初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试练习题

这是一份初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试练习题，共19页。试卷主要包含了如图1，我们定义，教学实验等内容，欢迎下载使用。




1．如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A（n，m），且（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．





（1）求A点的坐标；


（2）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE；


（3）如图（2），若∠ECF＝45°，给出两个结论：OF+AE﹣EF的值不变；OF+AE+EF的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．








2．如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．


（1）如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．


（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD＝∠BAC＝∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．





43．如图①A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB＝CD．





（1）图①中有 对全等三角形，并把它们写出来．


（2）求证：G是BD的中点．


（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立？如果成立，请予证明．














4．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．


【探究与发现】


（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形


【理解与应用】


（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是 ．


（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．








5．如图，已知AB∥CD，点E在BC上且BE＝CD，AB＝CE，EF平分∠AED．


（1）求证：△ABE≌△ECD；


（2）猜测EF与AD的位置关系，并说明理由；


（3）若DF＝AE，请判断△AED的形状，并说明理由．














6．如图1，已知A（0，a），B（b，0），且a、b满足a2﹣4a+20＝8b﹣b2．


（1）求A、B两点的坐标；


（2）如图2，连接AB，若D（0，﹣6），DE⊥AB于点E，B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM＝AB，连接AM，试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结论；


（3）如图3，在（2）的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN＝AP，连接PN交y轴于点Q，过点N作NH⊥y轴于点H，当N点在线段DM上运动时，△MQH的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．











7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．


（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；


（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；


（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ＝60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．

















8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E在直线m上，∠ADB＝∠AEC＝∠BAC．


（1）求证：DE＝DB+EC；


（2）若∠BAC＝120°，AF平分∠BAC，且AF＝AB，连接FD、FE，请判断△DEF的形状，并写出证明过程．


























9．教学实验：画∠AOB的平分线OC．


（1）将一块最够大的三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别于OA，OB交于E，F（如图①）．度量PE、PF的长度，PE PF（填＞，＜，＝）；


（2）将三角尺绕点P旋转（如图②）：


①PE与PF相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由；


②若OP＝，请直接写出四边形OEPF的面积： ．




















10．（1）如图（1）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC+CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）


（2）如图（2）当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．


（3）如图（3）当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．





参考答案


1．解：（1）（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16，


即（m﹣4）2+（n﹣4）2＝0，


则m﹣4＝0，n﹣4＝0，


解得：m＝4，n＝4．


则A的坐标是（4，4）；


（2）∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，A（4，4），


∴AB＝AC＝OC＝OB，∠ACO＝∠COB＝∠ABO＝90°，


又∵四边形的内角和是360°，


∴∠A＝90°，


∵OF+BE＝AB＝BE+AE，


∴AE＝OF，


∴在△COF和△CAE中，，


∴△COF≌△CAE，得


∴CF＝CE；


（3）结论正确，值为0．


证明：在x轴负半轴上取点H，使OH＝AE，


∵在△ACE和△OCH中，，


∴△ACE≌△OCH，


∴∠1＝∠2，CH＝CE，


又∵∠EOF＝45°，


∴∠HCF＝45°，


∴在△HCF和△ECF中，，


∴△HCF≌△ECF，


∴HF＝EF，


∴OF+AE﹣EF＝0．





2．解：（1）∵AE＝BE，


∴∠EAB＝∠EBA，


∵四边形ABCD是互补等对边四边形，


∴AD＝BC，


在△ABD和△BAC中，


，


∴△ABD≌△BAC（SAS），


∴∠ADB＝∠BCA，


又∵∠ADB+∠BCA＝180°，


∴∠ADB＝∠BCA＝90°，


在△ABE中，∵∠EAB＝∠EBA＝＝90°﹣∠AEB，


∴∠ABD＝90°﹣∠EAB＝90°﹣（90°﹣∠AEB）＝∠AEB，


同理：∠BAC＝∠AEB，


∴∠ABD＝∠BAC＝∠AEB；


（2）仍然成立；


理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，





∵四边形ABCD是互补等对边四边形，


∴AD＝BC，∠ADB+∠BCA＝180°，


又∠ADB+ADG＝180°，


∴∠BCA＝∠ADC，


又∵AG⊥BD，BF⊥AC，


∴∠AGD＝∠BFC＝90°，


在△AGD和△BFC中，





∴△AGD≌△BFC，


∴AG＝BF，


在△ABG和△BAF中，





∴△ABG≌△BAF，


∴∠ABD＝∠BAC，


∵∠ADB+∠BCA＝180°，


∴∠EDB+∠ECA＝180°，


∴∠AEB+∠DHC＝180°，


∵∠DHC+∠BHC＝180°，


∴∠AEB＝∠BHC．


∵∠BHC＝∠BAC+∠ABD，∠ABD＝∠BAC，


∴∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．


3．解：（1）图①中全等三角形有：△ABF≌△CDE，△ABG≌△CDG，△BFG≌△DEG．


故答案是：3；


（2）∵AE＝CF，


∴AF＝CE，


∴在直角△ABF和直角△CDE中，，


∴△ABF≌△CDE，


∴BF＝DE，


在△DEG和△BFG中，，


∴△DEG≌△BFG，


∴BG＝DG，即G是BD的中点；


（3）结论仍成立．


理由是：）∵AE＝CF，


∴AF＝CE，


在直角△ABF和直角△CDE中，，


∴△ABF≌△CDE，


∴BF＝DE，


在△DEG和△BFG中，，


∴△DEG≌△BFG，


∴BG＝DG，即G是BD的中点．


4．（1）证明：在△ADC与△EDB中，


，


∴△ADC≌△EDB；


故答案为：△ADC≌△EDB；





（2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，


在△PDE与△PQF中，


，


∴△PEP≌△QFP，


∴FQ＝DE＝3，


在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，


即5﹣3＜2x＜5+3，


∴x的取值范围是1＜x＜4；


故答案为：1＜x＜4；





（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD＝AD，连接BM，


∴AM＝2AD，


∵AD是△ABC的中线，


∴BD＝CD，


在△BMD与△CAD中，


，


∴△BMD≌△CAD，


∴BM＝CA，∠M＝∠CAD，


∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，


∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC，


∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M），


∴∠ACQ＝∠MBA，


∵QC＝BC，


∴QC＝AB，


在△ACQ与△MBA中，


，


∴△ACQ≌△MBA，


∴AQ＝AM＝2AD．








5．（1）证明：∵AB∥CD，


∴∠B＝∠C，


在△ABE与△ECD中，，


∴△ABE≌△ECD；





（2）EF⊥AD，


理由：∵△ABE≌△ECD，


∴AE＝DE，


∵EF平分∠AED，


∴EF⊥AD；





（3）△AED是等边三角形，


∵AE＝DE，


∵EF平分∠AED，


∴DF＝AD，


∵DF＝AE，


∴AD＝AE＝DE，


∴△AED是等边三角形．


6．解：（1）∵a2﹣4a+20＝8b﹣b2，


∴（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，


∴a＝2，b＝4，


∴A（0，2），B（4，0）；





（2）∵AD＝OA+OD＝8，BC＝2OB＝8，


∴AD＝BC，


在△CAB与△AMD中，


，


∴△CAB≌△AMD，


∴AC＝AM，∠ACO＝∠MAD，


∵∠ACO+∠CAO＝90°，


∴∠MAD+∠CAO＝∠MAC＝90°，


∴AC＝AM，AC⊥AM；





（3）过P作PG⊥y轴于G，


在△PGA与△DHN中，


，


∴△PGA≌△DHN，


∴PG＝HN，AG＝HD，


∴AD＝GH＝8，


在△PQG与△NHQ中，


，


∴△PQG≌△NHQ，


∴QG＝QH＝GH＝4，


∴S△MQH＝×4×2＝4．





7．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，


∴∠ABC＝60°，


∵BD是△ABC的角平分线，


∴∠DBA＝∠ABC＝30°，


∴∠A＝∠DBA，


∴AD＝BD，


∵DE⊥AB，


∴AE＝BE，


∴CE＝AB＝BE，


∴△BCE是等边三角形；


（2）证明：∵△BCE与△MNB都是等边三角形，


∴BC＝BE，BM＝BN，∠EBC＝∠MBN＝60°，


∴∠CBM＝∠EBN，


在△CBM和△EBN中，


，


∴△CBM≌△EBN（SAS），


∴∠BEN＝∠BCM＝60°，


∴∠BEN＝∠EBC，


∴EN∥BC；


（3）解：DQ＝AD+DP；理由如下：


延长BD至F，使DF＝PD，连接PF，如图所示：


∵∠PDF＝∠BDC＝∠A+∠DBA＝30°+30°＝60°，


∴△PDF为等边三角形，


∴PF＝PD＝DF，∠F＝60°，


∵∠PDQ＝90°﹣∠A＝60°，


∴∠F＝∠PDQ＝60°，


∴∠BDQ＝180°﹣∠BDC﹣∠PDQ＝60°，


∴∠BPQ＝∠BDQ＝60°，


∴∠Q＝∠PBF，


在△PFB和△PDQ中，


，


∴△PFB≌△PDQ，


∴DQ＝BF＝BD+DF＝BD+DP，


∵∠A＝∠ABD，


∴AD＝BD，


∴DQ＝AD+DP．





8．（1）证明：∵∠ADB＝∠AEC＝∠BAC，


∴∠ADB+∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠BAC+∠EAC＝180°，


∴∠ABD＝∠EAC，


在△ABD与△ACE中，


，


∴△ABD≌△AEC，


∴BD＝AE，


∵DE＝AD+AE，


∴DE＝DB+EC．





（2）结论：△DEF为等边三角形


理由：连接BF，CF．





∵AF平分∠BAC，∠BAC＝120°，


∴∠FAB＝∠FAC＝60°，


∵FA＝AB＝AC，


∴△ABF和△ACF均为等边三角形


∴BF＝AF＝AB＝AC＝CF，∠BAF＝∠CAF＝∠ABF＝60°，


∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝120°，


∴∠DBA+∠DAB＝∠CAE+∠DAB＝60°，


∴∠DBA＝∠CAE．


在△BAD和△ACE中，


，


∴△ADB≌△CEA（AAS），


∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE．


∵∠ABF＝∠CAF＝60°，


∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，


∴∠DBF＝∠FAE．


在△BDF和△AEF中，


，


∴△DBF≌△EAF（SAS），


∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，


∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，


∴△DEF为等边三角形．


9．（1）解：PE＝PF；


故答案为：＝；


（2）解：①PE＝PF；理由如下：


把三角尺绕点P顺时针旋转，使三角尺的两条直角边分别与OA，OB垂直于M、N，如图所示：


则∠PME＝∠PNF＝90°，四边形OMPN是矩形


∵OP平分∠AOB，


∴PM＝PN，


∴四边形OMPN是正方形，


∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°，


∴∠MPN＝90°，


∵∠EPF＝90°，


∴∠MPE＝∠FPN，


在△PEM和△PFN中


∴△PEM≌△PFN（ASA），


∴PE＝PF．


②由①得：四边形OMPN是正方形，△PEM≌△PFN，


∴OM＝ON＝OP＝1，四边形OEPF的面积＝正方形OMPN的面积＝OM2＝1；


故答案为：1．





10．解：（1）如图1所示，在AB上截取AE＝AC，连接DE，


∵AD平分∠BAC，


∴∠1＝∠2．


在△ACD和△AED中，


，


∴△ACD≌△AED（SAS）．


∴∠AED＝∠C＝90，CD＝ED，


又∵∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，


∴∠B＝45°．


∴∠EDB＝∠B＝45°．


∴DE＝BE，


∴CD＝BE．


∵AB＝AE+BE，


∴AB＝AC+CD．





（2）证明：在AB取一点E使AC＝AE，


在△ACD和△AED中，


，


∴△ACD≌△AED，


∴∠C＝∠AED，CD＝DE，


又∵∠C＝2∠B，


∴∠AED＝2∠B，


∵∠AED是△EDC的外角，


∴∠EDB＝∠B，


∴ED＝EB，


∴CD＝EB，


∴AB＝AC+CD；





（3）AB＝CD﹣AC


证明：在BA的延长线AF上取一点E，使得AE＝AC，连接DE，


在△ACD和△AED中，


，


∴△ACD≌△AED（SAS），


∴∠ACD＝∠AED，CD＝DE，


∴∠ACB＝∠FED，


又∵∠ACB＝2∠B，


∴∠FED＝2∠B，


又∵∠FED＝∠B+∠EDB，


∴∠EDB＝∠B，


∴DE＝BE，


∴BE＝CD，


∴AB＝CD﹣AC．