人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质精品教案

这是一份人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质精品教案，共17页。教案主要包含了作已知角的平分线，角的平分线的性质，证明几何命题的一般步骤，角的平分线的判定等内容，欢迎下载使用。

12.3角的平分线的性质





一、作已知角的平分线


用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．


作法：1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．


2．分别以点M，N为圆心，大于__________的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．


3．画射线OC．射线OC即为所求．


如图所示：





★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．


二、角的平分线的性质


内容：角的平分线上的点到角的两边的距离__________．


【提示】1．这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；


2．该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；


3．使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；


4．运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．


三、证明几何命题的一般步骤


一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：


1．明确命题中的已知和求证；


2．根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；


3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．


四、角的平分线的判定


1．内容：角的内部到角的两边的距离__________的点在角的平分线上．


2．角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．








一、2．MN二、相等三、相等








1．角的平分线的性质


遇到已知一个点在某个角的平分线上时，一般过该点向角的两边作垂线，运用角的平分线上的点到角两边的距离相等寻找线段的相等关系，有时可结合全等三角形建立未知线段与已知线段的关系，从而求出待求线段．


例 1


如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=8，DE=3，则△BCE的面积等于





A．11B．8


C．12D．3


【答案】C


【解析】如图，过E作EF⊥BC于F，





∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，DE=3，


∴EF=DE=3，


∴△BCE的面积S=×BC×EF=×8×3=12，


故选C．


【名师点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能求出BC边上的高是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．


例 2


如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论中错误的是





A．DE=DFB．AD上任意一点到E，F两点的距离相等


C．AE=AFD．BD=DC


【答案】D


【解析】A．正确，角平分线上的点到角的两边的距离相等；


B．正确，角平分线上的点到角的两边的距离相等；


C．正确，∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，DE=DF，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF；


D错误．故选D．


2．角的平分线的判定


1．当题目中出现角内的一点到角两边的距离相等时，可以考虑应用角的平分线的判定方法证明两个角相等．


2．角的平分线的性质和判定恰好是条件和结论互换，即点在角平分线上的一点到角两边的距离相等．


例 3


如图所示，M，N分别是OA，OB边上的点，点P在射线OC上，则下列条件中不能说明OC平分∠AOB的是





A．PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PNB．PM=PN，OM=ON


C．PM⊥OA，PN⊥OB，OM=OND．PM=PN，∠PMO=∠PNO


【答案】D


【解析】A中，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知OC平分∠AOB，选项A正确；


B中，PM=PN，OM=ON，又因为OP=OP，得△OPM≌△OPN，所以∠AOC=∠BOC，所以OC平分


∠AOB，选项B正确；


C中，PM⊥OA，PN⊥OB，在Rt△OPM与Rt△OPN中，OM=ON，OP=OP，所以Rt△OPM≌Rt△OPN，所以∠AOC=∠BOC，所以OC平分∠AOB，选项C正确；


D中，在△OPM与△OPN中，已知PM=PN，OP=OP，∠PMO=∠PNO，无法判断△OPM≌△OPN，故无法判断OC平分∠AOB，选项D错误．故选D．


【名师点睛】判断角平分线的方法可以用角平分线的判定定理，也可以通过证三角形全等得出．


3．角的平分线的性质的应用


证明角平分线的方法：只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想．


例 4


如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则该集贸市场应建在





A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边中线的交点处


C．AC、BC两边垂直平分线的交点处D．、两内角平分线的交点处


【答案】D


【解析】∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，


∴该集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选D．


【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．


例 5


如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=AD=


5.2 km，CB=CD=5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则C村到公路l2的距离是





A．3 kmB．4 km


C．5 kmD．5.2 km


【答案】B


【解析】因为AB=AD，BC=CD，AC=AC，所以△ABC≌△ADC，所以∠BAC=∠DAC，即AC为∠BAD的角平分线，所以C到AB的距离和C到AD的距离相等，均为4 km．故选B．








1．三角形中到三边距离相等的点是


A．三条边的中垂线交点B．三条高交点


C．三条中线交点D．三条角平分线的交点


2．作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于点C，D，然后分别以点C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为


A．大于CDB．等于CD


C．小于CDD．以上答案都不对


3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC=15，DE=3，AB=6，则AC的长是





A．4B．5C．6D．7


4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是





A．mnB．mnC．2mnD．mn


5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=3∶2，点D到AB的距离为6，则BC等于





A．10B．20C．15D．25


6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，AE=AF，BE与CF交于点D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是





A．①B．②


C．①②D．①②③


7．直线l1、l2、l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有__________处．





8．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________．





9．通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为__________．





10．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．


























11．如图，已知∠AOB，按如下步骤作图：


（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E；


（2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；


（3）画射线OC．


根据上述作图步骤，试说明为什么射线OC平分∠AOB？


























12．如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是





A．OA=OCB．点O到AB、CD的距离相等


C．∠BDA=∠BDCD．点O到CB、CD的距离相等


13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为





A．AD>DEB．AD=DE


C．AD

14．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于





A．1∶1∶1B．1∶2∶3


C．2∶3∶4D．3∶4∶5


15．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45 cm2，AB=


16 cm，AC=14 cm，则DE=__________．





16．如图，已知射线OC上的任意一点到∠AOB的两边的距离都相等，点D、E、F分别为边OC、OA、OB上，如果要想证得OE=OF，只需要添加以下四个条件中的某一个即可，请写出所有可能的条件的序号__________．


①∠ODE=∠ODF；②∠OED=∠OFD；③ED=FD；④EF⊥OC．





17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：PE=PF．














18．如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD=CD．


（1）求证：D在∠BAC的平分线上；


（2）若将条件：BD=CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗？试说明理由．



































19．（2019•湖州）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是





A．24B．30


C．36D．42


20．（2019•潍坊）如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是





A．B．


C．D．


21．（2019•滨州）如图，在和中，


，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为





A．4B．3


C．2D．1





1．【答案】D


【解析】由角平分线的性质不难得出三角形中到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．故选D．


2．【答案】A


【解析】根据三角形两边之和大于第三边的性质可知，画的时候，为了让两条弧有交点，必须是以大于CD的长为半径画弧．故选A．


3．【答案】A


【解析】∵DE=3，AB=6，∴△ABD的面积为×3×6=9，


∵S△ABC=15，∴△ADC的面积=15-9=6，


∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴AC边上的高DE=3，


∴AC=6×2÷3=4，故选A．


4．【答案】B


【解析】如图，作DE⊥AB交AB于点E，





∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，∴CD=DE=n，


∴S△ABD=AB·DE=mn．故选B．


5．【答案】C


【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点D到AB的距离为6，∴CD=6．


∵BD∶DC=3∶2，∴BD=CD=×6=9，∴BC=6+9=15．故选C．


6．【答案】D


【解析】∵BE⊥AC，CF⊥AB，


∴∠BEA=∠CFA=90°，


在△ABE与△ACF中，，


∴△ABE≌△ACF（AAS），①正确；


∴∠B=∠C，AB=AC（全等三角形对应角和对应边相等），


∴BF=CE，


在△BDF与△CDE中，，


∴△BDF≌△CDE（AAS），②正确；


∴DF=DE（全等三角形对应边相等），


∴点D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上），③正确；


故①②③都正确．故选D．


7．【答案】4


【解析】∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，


∴△ABC内角平分线的交点满足条件．


如图，





点P是△ABC两条外角平分线的交点，


过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，


∴PE=PF，PF=PD，


∴PE=PF=PD，


∴点P到△ABC的三边的距离相等，


∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个，


综上，到三条公路的距离相等的点有4个，


∴可供选择的地址有4个．故答案为：4．


8．【答案】150°


【解析】∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，


∴AD是∠BAC的平分线，


∵∠BAC=40°，


∴∠CAD=∠BAC=20°，


∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．


故答案为：150°．


9．【答案】5


【解析】∵P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，∴点P到AC、BC的距离也为1．∴S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=AB+AC+BC=（AB+AC+BC）==．故答案为：5．


10．【解析】∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，


在△ABD和△CBD中，，


∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB．


∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，


∴PM=PN．


11．【解析】如图，连接，





可证≌，


∴，


∴射线OC平分∠AOB．


12．【答案】D


【解析】∵在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC，


∴∠DCA=∠BCA，∴点O到CB、CD的距离相等．故选D．


13．【答案】D


【解析】∵BD平分∠ABC，∴点D到AB、BC的距离相等，


∵AD不是点D到AB的距离，点E是BC上一点，∴AD、DE的大小不确定．故选D．


14．【答案】C


【解析】三角形三条角平分线的交点为三角形的内心，即本题中O点为△ABC的内心，


则O点到△ABC三边的距离相等，设距离为r，


有S△ABO=×AB×r，S△BCO=×BC×r，S△CAO=×CA×r，


所以S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=AB∶BC∶CA=20∶30∶40=2∶3∶4．故选C．


15．【答案】3 cm


【解析】∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF．


∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=ABDE+ACDF=（AB+AC）·DE，


∴DE（AB+AC）=45，即：，解得DE=3（cm）．故答案为：3 cm．


16．【答案】①②④


【解析】如图，





∵射线OC上的任意一点到∠AOB的两边的距离都相等，∴OC平分∠AOB．


①若①∠ODE=∠ODF，根据ASA定理可求出△ODE≌△ODF，由三角形全等的性质可知OE=OF．正确；


②若∠OED=∠OFD，根据AAS定理可得△ODE≌△ODF，由三角形全等的性质可知OE=OF．正确；


③若ED=FD条件不能得出．错误；


④若EF⊥OC，根据ASA定理可求出△OGE≌△OGF，由三角形全等的性质可知OE=OF．正确．故答案为：①②④．


17．【解析】在三角形ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC于D，


∴∠BAD=∠CAD，即∠EAP=∠FAP，


∵PE⊥AB，PF⊥AC，


∴PE=PF．


18．【解析】（1）∵BF⊥AC，CE⊥AB，


∴∠BED=∠CFD=90°，


在Rt△BED和Rt△CFD中，，


∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS），


∴DE=DF，


∴D在∠BAC的平分线上．


（2）成立．理由如下：


∵点D在∠BAC的平分线上，且BF⊥AC，CE⊥AB，


∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，


在Rt△BED和Rt△CFD中，，


∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA），


∴BD=DC．


19．【答案】B


【解析】如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，





∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，


∴DE=CD=4，


∴四边形的面积，


故选B．


20．【答案】C


【解析】由作图步骤可得：是的角平分线，


∴∠COE=∠DOE，


∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，


∴△COE≌△DOE，


∴∠CEO=∠DEO，


∵∠COE=∠DOE，OC=OD，


∴CM=DM，OM⊥CD，


∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE=，


但不能得出，


∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，


故选C．


21．【答案】B


【解析】∵，


∴，


即，


在和中，，


∴，


∴，①正确；


∴，


由三角形的外角性质得：，


∴°，②正确；


作于，于，如图所示：





则°，


在和中，，


∴，


∴，


∴平分，④正确，


正确的个数有3个，故选B．帮—重点
尺规作图作角的平分线，角的平分线的性质和判定
帮—难点
证明几何命题的一般步骤
帮—易错
角的平分线的判定