初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质教案设计

这是一份初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质教案设计，共4页。




总课题
全等三角形
总课时数
第 16课时
课 题
角平分线的性质（2）
主 备 人
课型
新授
时 间
教


学


目


标
1．会叙述角的平分线的性质，即“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．


2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．



教学


重点



角平分线的性质及其应用．



教学


难点



灵活应用两个性质解决问题．
教学


过程
教 学 内 容



一．创设情境，引入新课


师：请同学们拿出一张纸，自己动手，撕下一个角，把撕下的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？


生：我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．


师：你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．


二．导入新课


角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．


操作：


1．折出如图所示的折痕PD、PE．





2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．


画一画：


按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？


拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．





[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．


[生甲]噢，对，我知道了．


[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．


问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？


[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．


问题2：（出示投影片）


能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：





学生通过讨论作出下列概括：


已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．


由已知事项推出的事项：PD=PE．


于是我们得角的平分线的性质：


在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．


[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）


问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：





[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．


由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．


[师]这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？


[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．


[师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”．


下面请同学们思考一个问题．


思考：


如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？





1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？


2．比例尺为1：20000是什么意思？


（学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导）


讨论结果展示：


1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．


2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．作图如下：





第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．


第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．


总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．


[例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．


求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．





[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．


证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．


因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．


所以PD=PE．


同理PE=PF．


所以PD=PE=PF．


即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．


三．随堂练习


1．课本P50练习．


2．课本P51习题12．3第3题．


在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．


四．课时小结


今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，可以看出，随着研究的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．


五．课后作业：


课本P51页习题12．3第4、5、6题．






























课


后


反


思