初中数学北师大版八年级上册第二章 实数6 实数教学设计

这是一份初中数学北师大版八年级上册第二章 实数6 实数教学设计，共4页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。




1．了解实数的概念，能按要求进行分类；(重点)


2．能利用化简对实数进行简单的四则运算．(难点)











一、情境导入





毕达哥拉斯学派认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描述，但后来这个学派的一位年轻成员希伯索斯(Hippasus)发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比来表示，这就引起了毕达哥拉斯学派信徒们的恐慌，为此希伯索斯招来了杀身之祸，后来被投入大海．他这一死，使得这一伟大发现的发展推迟了500多年，给数学的发展造成了不可弥补的损失．这是怎样的一个发现呢？


学习了本节知识之后，你就会知道了．





二、合作探究


探究点一：实数的相关概念及分类


把下列各数填入相应的集合内：


－eq \f(1,2)，－eq \r(3)，eq \f(\r(2),3)，eq \f(9,2)，－eq \r(3,－8)，0，－π，－eq \f(117,3)，－4.eq \(2,\s\up6(·))0eq \(1,\s\up6(·))，3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)．


有理数集合：{ …}；


无理数集合：{ …}；


整数集合：{ …}；


分数集合：{ …}；


正实数集合：{ …}；


负实数集合：{ …}；


解析：根据有理数、无理数等的概念进行分类，应注意先把一些数化简再进行判断，如－eq \r(3,－8)＝2.


解：有理数集合：{－eq \f(1,2)，eq \f(9,2)，－eq \r(3,－8)，0，－eq \f(117,3)，－4.eq \(2,\s\up6(·))0eq \(1,\s\up6(·))，…}；


无理数集合：{－eq \r(3)，eq \f(\r(2),3)，－π，3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，…}；


整数集合：{－eq \r(3,－8)，0，…}；


分数集合：{－eq \f(1,2)，eq \f(9,2)，－eq \f(117,3)，－4.eq \(2,\s\up6(·))0eq \(1,\s\up6(·))，…}；


正实数集合：{eq \f(\r(2),3)，eq \f(9,2)，－eq \r(3,－8)，3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，…}；


负实数集合：{－eq \f(1,2)，－eq \r(3)，－π，－eq \f(117,3)，－4.eq \(2,\s\up6(·))0eq \(1,\s\up6(·))，…}．


方法总结：至今我们所学的数不是有理数就是无理数，因此可先把题目中所列各数分成这两类，再从有理数中找整数及分数，这样可分散难点，逐个突破，同时可避免重复或遗漏．





探究点二：实数的性质


分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值．


(1)eq \r(3,－64)；(2)eq \r(225)；(3)eq \r(11).


解析：根据实数的相反数、倒数和绝对值的定义写出相应结果．注意(1)(2)中的两个数要先化简为整数．


解：(1)∵eq \r(3,－64)＝－4，∴eq \r(3,－64)的相反数是4，倒数是－eq \f(1,4)，绝对值是4.


(2)∵eq \r(225)＝15，∴eq \r(225)的相反数是－15，倒数是eq \f(1,15)，绝对值是15.


(3)eq \r(11)的相反数是－eq \r(11)，倒数是eq \f(1,\r(11))，绝对值是eq \r(11).


方法总结：在实数范围内，相反数、倒数和绝对值等的意义和在有理数范围内的完全相同．





探究点三：实数与数轴上点的关系


【类型一】 求数轴上的点对应的实数


如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和eq \r(3)，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．





解析：首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称轴的性质即可求出点C所表示的实数．


解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和eq \r(3)，∴点B到点A的距离为1＋eq \r(3)，则点C到点A的距离为1＋eq \r(3)，设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋eq \r(3)，∴x＝－2－eq \r(3).


方法总结：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点时，点C到点A的距离等于点B到点A的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值．





【类型二】 利用数轴进行估算


如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为eq \r(2)和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有( )





A．6个 B．5个 C．4个 D．3个


解析：∵eq \r(2)≈1.414，∴eq \r(2)和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C.


方法总结：数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论．





探究点四：实数的大小比较


已知0

A．x

C．x2

解析：本题可以用特殊值法求解．例如取x＝eq \f(1,4)，则eq \f(1,x)＝4，x2＝eq \f(1,16)，eq \r(x)＝eq \f(1,2)，从而可以比较其大小，eq \f(1,16)

方法总结：当直接比较大小较困难时，我们可以采用特殊值法，所取特殊值必须符合两个条件：(1)在字母取值范围内；(2)求值计算简单．而求实数的相反数、倒数、绝对值的方法与求有理数的相反数、倒数、绝对值的方法是一样的．





探究点五：实数的运算


计算：


(1)eq \f(\r(5),2)＋2.34－π(精确到0.1)；


(2)(eq \r(3)＋eq \r(5))(eq \r(2)－1)(精确到0.01)；


(3)(eq \r(3,－216)＋eq \r(2\f(1,4))＋eq \r(3,64))×eq \r(\f(1,（－0.1）2)).


解析：在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．


解：(1)eq \f(\r(5),2)＋2.34－π≈eq \f(1,2)×2.24＋2.34－3.14≈0.3.


(2)(eq \r(3)＋eq \r(5))(eq \r(2)－1)≈(1.732＋2.236)×(1.414－1)＝3.968×0.414≈1.64.


(3)(eq \r(3,－216)＋eq \r(2\f(1,4))＋eq \r(3,64))×eq \r(\f(1,（－0.1）2))＝(－6＋eq \f(3,2)＋4)×10＝－0.5×10＝－5.


方法总结：实数的运算同有理数的运算法则一样．实数运算中，无理数可选取近似值转化为有理数计算，中间结果所取的近似值要比最终结果要求的多一位小数．





三、板书设计


实数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(概念及分类,实数的性质,实数与数轴上点的关系,实数大小的比较与运算))








前面已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数的认识进一步深入．中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的，同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础．