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初中人教版第十一章 三角形综合与测试单元测试课后练习题
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这是一份初中人教版第十一章 三角形综合与测试单元测试课后练习题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，2cmB．1cm，2cm，4cm
C．2cm，3cm，5cmD．5cm，6cm，12cm
3．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
5．（3分）若线段AD、AE分别是△ABC的BC边上的中线和高线，则（ ）
A．AD≥AEB．AD＞AEC．AD≤AED．AD＜AE
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线、和高都在三角形内部
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的高至少有一条在三角形内部
D．三角形的三条高的交点不在三角形内，就在三角形外
7．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法判定
8．（3分）如图所示，图中三角形的个数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
10．（3分）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：
①∠DBE＝∠F；
②2∠BEF＝∠BAF+∠C；
③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
④∠BGH＝∠ABE+∠C
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 ．
12．（4分）在△ABC中，∠C＝∠A＝∠B，则∠A＝ 度．
13．（4分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是 ．
14．（4分）如下图，已知△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是∠ACB的平分线，∠ADC＝150°，则∠ABC的度数为 度．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．小华用剪刀沿DE剪去∠A，得到一个四边形．则∠1+∠2＝ 度．
16．（4分）三角形有两条边的长度分别是5和7，则最长边a的取值范围是 ．
17．（4分）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1+S2＝ ．
18．（4分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ ．
三、解答题（8小题，共58分）
19．（6分）如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝80°，∠EAD＝10°，求∠B的度数
20．（6分）如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，求证：∠E＝∠A．
21．（6分）如图，在五角星ABCDE中，试说明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
22．（7分）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
23．（7分）已知a、b、c是三角形的三边长，
①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
②若a+b＝11，b+c＝9，a+c＝10，求这个三角形的各边．
24．（8分）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，利用网格点画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）画出△ABC的中线CD与高线AE；
（3）△A′B′C′的面积为 ．
25．（9分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
26．（9分）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
新人教版八年级上册《第11章 三角形》2020年单元测试卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变，因而具有稳定性的是C．故选：C．
2．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，2cmB．1cm，2cm，4cm
C．2cm，3cm，5cmD．5cm，6cm，12cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、1+2＞2，能够组成三角形；
B、1+2＜4，不能组成三角形；
C、2+3＝5，不能组成三角形；
D、5+6＜12，不能组成三角形．
故选：A．
3．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
4．（3分）如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【分析】根据直角三角形的性质即可直接得出结论．
【解答】解：∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，
∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；
故选：B．
5．（3分）若线段AD、AE分别是△ABC的BC边上的中线和高线，则（ ）
A．AD≥AEB．AD＞AEC．AD≤AED．AD＜AE
【分析】根据三角形的高和中线解答即可．
【解答】解：如图所示：
故选：A．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线、和高都在三角形内部
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的高至少有一条在三角形内部
D．三角形的三条高的交点不在三角形内，就在三角形外
【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误；
B、直角三角形有三条高，故错误；
C、三角形的高至少有一条在三角形内，故正确；
D、直角三角形的交点在三角形上，故错误．
故选：C．
7．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法判定
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．
【解答】解：设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，
根据三角形的内角和为180°，
得x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，
∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，
即这个三角形一定是直角三角形．
故选：A．
8．（3分）如图所示，图中三角形的个数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据三角形的定义进行判断．只要数出BC上有几条线段即可．很明显BC上有3条线段，所以有三个三角形．
【解答】解：BC上有3条线段，所以有三个三角形．故选C．
9．（3分）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．
【解答】解：一个四边形沿对角线截一刀后得到的多边形是三角形，
一个四边形沿平行于边的直线截一刀后得到的多边形是四边形，
一个四边形沿除上述两种情况的位置截一刀后得到的多边形是五边形，
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：
①∠DBE＝∠F；
②2∠BEF＝∠BAF+∠C；
③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
④∠BGH＝∠ABE+∠C
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD＝∠BGH，证明结论正确；
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确；
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
【解答】解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
③正确；
④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∴∠BGH＝∠ABE+∠C，
④正确，
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，
故答案为：稳定性．
12．（4分）在△ABC中，∠C＝∠A＝∠B，则∠A＝ 72 度．
【分析】设∠C＝x，则∠A＝2x，∠B＝2x，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
【解答】解：∵∠C＝∠A＝∠B，
∴可以假设∠C＝x，则∠A＝2x，∠B＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝72°，
故答案为72．
13．（4分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是 720° ．
【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．
【解答】解：这个正多边形的边数为＝6，
所以这个正多边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为720°．
14．（4分）如下图，已知△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是∠ACB的平分线，∠ADC＝150°，则∠ABC的度数为 140 度．
【分析】根据角平分线的性质和已知条件即可求得．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是∠ACB的平分线，∠ADC＝150°，
∴设∠A＝∠ACB＝x，则∠B＝180°﹣2x，∠ACD＝∠BCD＝，
∵∠ADC是△BCD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝180°﹣2x+＝150°，
解得x＝20°．
∴∠ABC＝180°﹣2×20°＝140°．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．小华用剪刀沿DE剪去∠A，得到一个四边形．则∠1+∠2＝ 270 度．
【分析】先根据直角三角形的性质求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°．
∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．
故答案为：270．
16．（4分）三角形有两条边的长度分别是5和7，则最长边a的取值范围是 7＜a＜12 ．
【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．
【解答】解：根据三角形三边关系定理知：最长边a的取值范围是：7＜a＜（7+5），即7＜a＜12．
故答案为：7＜a＜12．
17．（4分）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1+S2＝ 7 ．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等，求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比，求出△ACD的面积，然后根据计算S1+S2即可得解．
【解答】解：∵BE＝CE，
∴S△ACE＝S△ABC＝×6＝3，
∵AD＝2BD，
∴S△ACD＝S△ABC＝×6＝4，
∴S1+S2＝S△ACD+S△ACE＝4+3＝7．
故答案为：7．
18．（4分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ 540° ．
【分析】根据题意，画出图象，由图可知∠6+∠7＝∠8+∠9，因为五边形内角和为540°，从而得出答案．
【解答】解：如图
∵∠6+∠7＝∠8+∠9，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7，
＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9，
＝五边形的内角和＝540°，
故答案为：540°．
三、解答题（8小题，共58分）
19．（6分）如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝80°，∠EAD＝10°，求∠B的度数
【分析】根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据角平分线的定义得到∠CAE＝BAC＝40°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵AE是角平分线，∠BAC＝80°，
∴∠CAE＝BAC＝40°，
∵∠EAD＝10°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°．
20．（6分）如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，求证：∠E＝∠A．
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠4＝∠E+∠2；由角平分线的性质，得∠3＝（∠A+∠ABC），∠2＝∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系．
【解答】证明：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠3＝（∠A+∠ABC）．
又∵∠4＝∠E+∠2，
∴∠E+∠2＝（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠2＝∠ABC，
∴∠ABC+∠E＝（∠A+∠ABC），
∴∠E＝∠A．
21．（6分）如图，在五角星ABCDE中，试说明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
【分析】根据三角形外角性质求出∠AGF＝∠C+∠E，∠AFG＝∠B+∠D，根据三角形内角和定理求出∠A+∠AGF+∠AFG＝180°，代入求出即可．
【解答】解：∵∠AGF＝∠C+∠E，∠AFG＝∠B+∠D，
又∵∠A+∠AGF+∠AFG＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
22．（7分）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
【分析】（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，求得边数，即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴360÷20＝18，18×10＝180（米）；
答：小明一共走了180米；
（2）根据题意得：
（18﹣2）×180°＝2880°，
答：这个多边形的内角和是2880度．
23．（7分）已知a、b、c是三角形的三边长，
①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
②若a+b＝11，b+c＝9，a+c＝10，求这个三角形的各边．
【分析】（1）根据三角形的三边关系得出a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，再化去绝对值即可；
（2）通过解三元一次方程组，即可得出三角形的各边．
【解答】解：（1）∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c﹣b+c+a﹣c+a+b＝a+b+c；
（2）∵a+b＝11①，b+c＝9②，a+c＝10③，
∴由①﹣②，得
a﹣c＝2，④
由③+④，得2a＝12，
∴a＝6，
∴b＝11﹣6＝5，
∴c＝10﹣6＝4．
24．（8分）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，利用网格点画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）画出△ABC的中线CD与高线AE；
（3）△A′B′C′的面积为 8 ．
【分析】（1）根据平移条件画出图象即可．
（2）根据时间最中线，高的定义画出中线CD，高AE即可．
（3）根据S△A′B′C′＝S△ABC＝×AE×BC计算即可．
【解答】解：（1）平移后的△A1B1C1如图所示．
（2）△ABC的中线CD与高线AE如图所示．
（3）S△A′B′C′＝S△ABC＝×AE×BC＝×4×4＝8．
故单位8．
25．（9分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 3 个，以点O为交点的“8字型”有 4 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①以线段AC为边的“8字型”有3个，以点O为交点的“8字型”有4个；
②根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），然后把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可；
③与②的证明方法一样得到3∠P＝∠B+2∠C．
【解答】（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）解：①3；4；
故答案为：3，4；
②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；
③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴3∠P＝∠B+2∠C．
26．（9分）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ∠A+∠D＝∠C+∠B ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 6 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，2cmB．1cm，2cm，4cm
C．2cm，3cm，5cmD．5cm，6cm，12cm
3．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
5．（3分）若线段AD、AE分别是△ABC的BC边上的中线和高线，则（ ）
A．AD≥AEB．AD＞AEC．AD≤AED．AD＜AE
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线、和高都在三角形内部
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的高至少有一条在三角形内部
D．三角形的三条高的交点不在三角形内，就在三角形外
7．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法判定
8．（3分）如图所示，图中三角形的个数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
10．（3分）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：
①∠DBE＝∠F；
②2∠BEF＝∠BAF+∠C；
③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
④∠BGH＝∠ABE+∠C
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 ．
12．（4分）在△ABC中，∠C＝∠A＝∠B，则∠A＝ 度．
13．（4分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是 ．
14．（4分）如下图，已知△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是∠ACB的平分线，∠ADC＝150°，则∠ABC的度数为 度．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．小华用剪刀沿DE剪去∠A，得到一个四边形．则∠1+∠2＝ 度．
16．（4分）三角形有两条边的长度分别是5和7，则最长边a的取值范围是 ．
17．（4分）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1+S2＝ ．
18．（4分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ ．
三、解答题（8小题，共58分）
19．（6分）如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝80°，∠EAD＝10°，求∠B的度数
20．（6分）如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，求证：∠E＝∠A．
21．（6分）如图，在五角星ABCDE中，试说明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
22．（7分）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
23．（7分）已知a、b、c是三角形的三边长，
①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
②若a+b＝11，b+c＝9，a+c＝10，求这个三角形的各边．
24．（8分）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，利用网格点画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）画出△ABC的中线CD与高线AE；
（3）△A′B′C′的面积为 ．
25．（9分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
26．（9分）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
新人教版八年级上册《第11章 三角形》2020年单元测试卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变，因而具有稳定性的是C．故选：C．
2．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，2cmB．1cm，2cm，4cm
C．2cm，3cm，5cmD．5cm，6cm，12cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、1+2＞2，能够组成三角形；
B、1+2＜4，不能组成三角形；
C、2+3＝5，不能组成三角形；
D、5+6＜12，不能组成三角形．
故选：A．
3．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
4．（3分）如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【分析】根据直角三角形的性质即可直接得出结论．
【解答】解：∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，
∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；
故选：B．
5．（3分）若线段AD、AE分别是△ABC的BC边上的中线和高线，则（ ）
A．AD≥AEB．AD＞AEC．AD≤AED．AD＜AE
【分析】根据三角形的高和中线解答即可．
【解答】解：如图所示：
故选：A．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线、和高都在三角形内部
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的高至少有一条在三角形内部
D．三角形的三条高的交点不在三角形内，就在三角形外
【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误；
B、直角三角形有三条高，故错误；
C、三角形的高至少有一条在三角形内，故正确；
D、直角三角形的交点在三角形上，故错误．
故选：C．
7．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法判定
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．
【解答】解：设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，
根据三角形的内角和为180°，
得x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，
∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，
即这个三角形一定是直角三角形．
故选：A．
8．（3分）如图所示，图中三角形的个数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据三角形的定义进行判断．只要数出BC上有几条线段即可．很明显BC上有3条线段，所以有三个三角形．
【解答】解：BC上有3条线段，所以有三个三角形．故选C．
9．（3分）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．
【解答】解：一个四边形沿对角线截一刀后得到的多边形是三角形，
一个四边形沿平行于边的直线截一刀后得到的多边形是四边形，
一个四边形沿除上述两种情况的位置截一刀后得到的多边形是五边形，
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：
①∠DBE＝∠F；
②2∠BEF＝∠BAF+∠C；
③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
④∠BGH＝∠ABE+∠C
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD＝∠BGH，证明结论正确；
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确；
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
【解答】解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
③正确；
④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∴∠BGH＝∠ABE+∠C，
④正确，
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，
故答案为：稳定性．
12．（4分）在△ABC中，∠C＝∠A＝∠B，则∠A＝ 72 度．
【分析】设∠C＝x，则∠A＝2x，∠B＝2x，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
【解答】解：∵∠C＝∠A＝∠B，
∴可以假设∠C＝x，则∠A＝2x，∠B＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝72°，
故答案为72．
13．（4分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是 720° ．
【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．
【解答】解：这个正多边形的边数为＝6，
所以这个正多边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为720°．
14．（4分）如下图，已知△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是∠ACB的平分线，∠ADC＝150°，则∠ABC的度数为 140 度．
【分析】根据角平分线的性质和已知条件即可求得．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是∠ACB的平分线，∠ADC＝150°，
∴设∠A＝∠ACB＝x，则∠B＝180°﹣2x，∠ACD＝∠BCD＝，
∵∠ADC是△BCD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝180°﹣2x+＝150°，
解得x＝20°．
∴∠ABC＝180°﹣2×20°＝140°．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．小华用剪刀沿DE剪去∠A，得到一个四边形．则∠1+∠2＝ 270 度．
【分析】先根据直角三角形的性质求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°．
∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．
故答案为：270．
16．（4分）三角形有两条边的长度分别是5和7，则最长边a的取值范围是 7＜a＜12 ．
【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．
【解答】解：根据三角形三边关系定理知：最长边a的取值范围是：7＜a＜（7+5），即7＜a＜12．
故答案为：7＜a＜12．
17．（4分）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1+S2＝ 7 ．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等，求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比，求出△ACD的面积，然后根据计算S1+S2即可得解．
【解答】解：∵BE＝CE，
∴S△ACE＝S△ABC＝×6＝3，
∵AD＝2BD，
∴S△ACD＝S△ABC＝×6＝4，
∴S1+S2＝S△ACD+S△ACE＝4+3＝7．
故答案为：7．
18．（4分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ 540° ．
【分析】根据题意，画出图象，由图可知∠6+∠7＝∠8+∠9，因为五边形内角和为540°，从而得出答案．
【解答】解：如图
∵∠6+∠7＝∠8+∠9，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7，
＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9，
＝五边形的内角和＝540°，
故答案为：540°．
三、解答题（8小题，共58分）
19．（6分）如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝80°，∠EAD＝10°，求∠B的度数
【分析】根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据角平分线的定义得到∠CAE＝BAC＝40°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵AE是角平分线，∠BAC＝80°，
∴∠CAE＝BAC＝40°，
∵∠EAD＝10°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°．
20．（6分）如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，求证：∠E＝∠A．
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠4＝∠E+∠2；由角平分线的性质，得∠3＝（∠A+∠ABC），∠2＝∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系．
【解答】证明：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠3＝（∠A+∠ABC）．
又∵∠4＝∠E+∠2，
∴∠E+∠2＝（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠2＝∠ABC，
∴∠ABC+∠E＝（∠A+∠ABC），
∴∠E＝∠A．
21．（6分）如图，在五角星ABCDE中，试说明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
【分析】根据三角形外角性质求出∠AGF＝∠C+∠E，∠AFG＝∠B+∠D，根据三角形内角和定理求出∠A+∠AGF+∠AFG＝180°，代入求出即可．
【解答】解：∵∠AGF＝∠C+∠E，∠AFG＝∠B+∠D，
又∵∠A+∠AGF+∠AFG＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
22．（7分）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
【分析】（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，求得边数，即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴360÷20＝18，18×10＝180（米）；
答：小明一共走了180米；
（2）根据题意得：
（18﹣2）×180°＝2880°，
答：这个多边形的内角和是2880度．
23．（7分）已知a、b、c是三角形的三边长，
①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
②若a+b＝11，b+c＝9，a+c＝10，求这个三角形的各边．
【分析】（1）根据三角形的三边关系得出a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，再化去绝对值即可；
（2）通过解三元一次方程组，即可得出三角形的各边．
【解答】解：（1）∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c﹣b+c+a﹣c+a+b＝a+b+c；
（2）∵a+b＝11①，b+c＝9②，a+c＝10③，
∴由①﹣②，得
a﹣c＝2，④
由③+④，得2a＝12，
∴a＝6，
∴b＝11﹣6＝5，
∴c＝10﹣6＝4．
24．（8分）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，利用网格点画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）画出△ABC的中线CD与高线AE；
（3）△A′B′C′的面积为 8 ．
【分析】（1）根据平移条件画出图象即可．
（2）根据时间最中线，高的定义画出中线CD，高AE即可．
（3）根据S△A′B′C′＝S△ABC＝×AE×BC计算即可．
【解答】解：（1）平移后的△A1B1C1如图所示．
（2）△ABC的中线CD与高线AE如图所示．
（3）S△A′B′C′＝S△ABC＝×AE×BC＝×4×4＝8．
故单位8．
25．（9分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 3 个，以点O为交点的“8字型”有 4 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①以线段AC为边的“8字型”有3个，以点O为交点的“8字型”有4个；
②根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），然后把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可；
③与②的证明方法一样得到3∠P＝∠B+2∠C．
【解答】（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）解：①3；4；
故答案为：3，4；
②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；
③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴3∠P＝∠B+2∠C．
26．（9分）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ∠A+∠D＝∠C+∠B ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 6 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
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