 lg 2+lg 2-2+x1g 2≤8，解得x≤6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射药物．
【总结升华】本题反映的解题技巧是“不等式两边取对数”，这对解决有关指数运算是很有效的．
【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例3】
例3．在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，每个工作台上有若干名工人．现要在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】设供应站位置坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则各工人到零件供应站距离之和为 SKIPIF 1 < 0 。
（1） SKIPIF 1 < 0
故当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
答：当供应站修建在 SKIPIF 1 < 0 时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 函数单调递减
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
故当 SKIPIF 1 < 0 时，均有 SKIPIF 1 < 0
答：当供应站修建在 SKIPIF 1 < 0 时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为 SKIPIF 1 < 0 。
【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例4】
例4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：千米/小时）是车流密度 SKIPIF 1 < 0 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当 SKIPIF 1 < 0 时，车流速度 SKIPIF 1 < 0 是车流密度 SKIPIF 1 < 0 的一次函数．
（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度 SKIPIF 1 < 0 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时） SKIPIF 1 < 0 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度 SKIPIF 1 < 0 与车流速度 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 （Ⅱ）100 3333
【解析】
（Ⅰ）由题意：当 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0
再由已知得 SKIPIF 1 < 0
故函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式为 SKIPIF 1 < 0
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间[20，200]上取得最大值 SKIPIF 1 < 0
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间[0，200]上取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
类型三、拟合函数模型的应用问题
这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）。为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法。
例5.某县2006～2011年财政收入情况：
(1)请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；
(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2012年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性．
【解析】(1)利用描点法，过A(1，2.59)，B(2，3.05)，C(3，3.80)，D(4，4.89)，E(5，6.68)，F(6，8.50)画一条光滑的曲线，如图所示，其中年份第一年为2006年，第二年为2007年，其它依次类推．
通过直观判断函数图象，它可以和前面已学过的两种函数模型进行比较：
模型一：设 SKIPIF 1 < 0 (a＞0，a≠1)，
将A、B、C三点的坐标代入，得
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
计算得 SKIPIF 1 < 0 ≈4.57， SKIPIF 1 < 0 ≈5.73， SKIPIF 1 < 0 ≈7.30，它们与实际的误差分别为0.32，0.95，1.20．
模型二：设 SKIPIF 1 < 0 (a≠0，x≥1)，
将A、B、C三点的坐标代入，得
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
计算得 SKIPIF 1 < 0 ≈4.84， SKIPIF 1 < 0 ≈6.17， SKIPIF 1 < 0 ≈7.79，它们与实际的误差分别为0.05，0.51，0.71．
对两个函数模型进行对比，发现 SKIPIF 1 < 0 与实际的误差较小，所以用函数模型 SKIPIF 1 < 0 (x≥1)较好．
(2)设年财政收入平均增长率为a，由2006年和2011年财政收入，则有
2.59(1+a)5=8.5，解得a≈26.83%．
从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型： SKIPIF 1 < 0 ．
用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别预测2012年的财政收入是：
SKIPIF 1 < 0 =9.7(亿)， SKIPIF 1 < 0 =10.78(亿)．
从该县经济发展趋势看，两种预测都有可能，但是选择 SKIPIF 1 < 0 模型比较稳妥．
【总结升华】在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．
举一反三：
【变式1】某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标。
2006年，某汽车年销量8万辆；
2007年，某汽车年销量18万辆；
2008年，某汽车年销量30万辆。
如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），指数函数型g (x)=a·bx+c（a≠0，b≠1，b＞0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？
【答案】f (x)=x2+7x
【解析】 建立年销量y（万辆）与第x年的函数，可知函数图象必过点（1，8），（2，18），（3，30）。
（1）构造二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），
将点的坐标代入，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 。
则f (x)=x2+7x，故f (4)=44，与计划误差为4.7。
（2）构造指函数型g (x)=a·bx+c，将点的坐标代入，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，与计划误差为5.1。
由上可得f (x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量y（万辆）与第x年的关系。
【总结升华】某个函数模型能否更好地反映变量间的关系，必须与实际数据的误差相对较小。
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
天数
l
2
3
4
5
6
病毒细胞个数
l
2
4
8
16
32
年份
2006
2007
2008
2009
2010
2011
收入(万元)
25899
30504
37997
48898
66800
85000
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
天数
l
2
3
4
5
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病毒细胞个数
l
2
4
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16
32
年份
2006
2007
2008
2009
2010
2011
收入(万元)
25899
30504
37997
48898
66800
85000
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