初中数学3 相似多边形教案及反思

这是一份初中数学3 相似多边形教案及反思，共25页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第10讲


讲























相似多边形及相似三角形的判定















































概 述











【教学建议】


相似这一部分知识是整个初中阶段难度较高的一部分，同时也是中考中的热门考点，在本讲教学过程中建议联系全等的判定知识来学习相似多边形和相似三角形的判定这个知识点.


【知识导图】




















教学过程








一、导入








【教学建议】


在这一讲知识的学习中，可以对比全等来帮助学生更好的理解成比例线段的知识.


全等的证明我们并不陌生，通过边角关系的应用我们可以使用四种方法来证明两个三角形全等.全等作为相似的一种特殊情况，可以帮助我们更好的理解相似，学习相似.





二、知识讲解








考点1 相似多边形的定义








对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。





考点2 三角形相似判定定理











判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．


判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．


判定定理3：三边:成比例的两个三角形相似．





考点3 黄金分割





一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 SKIPIF 1 < 0 那么称线段AB被点C黄金分割（glden sectin）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中 SKIPIF 1 < 0 ≈0.618.





三 、例题精析








类型一 判断多边形是否相似





例题1








若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 （ ）























A．870 B．600 C．750 D．1200


【解析】A


对应角相等，360°-60°-75°-138°=87°.


【总结与反思】两个多边形相似，他们的对应角相等，对应边成比例.





类型二 相似多边形的应用





例题1








在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：


甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．


乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．


对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）





A．两人都对 B．两人都不对


C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对


【解析】A


往外扩张相同的距离，即新的边与旧的边是平行的，因此根据平行线的性质，得到对应角相等，且对应边成比例，所以相似.


【总结与反思】 此题考察了多边形相似的应用.





类型三：三角形相似的证明





例题1








如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F.


求证：△PFA∽△ABE；


【解析】证明：∵AD∥BC，


∴∠PAF=∠AEB.


∵∠PFA=∠ABE=90∘，


∴△PFA∽△ABE.


【总结与反思】 通过两角对应相等得到相似.





例题2











如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．








【解析】∵AC=，AD=2，


∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：


（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有=，∴AB==3；


（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有=，∴AB==3．


故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似


【总结与反思】两个形似三角形，对应角相等，对应边成比例.








类型四：黄金分割





例题1











若点C是线段AB的分割点（AC＞BC），AB＝16，则AC＝______，BC＝_______；如果D是线段AB的另一个黄金分割点，则CD＝_______。


【解析】，24- ，；


根据黄金分割比是，即可由乘法得到本题答案.





【总结与反思】此类型考察的是黄金分割比使用.





类型五：相似综合





例题1








如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．


（1）当t= s时，四边形EBFB′为正方形；


（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；


（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．





【解析】（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，


即：10﹣t=3t，


解得t=2.5；


（2）分两种情况，讨论如下：


①若△EBF∽△FCG，


则有，即，


解得：t=2.8；


②若△EBF∽△GCF，


则有，即，


解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2．


∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．


（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．


如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，


由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，


即：52+（6﹣3t）2=（3t）2


解得：t=；





过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，


由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，


即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2


解得：t=3.9．


∵≠3.9，


∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．


【总结与反思】本题考查了三角形相似的综合使用能力及灵活运用能力..








四 、课堂运用








基础








1.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4cm，如果它们的周长和为84cm，那么较大多边形的周长为（ ）


A．54cm B．36 cm C．48 cm D．42 cm


2.两个相似多边形的面积比是9：16，其中小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（ ）


A．48cm B． 54cm C． 56cm D． 64cm


3.如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（ ）





（A） （B） （C） （D）


4.如图，∠1＝∠2，则下列各式中，不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）





A、∠D＝∠B B、∠E＝∠C


C、 D、


5.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△DEF：S△BCF =（ ）





A．4：9 B．1：4 C．1：2 D．1：1


答案与解析


1.【答案】C


【解析】对应边成比例，周长之比等于边长比，84÷7×4=48.


2.【答案】A


【解析】面积之比等于周长之比的平方，36÷3×4=48.


【答案】B


【解析】对应边成比例，，a：b=.


4.【答案】D


【解析】 两边成比例，但是夹角不一定成比例.


5.【答案】B


【解析】 面积之比等于边长之比的平方，边长之比为2:1，面积之比为4:1.

















巩固











1.在一矩形ABCD的花坛与花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．如果花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x与y的比值为______能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似．





2.已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．





答案与解析


【答案】3:2


【解析】20:30=（20+2y）：（30+2x），x：y=3:2.


2.【答案】见解析


【解析】证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，


∴CM=MD=AD．


∵BP=3PC，


∴PC=BC=AD=CM．


∴．


∵∠PCM=∠ADM=90°，


∴△MCP∽△ADM．





拔高








1.已知：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=90∘,E是AD的中点,点P是BC边上的动点(不与点B重合)，EP与BD相交于点O.


(1)当P点在BC边上运动时,求证：△BOP∽△DOE；


(2)设(1)中的相似比为k,若AD:BC=2:3.请探究：当k为下列三种情况时,四边形ABPE是什么四边形?


①当k=1时,是___;


②当k=2时,是___;


③当k=3时，是___.并证明k=2时的结论。


2..如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图1)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.











答案与解析


1.【答案】见解析


【解析】 (1)证明：


∵AD∥BC ∴∠OBP=∠ODE.


又∠BOP=∠DOE，


∴△BOP∽△DOE;(有两个角对应相等的两三角形相似)；


(2)①平行四边形； ②直角梯形； ③等腰梯形；


证明：②当k=2时,BPDE=2，


∴BP=2DE=AD


又∵AD:BC=2:3,即BC=32AD，


∴PC=BC−BP=32AD−AD=12AD=ED，


又ED∥PC，


∴四边形PCDE是平行四边形，


∵∠DCB=90∘


∴四边形PCDE是矩形


∴∠EPB=90∘


又∵在直角梯形ABCD中


AD∥BC，AB与DC不平行


∴AE∥BP，AB与EP不平行


四边形ABPE是直角梯形。


2.【答案】见解析


【解析】矩形ABFE是黄金矩形。


∵AD=BC，DE=AB，


∴


∴矩形ABFE是黄金矩形。





五 、课堂小结








本节的重要内容：相似多边形及相似三角形的判定..


相似多边形：对应边成比例，对应角相等.








六 、课后作业


相似三角形：三边成比例；两边成比例且夹角相等；两角相等；A型，X型.








基础








1.给出下列几何图形：


①两个圆；


②两个正方形；


③两个矩形；


④两个正六边形；


⑤两个等腰三角形；


⑥两个直角三角形；


⑦四个角对应相等的两个等腰梯形；


⑧有一个角为40°的菱形．


其中，一定相似的有（ ）个.


A．2 B. 3 C. 4 D. 5


2.下列结论中正确的是（ ）


A.两个正方形一定相似 B.两个菱形一定相似


C.两个等腰梯形一定相似 D.两个直角梯形一定相似


3.如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则的值是（ ）





A． B． C． D．


4.有以下命题:


①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，则有


②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项


③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么AC是AB与BC的比例中项


④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，且AB=2，则AC=－1


其中正确的判断有（ ）


A.1个B.2 个 C.3个D.4个


5..已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )


A.AM∶BM=AB∶AM B.AM=AB


C.BM=AB D.AM≈0.618AB





答案与解析


【答案】C


【解析】①②④⑧这4个图形一定相似.


2.【答案】A


【解析】正多边形一定是相似的.


3.【答案】B


【解析】△AOD∽△EOD。AO：DO=AE：AD=1:2.


4.【答案】C


【解析】②错误，中点的时候各边不成比例.


5.【答案】C


【解析】较短的线段和总边长的比例是.











巩固











1.已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．





2.如图设M为线段AB中点，AE与BD交于点C∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，EM交BD于G.





(1)写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；


(2)连接FG,设α=450,AB=，AF=3，求FG长。


3.如图①，将矩形ABCD沿着对角线AC分割，得到△ABC和△ACD，将△ACD绕点A按逆时针方向旋转α度，使D，A，B三点在同一直线上，得到图②，再把图②中的△ADE沿着AB方向平移s格，使点D与点A重合，得到图③，设EF与AC相交于点G.


请解答以下问题：





(1)上述过程中，α=______度，s=______格；


(2)在图③中,除了△ABC∽△EAF以外，还能找出对相似三角形；


(3)请写一对你在图③中找出的相似三角形，并加以证明。





答案与解析


，3（x+y）=5x，x：y=3:2.


AF=AE=4，BD：CD=6:3=2:1=BE：AE=8:4.


查格数可得


1.【答案】见解析


【解析】证明：分两种情况讨论：


①若△CDM∽△MAN，则


∵边长为a，M是AD的中点，


∴AN=a．


②若△CDM∽△NAM，则．


∵边长为a，M是AD的中点，


∴AN=a，即N点与B重合，不合题意．


所以，能在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似．当AN=a时，N点的位置满足条件．


2.【答案】见解析


【解析】(1)△AME∽△MFE,△BMD∽△MGD,△AMF∽△BGM,


∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D


又∠B=∠A=∠DME=α


∴∠AMF=∠BGM，


∴△AMF∽△BGM,


(2)连接FG，


由(1)知,△AMF∽△BGM，


，BG=


∠α=45∘，


∴△ABC为等腰直角三角形，


∵M是线段AB中点，


∴AB=,AM=BM=，


AC=BC=4，CF=AC−AF=1，


CG=4−=，


∴由勾股定理得FG=.


3.【答案】见解析


【解析】：(1)根据图形分析容易得出：α=90∘，S=3


(2)△AEF∽△GAF；△AEF∽△ABC；△ABC∽△GAF；△GAE∽△ABC；△GAE∽△AGF共5对.


(3)△AEF∽△GAF.


证明：∵在图①中，四边形ABCD是矩形


∴∠ACD=∠CAB


即在图③中，∠AEF=∠GAF


又∵∠AFE=∠GFA


∴△AEF∽△GAF








拔高











1.在Rt△ABC中,∠C=90∘，BC=8cm，AB=10cm，点P从B点出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，若点P、Q从B. C两点同时出发，设运动时间为ts，当t为何值时，△CPQ与△CBA相似?








如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．


（1）求证：；


（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；


（3）当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由．














3.如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE，过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.





(1)求证：△PBE∽△QAB；


(2)你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似给出证明，如不相似请说明理由；


(3)如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上?为什么?


4.如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．


(1)求A、B两点的坐标。


(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似．


(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．








答案与解析


△CBO与△DEO相似，相似比为2：1，OD：OC=1：2=2:4.


1.【答案】见解析


【解析】解答：


在Rt△ABC中,∵∠C=90∘，BC=8cm，AB=10cm，


∴


设经过ts,△CPQ与△CBA相似,则有BP=2tcm,PC=(8−2t)cm，CQ=tcm，


分两种情况：


当△PQC∽△ABC时,有，即,解得t=；


当△QPC∽△ABC时,有,即,解得t=.


综上可知,经过s或s，△CPQ与△CBA相似。


2.【答案】见解析


【解析】（1）在△ADC和△EGC中，


∵∠ADC=∠EGC，∠C=∠C，


∴△ADC∽△EGC．


∴


（2）FD与DG垂直．


证明如下：


在四边形AFEG中，


∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°，


∴四边形AFEG为矩形．


∴AF=EG．


∵


∴


∵△ABC为直角三角形，


∴AD⊥BC．


∴∠FAD=∠C．


∴△AFD∽△CGD．


∴∠ADF=∠CDG．


∵∠CDG+∠ADG=90°，


∴ADF+∠ADG=90°．


即∠FDG=90°．


∴FD⊥DG．


（3）当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形，理由如下：


∵AB=AC，∠BAC=90°，


∴AD=DC．


∵△AFD∽△CGD，


∴


∴FD=DG．


∵∠FDG=90°，


∴△FDG为等腰直角三角形．


3.【答案】见解析


【解析】（1）A(0，3)， B(4，0)（2）= ；= （3）存在。M1（，）， M2（，），M3（）


解：（1）由解得=3，=4。


∵OA＜OB ，∴OA=3 , OB=4。∴A(0，3)， B(4，0)。


(2)由OA=3 , OB=4，根据勾股定理，得AB=5。


由题意得，AP=, AQ=5－2 。分两种情况讨论：


①当∠APQ=∠AOB时，如图1，





△APQ∽△AOB。∴，即 解得 。


∠AQP=∠AOB时，如图2，





△APQ∽△ABO。∴，即 解得 t=。


（3）存在。M1（，）， M2（，），M3（）


4.【答案】见解析


【解析】（1）解出一元二次方程，结合OA＜OB即可求出A、B两点的坐标。


（2）分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB两种情况讨论即可。


（3）当t=2时，如图，





OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q（）。


若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则


①当AQ为对角线时，点M1的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。∴M1（）。


②当PQ为对角线时，点M2的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。∴M2（）。


③当AP为对角线时，点Q、M3关于AP的中点对称。


由A(0，3)，P（0，1）得AP的中点坐标为（0，2）。


由Q（）得M3的横坐标为，纵坐标为。∴M3（）。





七 、教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
判断多边形是否相似


相似多边形的应用


应用AA证明三角形相似


应用SAS、SSS证明三角形相似


黄金分割


相似综合
教学目标
1、掌握相似多边形的性质及应用.


2、掌握相似三角形的判定方法


3、了解黄金分割
教学重点
能熟练掌握相似多边形及相似三角形的判定.
教学难点
能熟练掌握相似多边形及相似三角形的判定.