初中数学北师大版九年级上册3 相似多边形教学设计

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 相似多边形教学设计，共18页。教案主要包含了知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第10讲


讲























相似多边形及相似三角形的判定




















通过对本节课的学习，你能够：


掌握相似多边形的性质及应用


掌握相似三角形的判定方法


了解黄金分割




















概 述











【知识导图】





























教学过程








一、导入








全等的证明我们并不陌生，通过边角关系的应用我们可以使用四种方法来证明两个三角形全等.全等作为相似的一种特殊情况，可以帮助我们更好的理解相似，学习相似.





二、知识讲解








考点1 相似多边形的定义








对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。





考点2 三角形相似判定定理











判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．


判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．


判定定理3：三边:成比例的两个三角形相似．





考点3 黄金分割








一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 SKIPIF 1 < 0 那么称线段AB被点C黄金分割（glden sectin）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中 SKIPIF 1 < 0 ≈0.618.





三 、例题精析








类型一 判断多边形是否相似





例题1








若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 （ ）























A．870 B．600 C．750 D．1200


【总结与反思】





类型二 相似多边形的应用





例题1








在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：


甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．


乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．


对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）





A．两人都对 B．两人都不对


C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对


【总结与反思】








类型三：三角形相似的证明





例题1








如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F.


求证：△PFA∽△ABE；


【解析】











【总结与反思】





例题2











如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．








【解析】


























【总结与反思】








类型四：黄金分割





例题1











若点C是线段AB的分割点（AC＞BC），AB＝16，则AC＝______，BC＝_______；如果D是线段AB的另一个黄金分割点，则CD＝_______。











【总结与反思】





类型五：相似综合





例题1








如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．


（1）当t= s时，四边形EBFB′为正方形；


（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；


（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．





【解析】





















































【总结与反思】








四 、课堂运用








基础








1.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4cm，如果它们的周长和为84cm，那么较大多边形的周长为（ ）


A．54cm B．36 cm C．48 cm D．42 cm


2.两个相似多边形的面积比是9：16，其中小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（ ）


A．48cm B． 54cm C． 56cm D． 64cm


3.如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（ ）





（A） （B） （C） （D）


4.如图，∠1＝∠2，则下列各式中，不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）





A、∠D＝∠B B、∠E＝∠C


C、 D、


5.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△DEF：S△BCF =（ ）





A．4：9 B．1：4 C．1：2 D．1：1








巩固











1.在一矩形ABCD的花坛与花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．如果花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x与y的比值为______能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似．





2.已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．


























拔高








1.已知：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=90∘,E是AD的中点,点P是BC边上的动点(不与点B重合)，EP与BD相交于点O.


(1)当P点在BC边上运动时,求证：△BOP∽△DOE；


(2)设(1)中的相似比为k,若AD:BC=2:3.请探究：当k为下列三种情况时,四边形ABPE是什么四边形?


①当k=1时,是___;


②当k=2时,是___;


③当k=3时，是___.并证明k=2时的结论。


2..如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图1)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.
























































五 、课堂小结








本节的重要内容：相似多边形及相似三角形的判定..


相似多边形：对应边成比例，对应角相等.








六 、课后作业


相似三角形：三边成比例；两边成比例且夹角相等；两角相等；A型，X型.








基础








1.给出下列几何图形：


①两个圆；


②两个正方形；


③两个矩形；


④两个正六边形；


⑤两个等腰三角形；


⑥两个直角三角形；


⑦四个角对应相等的两个等腰梯形；


⑧有一个角为40°的菱形．


其中，一定相似的有（ ）个.


A．2 B. 3 C. 4 D. 5


2.下列结论中正确的是（ ）


A.两个正方形一定相似 B.两个菱形一定相似


C.两个等腰梯形一定相似 D.两个直角梯形一定相似


3.如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则的值是（ ）





A． B． C． D．


4.有以下命题:


①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，则有


②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项


③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么AC是AB与BC的比例中项


④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，且AB=2，则AC=－1


其中正确的判断有（ ）


A.1个B.2 个 C.3个D.4个


5..已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )


A.AM∶BM=AB∶AM B.AM=AB


C.BM=AB D.AM≈0.618AB























巩固











1.已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．






































2.如图设M为线段AB中点，AE与BD交于点C∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，EM交BD于G.





(1)写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；


(2)连接FG,设α=450,AB=，AF=3，求FG长。














3.如图①，将矩形ABCD沿着对角线AC分割，得到△ABC和△ACD，将△ACD绕点A按逆时针方向旋转α度，使D，A，B三点在同一直线上，得到图②，再把图②中的△ADE沿着AB方向平移s格，使点D与点A重合，得到图③，设EF与AC相交于点G.


请解答以下问题：





(1)上述过程中，α=______度，s=______格；


(2)在图③中,除了△ABC∽△EAF以外，还能找出对相似三角形；


(3)请写一对你在图③中找出的相似三角形，并加以证明。


















































拔高








1.在Rt△ABC中,∠C=90∘，BC=8cm，AB=10cm，点P从B点出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，若点P、Q从B. C两点同时出发，设运动时间为ts，当t为何值时，△CPQ与△CBA相似?




















2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．


（1）求证：EGAD=CGCD；


（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；


（3）当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由．











3.如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE，过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.





(1)求证：△PBE∽△QAB；


(2)你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似给出证明，如不相似请说明理由；


(3)如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上?为什么?























4.如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．


(1)求A、B两点的坐标。


(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似．


(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．








适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
判断多边形是否相似


相似多边形的应用


应用AA证明三角形相似


应用SAS、SSS证明三角形相似


黄金分割


相似综合
教学目标
1、掌握相似多边形的性质及应用.


2、掌握相似三角形的判定方法


3、了解黄金分割
教学重点
能熟练掌握相似多边形及相似三角形的判定.
教学难点
能熟练掌握相似多边形及相似三角形的判定.