人教版八年级上册15.1 分式综合与测试公开课教学设计

这是一份人教版八年级上册15.1 分式综合与测试公开课教学设计，共14页。教案主要包含了分式的概念，分式有意义，分式的值为0的条件，分式的基本性质，约分，通分等内容，欢迎下载使用。

15.1 分式





一、分式的概念


1．分式的定义：


一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做__________．


2．一个式子是分式需满足的三个条件：


（1）是形如的式子；


（2）A，B为__________式；


（3）分母B中含有字母．三个条件缺一不可．


【注意】1．分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．


2．分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式．


二、分式有意义、无意义的条件


1．分式有意义的条件：分式的分母不等于__________．


2．分式无意义的条件：分式的分母等于0．


【注意】1．分式有无意义与分母有关，与分子无关．


2．分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了．


三、分式的值为0的条件


分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且__________不等于0时，分式的值为0．


分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可．


【拓展】对于分式，


1．若的值为正数，则或；


2．若的值为负数，则或；


3．若的值为1，则A=B且B≠0；


4．若的值为-1，则A+B=0且B≠0．


四、分式的基本性质


1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值__________．


用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式．


分式的基本性质是分式变形的理论依据．


【注意】（1）基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件．


（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式．


（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C．


2．分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变．


用式子表示为：


或


五、约分、最简分式


1．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的__________．


2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做__________．


【归纳】1．约分的依据是分式的基本性质：，其中A，B，C都是整式．


2．约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式．


3．约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分．


4．约分的结果是整式或最简分式．


5．分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．


六、通分


通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的__________．


约分与通分的联系与区别：


1．约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值．


2．约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言．


3．约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式．


最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做__________．


【注意】1．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．


2．分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变．


确定最简公分母的方法：


1．当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；


2．当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定．


通分的步骤：1．求各分式的最简公分母；


2．用这个最简公分母除以分式的分母；


3．用所得的商去乘原各分式的分子、分母．








一、分母，整 二、0 三、分母 四、不变 五、约分，最简分式 六、通分，最简公分母








1．分式的概念


判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，就是分式．


例 1


在，，，中，属于分式的个数为


A．0个B．1个C．2个D．3个


【答案】C


【解析】在，，，中，属于分式的是，，共2个，故选C．


2．分式有意义、无意义的条件


要确定分式是否有意义，就要分析、讨论分母中字母的取值，看分母的值是否为0．


例 2


若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是


A．x>-2B．x<-2C．x=-2D．x≠-2


【答案】D


【解析】∵代数式在实数范围内有意义，∴x+2≠0，解得：x≠-2，故选D．


3．分式的值为0的条件


求解分式的值为0的条件的题目时，首先求出使分式的分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否是分母的值为0，当它使分母的值不为0时，就是所要求的字母的值，使分母为0的值必须舍去．


例 3


若分式的值为0，则x的值为


A．1B．


C．D．0


【答案】A


【解析】由题意得：且，


解得，故选A．


4．分式的基本性质


运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变换，它不改变分式值的大小，只改变其形式．


例4


不改变分式的值，下列分式变形正确的是


A．B．


C．D．


【答案】C


【解析】A．，分子分母没有扩大相同倍数；


B．，必须每一项同时乘除相同因式；


C．，正确；


D．=-，缺少负号，


故选C．


例 5


将代数式的分子，分母都扩大5倍，则代数式的值


A．扩大5倍B．缩小5倍C．不变D．无法确定


【答案】C


【解析】如果把分式中的x、y的值都扩大5倍可得，则分式的值不变，故选C．


5．约分、最简分式


约分时需要注意的问题：


（1）如果分子、分母中至少有一个是多顶式，就应先分解因式，然后找出分子、分母的公因式，再约分；


（2）注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式，如a-5与5-a表面虽不相同，但通过提取“-”可发现含有公因式（a-5）；


（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面．


例 6


下列分式为最简分式的是


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】A、=-1，原选项错误；


B．=，原选项错误；


C．=，原选项错误；


D．，是最简分式，


故选D．


例 7


约分：①__________；②__________．


【答案】；


【解析】①=；②=．故答案为：；．


6．通分、最简公分母


通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化而出错．


例 8


分式和的最简公分母是


A．12xyzB．C．24xyzD．


【答案】B


【解析】∵两个分式的分母分别是：6x2y，4xyz，∴最简公分母是12x2yz．故选B．


例 9


把，，通分过程中，不正确的是


A．最简公分母是B．


C．D．


【答案】D


【解析】A．最简公分母是，故正确；


B．，故正确；


C．，故正确；


D．，故不正确．故选D．








1．式子，，，，中是分式的有


A．1个B．2个C．3个D．4个


2．分式中，当x=-a时，下列结论正确的是


A．分式的值为零B．分式无意义


C．当a≠-时，分式的值为零D．当a=-时，分式的值为零


3．下列分式，，，，中，最简分式的个数是


A．1个B．2个C．3个D．4个


4．下列运算错误的是


A．B．


C．D．


5．张萌将分式进行通分，则这两个分式的最简公分母为


A．B．


C．D．


6．约分：__________．


7．化简：__________．


8．分式的最简公分母是__________．


9．通分：（1），；


（2），．











10．已知分式，试问：


（1）当m为何值时，分式有意义？


（2）当m为何值时，分式值为0？














11．化简的结果是


A．-x-yB．y-xC．x-yD．x+y


12．当分式的值为0时，x的值为


A．0B．3C．-3D．±3


13．若，则的值是


A．B．C．D．


14．给定下面一列分式：，，，，根据这列分式的规律，请写出第7个分式__________，第n个分式__________．


15．已知当时，分式无意义：当时，分式的值为零，求的值．














16．阅读下面的解题过程：


已知：，求的值．


解：由知x≠0，所以，即x+=3．


所以=x2+=（x+）2-2=32-2=7．


故的值为．


该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：


已知：，求的值．





























17．（2019•常州）若代数式有意义，则实数的取值范围是


A．B．C．D．


18．（2019•贵港）若分式的值等于0，则的值为


A．B．0C．D．1


19．（2019•聊城）如果分式的值为0，那么的值为


A．–1B．1C．–1或1D．1或0


20．（2019•贺州）要使分式有意义，则的取值范围是__________．


21．（2019•贵阳）若分式的值为0，则x的值是__________．


22．（2019•扬州）分式可变形为


A．B．-C．D．





1．【答案】B


【解析】，，，，中分式有，两个，其他代数式分母都不含有字母，故都不是分式．故选B．


2．【答案】C


【解析】根据题意得：x+a=0且2x–1≠0时分式的值为0，


即a≠–，分式的值为零．故选C．


3．【答案】A


【解析】=，=，==b-2，==-1．


所以最简分式共有1个．故选A．


4．【答案】D


【解析】A．，计算正确；


B．，计算正确；


C．，计算正确；


D．，计算错误．


故选D．


5．【答案】B


【解析】∵两个分式的分母分别是：2x+2y=2（x+y），4x-4y=4（x-y），∴最简公分母是4（x+y）（x-y）．


故选B．


6．【答案】


【解析】=．故答案为：．


7．【答案】


【解析】=．故答案为：．


8．【答案】12x3yz


【解析】根据分式的分母分别是：xy，4x3，6xyz，由最简公分母确定方法：从系数（取最小公倍数），字母（所有字母），指数（各字母的最高次幂），可得它们的最简公分母为12x3yz．


故答案为：12x3yz．


9．【解析】（1）最简公分母为：，


∴，


．


（2）两分式的分母为：、，


∴最简公分母为：，


∴，


．


10．【解析】（1）由题意得，，


解得，且．


（2）由题意得，且，


解得，，


则当时，此分式的值为零．


11．【答案】A


【解析】．故选A．


12．【答案】B


【解析】根据题意得，，解得，x=3．故选B．


13．【答案】C


【解析】∵，∴b=a，c=2a，


则原式．


故选C．


14．【答案】；


【解析】这列分式的第7个分式为，第n个分式为．故答案为；．


15．【解析】∵当时，分式无意义，


∴，解得，


∵时，分式的值为零，


∴，则，


∴，


即的值是6．


16．【解析】∵，且x≠0，


∴，


∴x+-3=5，


∴x+=8，


∴=x2++1=（x+）2-1=63，


∴．


17．【答案】D


【解析】∵代数式有意义，


∴，


∴，


故选D．


18．【答案】D


【解析】∵，


∴，故选D．


19．【答案】B


【解析】根据题意，得|x|–1=0且x+1≠0，


解得，x=1．


故选B．


20．【答案】


【解析】∵分式有意义，


∴，即，


故答案为：．


21．【答案】2


【解析】∵分式的值为0，


∴x2-2x=0，且x≠0，解得：x=2．


故答案为：2．


22．【答案】D


【解析】A．≠，故A选项错误；


B．-=≠，故B选项错误；


C．=-，故C选项错误；


D．==，故D选项正确，


故选D．帮—重点
分式有意义、无意义的条件，分式的值为0的条件，分式的基本性质，约分与通分
帮—难点
分式的通分
帮—易错
分式的值为0时，忽视分母不等于0