初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试复习练习题

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《整式的乘除与因式分解》





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若(x﹣2)(x2+ax+b)的积中不含x的二次项和一次项，


求(2a+b+1)(2a﹣b﹣1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b的值.


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 （1）如图是用4个全等的长方形拼成的一个“回形”正方形，图中阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为 ．


（2）若(4x﹣y)2=9，(4x+y)2=169，求xy的值．




















LISTNUM OutlineDefault \l 3 比较下列四个算式结果的大小(在横线上填“>”“<”或“=”).


(1)42+52_______2×4×5;


(2)(-1)2+22_______2×(-1)×2;


(3)(-3)2+ SKIPIF 1 < 0 2______2×(-3)× SKIPIF 1 < 0 ;


(4)32+32_______2×3×3;


(5)请通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论.
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 观察下列各式的规律：


（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2


（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3


（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4


…


可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）= ．











LISTNUM OutlineDefault \l 3 在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减 请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题


[2016年1月份的日历]





(1)计算：(12+92)﹣(22+82)= ，﹣= ，


自己任选一个有4个数的方框进行计算


(2)通过计算你发现什么规律，并说明理由.




















LISTNUM OutlineDefault \l 3 阅读:已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.


分析:考虑到x,y的可能值较多,不能逐一代入求解,故考虑整体思想,将x2y=3整体代入.


解:2xy(x5y2-3x3y-4x)


=2x6y3-6x4y2-8x2y


=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y


=2×33-6×32-8×3


=-24.


你能用上述方法解决以下问题吗?试一试!


已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值.


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．


（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？


（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？


（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).


(1)图1中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ，对照两个图形的面积可以验证 公式(填公式名称)请写出这个乘法公式 .


(2)应用(1)中的公式，完成下列各题：


①已知x2﹣4y2=15，x+2y=3，求x﹣2y的值；


②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1.















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b求N，这是乘方运算：已知b和N求a，这是开方运算，现在我们研究第三种情况：已知a和N求b，我们称这种运算为对数运算.


定义：如果23=8，所以lg28=3：因为32=9，所以lg39=2，


根据以上信息回答下列问题：


(1)计算：lg381= ，lg33= ，lg636= ，lgx16=4，则x= .


(2)设ax=M，ay=N(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)，猜想lgaMN和lga的结果，并证明.


(3)计算：①lg2(2×4×8×16×32×64)；②lg3；③lg93+lg927.
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．


解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0


∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．


根据你的观察，探究下面的问题：


（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；


（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；


（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．





参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 解：(x﹣2)(x2+ax+b)=x3+ax2+bx﹣2x2﹣2ax﹣2b=x3+(a﹣2)x2+(b﹣2a)x﹣2b，


∵(x﹣2)(x2+ax+b)的积中不含x的二次项和一次项，


∴a﹣2=0且b﹣2a=0，


解得：a=2、b=4，


(2a+b+1)(2a﹣b﹣1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b


=(2a)2﹣(b+1)2﹣(a2﹣4b2)+2b


=4a2﹣b2﹣2b﹣1﹣a2+4b2+2b


=3a2+3b2﹣1，


当a=2、b=4时，


原式=3×22+3×42﹣1


=12+48﹣1


=59.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）（b+a）2﹣（b﹣a）2=4ab


（2）（4x+y）2﹣（4x﹣y）2=16xy=160，∴xy=10．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)>.(2)>.(3)>.(4)=.


(5)结论：对于任意有理数a，b，都有a2+b2≥2ab.


当a≠b时，a2+b2>2ab；


当a=b时，a2+b2=2ab.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；


（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；


（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；


…


可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017，


故答案为：a2017﹣b2017





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)(12+92)﹣(22+82)=1+81﹣4﹣64=14﹣=100+324﹣121﹣289=14，


(32+112)﹣(42+102)=9+121﹣16﹣100=14，


故答案为：14；


(2)计算结果等于14，理由是：


设最小的数字为n，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，


所以[n2+(n+8)2]﹣[(n+1)2+(n+7)2]


=n2+n2+16n+64﹣n2﹣2n﹣1﹣n2﹣14n﹣49


=14.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 原式=-4a3b3+6a2b2-8ab=-4(ab)3+6(ab)2-8ab,


当ab=3时,原式=-4×33+6×32-8×3=-108+54-24=-78.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


（1）找规律： SKIPIF 1 < 0 ，


SKIPIF 1 < 0 ，


SKIPIF 1 < 0 ，


SKIPIF 1 < 0 ，


……


SKIPIF 1 < 0 ，


所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是神秘数．


（2） SKIPIF 1 < 0 ，


因此由这两个连续偶数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 构造的神秘数是 SKIPIF 1 < 0 的倍数．


（3）由（2）知，神秘数可以表示成 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 是奇数，


因此神秘数是 SKIPIF 1 < 0 的倍数，但一定不是 SKIPIF 1 < 0 的倍数．


另一方面，设两个连续奇数为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，


即两个连续奇数的平方差是 SKIPIF 1 < 0 的倍数． 因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)图1中阴影部分面积为a2﹣b2，图2中阴影部分面积为(a+b)(a﹣b)，


对照两个图形的面积可以验证平方差公式：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).


故答案为：a2﹣b2，(a+b)(a﹣b)，平方差，a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).


(2)①∵x2﹣4y2=(x+2y)(x﹣2y)，∴15=3(x﹣2y)，∴x﹣2y=5；


②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1


=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1


=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1


=(24﹣1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1


=(28﹣1)(28+1)……(264+1)+1


=(264﹣1)(264+1)+1


=2128﹣1+1


=2128.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)lg381=lg334=4，lg33=1，lg636=lg662=2，lgx16=4，则x=2；答案为：4；1；2；2；


(2)lgaMN=lgaM+lgaN；lga=lgaM﹣lgaN；


证明：lgaMN=lgaax•ay=lgaax+y=x+y；lgaM+lgaN=x+y，则lgaMN=lgaM+lgaN；


lga=lga=lgaax﹣y=x﹣y；lgaM﹣lgaN=x﹣y，则lga=lgaM﹣lgaN；


(3)①原式=lg22+lg24+lg28+lg216+lg232+lg264=1+2+3+4+5+6=21；


②原式=lg3243﹣lg381=5﹣4=1；


③原式=lg93×27=lg981=2.








、综合题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，


∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，解得b=﹣1，a=3，则a﹣b=4；


（2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，∴2a2﹣4a++2+b2﹣6b+9=0，


∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则a﹣1=0，b﹣3=0，解得，a=1，b=3，


由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3=7；


（2）∵x+y=2，∴y=2﹣x，则x（2﹣x）﹣z2﹣4z=5，


∴x2﹣2x+1+z2+4z+4=0，∴（x﹣1）2+（z+2）2=0，


则x﹣1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=﹣2，∴xyz=2．