人教版八年级上册15.3 分式方程公开课教学设计

这是一份人教版八年级上册15.3 分式方程公开课教学设计，共16页。教案主要包含了分式方程的定义，分式方程的解法，分式方程的应用等内容，欢迎下载使用。

15.3 分式方程





一、分式方程的定义


分母中含未知数的方程叫做__________．


【归纳】1．分式方程的重要特征：（1）含有分母；（2）分母中含有未知数；（3）是方程．


2．方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．


3．分母中含有字母的方程未必是分式方程．


二、分式方程的解法


1．解分式方程的基本思想：


把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．


2．解分式方程的一般方法和步骤：


（1）去分母：方程两边同乘__________，把分式方程化为整式方程；


（2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；


（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．


简称为一化，二解，三检验．


3．解分式方程产生不适合原方程解的原因：


在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．


三、分式方程的应用


分式方程的应用基本思路和方法：


一审：审清题意，弄清已知量和未知量；


二找：找出等量关系；


三设：设未知数；


四列：列出分式方程；


五解：解这个方程；


六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；


七答：写出答案．


在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．








一、分式方程 二、最简公分母








1．分式方程的解法


检验的方法


（1）直接检验法：是将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确．


（2）公分母检验法：是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解．公分母检验法比较简单，因此被广泛运用．


例 1


解方程时，去分母得


A．B．


C．D．


【答案】C


【解析】观察可得最简公分母是（x-1）（x-3），方程两边都乘最简公分母，即可把分式方程转换为整式方程．方程两边同乘（x-1）（x-3）得（x-1）（x-3）+2（x-3）=（x-5）（x-1），故选C．


例 2


方程的解是


A．2B．-2C．4D．-4


【答案】D


【解析】去分母得：2（x+2）=x，


去括号，移项合并得：x=–4，


经检验x=–4是分式方程的解．


原方程的解是x=–4，


故选D．


2．分式方程的应用


（1）在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系列方程．


（2）在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，可以间接地设末知数；有时设一个未知数不容易表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数．


例 3


为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是


A．B．


C．D．


【答案】A


【解析】设甲型机器人每台万元，根据题意，可得，


故选A．


例 4


甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？


【解析】设特快列车的平均速度为x km/h，则动车的速度为（x+54）km/h，


由题意，得：，


解得：x=90，


经检验得：x=90是这个分式方程的解．


x+54=144．


答：特快列车的平均速度为90 km/h，动车的速度为144 km/h．


3．含有字母系数的分式方程的解法


解含有字母系数的分式方程的方法：


解含有字母系数的分式方程和解含有实数系数的分式方程一样，均是先通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后解这个整式方程，最后检验．


但要注意：（1）去分母时方程两边乘最简公分母，需验证最简公分母是否等于0；


（2）在将系数化为1时，要注意分类讨论系数是不是0．


例 5


若关于x的方程有正数解，则


A．m>0且m≠3B．m<6且m≠3C．m<0D．m>6


【答案】B


【解析】将方程的两边同时乘以（x-3）可得：x-2（x-3）=m，解得：x=6-m，根据解为正数可得：且，则：且，解得：且．








1．下面是分式方程的是


A．B．


C．D．


2．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是


A．x+2=3B．x-2=3


C．x-2=3（2x-1）D．x+2=3（2x-1）


3．分式方程的解为


A．B．C．D．


4．若x=4是分式方程的根，则a的值为


A．6B．-6C．4D．-4


5．小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为


A．B．C．D．


6．分式方程去分母时，两边都乘以__________．


7．解分式方程的解是__________．


8．关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为__________．


9．解方程：


（1）；（2）．














10．列方程解应用题：


中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．

















11．已知关于x的分式方程．


（1）若方程的增根为x=2，求a的值；


（2）若方程有增根，求a的值；


（3）若方程无解，求a的值．




















12．若关于x的方程无解，则m的值是


A．-2B．2C．1D．-4


13．关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是


A．B．


C．且D．且


14．当x=__________时，的值相等．


15．规定，若，则x为__________．


16．已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求m2-2m的值．




















17．某校为美化校园，计划对面积为1800 m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．


（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？


（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？























18．（2019•百色）方程的解是


A．无解B．C．D．


19．（2019•株洲）关于的分式方程的解为


A．B．C．2D．3


20．（2019•淄博）解分式方程时，去分母变形正确的是


A．B．


C．D．


21．（2019•荆州）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为


A．B．且


C．D．且


22．（2019•伊春）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是


A．B．C．D．


23．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为


A．B．


C．D．


24．（2019•辽阳）某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是


A．B．


C．D．


25．（2019•济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是


A．B．


C．D．


26．（2019•黄石）分式方程：的解为__________．


27．（2019•襄阳）定义：，则方程的解为__________．


28．（2019•烟台）若关于的分式方程有增根，则的值为__________．


29．（2019•绥化）甲、乙两辆汽车同时从地出发，开往相距的地，甲、乙两车的速度之比是，结果乙车比甲车早分钟到达地，则甲车的速度为__________km/h．


30．（2019•玉林）解方程：．








31．（2019•常州）甲、乙两人每小时共做个零件，甲做个零件所用的时间与乙做个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？














32．（2019•柳州）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．


（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？


（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？














33．（2019•遂宁）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．


（1）第一批仙桃每件进价是多少元？


（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润=售价﹣进价）

















34．（2019•郴州）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．


（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？


（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？























1．【答案】D


【解析】A、不是方程，故本选项错误；


B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；


C、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；


D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项正确．故选D．


2．【答案】C


【解析】方程两边都乘以（2x-1），得x-2=3（2x-1），故选C．


3．【答案】A


【解析】根据分式方程的解法去分母得x（x–5）+2（x–1）=x（x–1），


化简得2x=–2，解得x=–1，故选A．


4．【答案】A


【解析】由题意得：=，解得：a=6，故选A．


5．【答案】A


【解析】找到等量关系为两人买的笔记本数量，，故选A．


6．【答案】（x+2）（x−2）


【解析】方程两边都乘最简公分母（x+2）（x−2）．故答案为：（x+2）（x−2）．


7．【答案】x=-1


【解析】两边同时乘最简公分母（x+2）（x+4）整理成整式方程为：x+4=3x+6，解得x=-1，经检验x=-1是方程的解，故答案为：x=-1．


8．【答案】且


【解析】，


方程两边同乘以，得，


去括号，得，


移项及合并同类项，得，


∵关于的分式方程的解为非负数，，


∴，解得且，


故答案为：且．


9．【解析】（1）方程两边乘（x+2）（x-2），得3x（x-2）+2（x+2）=3（x+2）（x-2）．


化简得-4x=-16，


解得x=4．


经检验，x=4是原方程的解．


所以原方程的解是x=4．


（2）方程两边都乘以（x+1）（x-1），去分母，得4-（x+1）（x+2）=-（x+1）（x-1）．


解得x=．


经检验，x=是原方程的解．


所以原方程的解是x=．


10．【解析】设每套《三国演义》的价格为元，则每套《西游记》的价格为元，


由题意，得，


解得，


经检验，是原方程的解，且符合题意，


所以，原分式方程的解为，


答：每套《三国演义》的价格为80元．


11．【解析】（1）原方程去分母并整理，得（3-a）x=10．


因为原方程的增根为x=2，所以（3-a）×2=10，


解得a=-2．


（2）因为原分式方程有增根，所以x（x-2）=0，


解得x=0或x=2．


因为x=0不可能是整式方程（3-a）x=10的解，


所以原分式方程的增根为x=2，


所以（3-a）×2=10，


解得a=-2．


（3）①当3-a=0，即a=3时，整式方程（3-a）x=10无解，


则原分式方程也无解．


②当3-a≠0时，要使原方程无解，则由（2）知，此时a=-2，


综上所述，a的值为3或-2．


12．【答案】A


【解析】∵分式方程无解，∴．把原方程去分母得：，


把代入方程，得．故选A．


13．【答案】C


【解析】分式方程去分母得：，


解得：，


根据题意得：，且，


解得：，且．故选C．


14．【答案】-14


【解析】，解得：，


经检验：符合题意．故答案为：．


15．【答案】-1


【解析】∵，，


∴，


解此分式方程得；，经检验：是这个方程的根，故的值是．故答案为：-1．


16．【解析】解分式方程，得x=3．


经检验，x=3是该方程的解．


将x=3代入=，得，


解得m=，


∴m2-2m=（）2-2×=-．


17．【解析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：


，


解得：x=50，


经检验x=50是原方程的解，


则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），


答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m2、50 m2．


（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：


0.4y+×0.25≤8，


解得：y≥10，


答：至少应安排甲队工作10天．


18．【答案】C


【解析】方程两边同时乘以（x+1），得1=x+1，解得：，


检验：当时，x+1≠0，


∴方程的根是，故选C．


19．【答案】B


【解析】去分母得：，解得：，


经检验是分式方程的解，故选B．


20．【答案】D


【解析】去分母得：，故选D．


21．【答案】B


【解析】∵，∴，∴，


∵该分式方程有解，∴，∴，


∵，∴，∴，


∴且，故选B．


22．【答案】A


【解析】，


方程两边同乘以，得，


移项及合并同类项，得，


∵分式方程的解是非正数，，


∴，解得，故选A．


23．【答案】B


【解析】由题意可得，，故选B．


24．【答案】D


【解析】设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里，


依题意得：．故选D．


25．【答案】A


【解析】设4G网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是：．故选A．


26．【答案】


【解析】去分母得：4–x=x2–4x，即x2–3x–4=0，解得：x=4或x=–1，


经检验x=4是增根，分式方程的解为x=–1，故答案为：x=–1．


27．【答案】


【解析】∵，∴，∴，∴，


经检验：是原方程的解，故答案为：．


28．【答案】3


【解析】去分母得3x–（x–2）=m+3，


当增根为x=2时，6=m+3，


∴m=3．故答案为：3．


29．【答案】80


【解析】设甲车的速度为x km/h，则乙车的速度为 km/h，


依题意，得，解得，


经检验，是原方程的解，且符合题意，故答案为：80．


30．【解析】，


，


，


，


经检验是方程的增根，


∴原方程无解．


31．【解析】设甲每小时做个零件，则乙每小时做（）个零件，


由题意得：，解得，


经检验：是原分式方程的解，


则（个）．


答：甲每小时做个零件，则乙每小时做个零件．


32．【解析】（1）设小本作业本每本元，则大本作业本每本（x+0.3）元，


依题意，得：，


解得：，


经检验，是原方程的解，且符合题意，


∴．


答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．


（2）设大本作业本购买本，则小本作业本购买本，


依题意，得：，


解得：．


∵为正整数，


∴的最大值为8．


答：大本作业本最多能购买8本．


33．【解析】（1）设第一批仙桃每件进价x元，则，


解得．


经检验，是原方程的根．


答：第一批仙桃每件进价为180元．


（2）设剩余的仙桃每件售价打y折．


则：，


解得．


答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．


34．【解析】（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工个零件，


依题意，得：，


解得：x=6，


经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，


∴．


答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件．


（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排台，


依题意，得：，


解得：，


∵为正整数，


∴，


答：共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台．帮—重点
分式方程的解法，分式方程的应用
帮—难点
分式方程的应用
帮—易错
解分式方程时忘记检验方程的根