初中人教版第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数同步达标检测题

这是一份初中人教版第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数同步达标检测题，共12页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。




一、解答题（共6小题；共100分）


1. 如图，已知抛物线 经过 的三个顶点，其中点 ，点 ， 轴，点 是直线 下方抛物线上的动点．





（1）求抛物线的解析式；


（2）过点 且与 轴平行的直线 与直线 ， 分别交于点 ，，当四边形 的面积最大时，求点 的坐标；


（3）当点 为抛物线的顶点时，在直线 上是否存在点 ，使得以 ，， 为顶点的三角形与 相似，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．





2. 某水果店出售一种水果，每只定价 元时，每周可卖出 只．试销发现以下两种情况：


情况 ：如果每只水果每降价 元，那么每周可多卖出 只；


情况 ：如果每只水果每涨价 元，那么每周将少卖出 只．


（1）根据情况 ，如何定价，才能使一周销售收入最多?


（2）如果物价局规定该种水果每只价格只能在 元 元之间（包括 元与 元）那么根据以上两种情况，你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多?并说明理由．





3. 如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点





（1）求点 ，， 的坐标；


（2）点 是此抛物线上的点，点 是其对称轴上的点，求以 ，，， 为顶点的平行四边形的面积；


（3）此抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 是等腰三角形?若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．





4. 某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为 元，销售单价定为 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 件时，每件按 元销售；若一次购买该种产品超过 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 元，但销售单价均不低于 元．


（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 元?


（2）设商家一次购买这种产品 件，开发公司所获的利润为 元，求 （元）与 （件）之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；


（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元（其他销售条件不变）?





5. 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 ，已知对称轴 ．





（1）求抛物线 的解析式；


（2）将抛物线 向下平移 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在 内（包括 的边界），求 的取值范围；


（3）设点 是抛物线 上任意一点，点 在直线 上， 能否成为以点 为直角顶点的等腰直角三角形?若能，求出符合条件的点 的坐标；若不能，请说明理由．





6. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 、 、 三点，其顶点为 ，连接 ，点 是线段 上一个动点（不与 、 重合），过点 作 轴的垂线，垂足点为 ，连接 ．





（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 的坐标；


（2）如果 点的坐标为 ， 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，直接写出自变量 的取值范围，并求出 的最大值；


（3）在（2）的条件下，当 取到最大值时，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 ，把 沿直线 折叠，点 的对应点为点 ，求出 的坐标，并判断 是否在该抛物线上．





答案


第一部分


1. （1） 因为点 ， 在抛物线上，


所以


解得


所以抛物线的解析式为 .


（2） 因为 轴，．


所以 ，


所以 ，，


所以点 的坐标 ，


因为点 ，，


所以直线 的解析式为 ，


设点


所以 ，


所以 ，


因为 ，，


所以





因为 ，


所以当 时，四边形 的面积的最大值是 ，


此时点 ．


（3） 因为 ，


所以 ，


所以 ，，


所以 ，


所以 .


同理可得：，


所以 ，


所以在直线 上存在满足条件的 ，


设 且 ，， .


因为以 ，， 为顶点的三角形与 相似，


①当 时，


所以 ，


所以 ，


所以 ，


所以 .


②当 时，


所以 ，


所以 ，


所以 ，


所以 ．


2. （1） 根据情况 ，设当每只定价为 元时，一周销售收入为 元．


，


当 时， 有最大值，最大值为 元，


答：当定价为 元时，一周销售收入最多，最多为 元．


（2） 根据情况 ，设当每只定价为 元时，一周销售收入为 元．


，


当 时， 有最大值，最大值为 元，


当 时， 随 的增大而增大，


因此当 时， 最大，最大值为 ．


答：当定价为 元时，一周销售收入最多，最多为 元．


3. （1） 令 得 ，


，


或 ，


点 坐标 ，点 坐标 ，


令 ，得 .


点 坐标 ．


（2） ①由图象可知当 为平行四边形的边，


，对称轴 ，


点 的横坐标为 或 ，


点 坐标 或 ，此时点 ，


以 ，，， 为顶点的平行四边形的面积 ．


②当 为四边形的对角线时，点 在顶点 处，四边形为菱形，其面积为 ．


（3） 如图所示，





①当 为顶点时，，，作 于 .


在 中，


，


点 坐标 ，点 坐标 ．


②当 为顶点时，


直线 解析式为 ，


线段 的垂直平分线为 ，


点 坐标为 ．


③当点 为顶点的等腰三角形不存在．


点的坐标为 或 或 ．


4. （1） 设商家一次购买该种产品 件时，销售单价恰好为 元．


根据题意得





解得





答：商家一次购买该种产品 件时，销售单价恰好为 元．


（2） 当 时，；


当 时，；


当 时，．


（3） 由 可知抛物线开口向下，


当 时，获得最大利润．


此时，销售单价为 （元）．


答：公司应将最低销售单价调整为 元．


5. （1） 因为抛物线的对称轴 ，，


所以 ，


因为抛物线 过点 ，


所以当 时，．


又因为抛物线 过点 ，，


所以


所以


所以抛物线的解析式为：．


（2） 因为 ，，


所以直线 解析式为 ，


因为 ，


所以顶点坐标为 ，


因为对于直线 ，当 时，；将抛物线 向下平移 个单位长度，


所以当 时，抛物线顶点落在 上；当 时，抛物线顶点落在 上，


所以将抛物线 向下平移 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在 内（包括 的边界），则 ．


（3） 设 ，，


①当 点在 轴上方时，过 点作 垂直于 轴，交 轴与 点，过 点作 垂直于 的延长线于 点，如图1．





因为 ，


所以 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，


所以 ，，则 ，，


在 和 中，





所以 ，


所以 ，


因为 ，根据 点坐标可得 ，且 ，


所以 ，


解得： 或 ，


所以 或 ．


②当 点在 轴下方时，过 点作 垂直于 于 点，过 点作 垂直于 的延长线与 点，如图 2．





同理可得 ，


所以 ，


所以 ，，则 ，


解得 ．


所以 或 ．


综上可得，符合条件的点 的坐标是 ，， 或 ．


6. （1） 抛物线 经过 、 、 三点，





解得


解析式为 ．


，


抛物线顶点坐标 为 ．


（2） ，，


设直线 的解析式为 ，有


解得


直线 的解析式：．


在直线 上，


，


，


当 时， 取最大值 ．


（3） 如图所示，设 与 轴交于点 ，过 作 轴于点 ，





沿 翻折得 ，且 ，


，，．


轴，


．


，


，


．


设 ，则 ，．


在 中，


，


．


，


．


在 中，


，


，


．


当 时，．


点 不在该抛物线上．