初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定第1课时同步练习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定第1课时同步练习题，共10页。

知识点 1 利用正方形的性质求解与线段有关的问题


1．如图1－3－1，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为________．


图1－3－1


图1－3－2


2．如图1－3－2，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．


3．2017·广安如图1－3－3，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.





图1－3－3











知识点 2 利用正方形的性质求解与角有关的问题


4．如图1－3－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( )


A．10° B．12.5° C．15° D．20°


图1－3－4


图1－3－5


5．如图1－3－5，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，则∠DCE＝________°.


6．2017·怀化如图1－3－6，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．


(1)求证：△ABE≌△DCE；


(2)求∠AED的度数．





图1－3－6














知识点 3 利用正方形的性质求解与面积有关的问题


7．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )


A．8 B．4 eq \r(2) C．8 eq \r(2) D．16





图1－3－7


8．如图1－3－7，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．


9．如图1－3－8，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．


(1)求证：△ADE≌△ABF；


(2)求△AEF的面积．





图1－3－8




















知识点 4 正方形对称性的应用


10．如图1－3－9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是( )


A．(1，1) B．(－1，－1)


C．(1，－1) D．(－1，1)


图1－3－9


图1－3－10


11.如图1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．





12．如图1－3－11，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( )


A．45° B．55° C．60° D．75°


图1－3－11


图1－3－12


13.如图1－3－12，正方形ABCD的边长为eq \r(2)，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．


14．如图1－3－13，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．


图1－3－13 图1－3－14


15．如图1－3－14，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．


16．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.


求证：AM⊥DF.





图1－3－15

















17．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.


(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图1－3－16①)，求证：△AEG≌△AEF；


(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图1－3－16②)，求证：EF2＝ME2＋NF2.





图1－3－16



































1．2eq \r(13)


2.eq \r(2)－1


3．证明：∵四边形ABCD是正方形，


∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.


∵BF⊥CE，


∴∠BCE＋∠CBG＝90°.


∵∠ABF＋∠CBG＝90°，


∴∠BCE＝∠ABF.


在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，


∴△BCE≌△ABF(ASA)，


∴AF＝BE.


4．C


5．22.5


6．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，


∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，


∴∠ABE＝∠ECD＝30°.


在△ABE和△DCE中，AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，


∴△ABE≌△DCE(SAS)．


(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，


∴∠BAE＝eq \f(1,2)×(180°－30°)＝75°.


∵∠BAD＝90°，


∴∠EAD＝90°－75°＝15°，


同理可得∠ADE＝15°，


∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°.


7．A


8．2


9．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，


∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，BC＝DC.


∵E，F分别为DC，BC的中点，


∴DE＝eq \f(1,2)DC，BF＝eq \f(1,2)BC，


∴DE＝BF.


在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠D＝∠B，DE＝BF，


∴△ADE≌△ABF(SAS)．


(2)由题知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝eq \f(1,2)×4＝2，CE＝CF＝eq \f(1,2)×4＝2，


∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝


4×4－eq \f(1,2)×4×2－eq \f(1,2)×4×2－eq \f(1,2)×2×2＝6.


10．C





11．10 12.C


13．4


14．3 cm


15．(0，21009)


16．证明：∵四边形ABCD是正方形，


∴OD＝OC.


又∵DE＝CF，


∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF.


在△AOE和△DOF中，AO＝DO，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，


∴△AOE≌△DOF(SAS)，


∴∠OAE＝∠ODF.


∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，


∴∠ODF＋∠DEM＝90°，


即AM⊥DF.


17．证明：(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，


∴AG＝AF，∠GAF＝90°.


∵∠EAF＝45°，


∴∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°，


即∠GAE＝∠EAF.


在△AEG和△AEF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AG＝AF，,∠GAE＝∠EAF，,AE＝AE，))


∴△AEG≌△AEF(SAS)．


(2)把△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，如图，连接GM，则△ADF≌△ABG，


∴DF＝BG.





由(1)知△AEG≌△AEF，


∴EG＝EF.


∵∠CEF＝45°，


∴△BME，△DNF，△CEF均为等腰直角三角形，


∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝eq \r(2)DF，


∴BE＝DF，


∴BE＝BM＝DF＝BG，


∴∠BMG＝45°，


∴∠GME＝45°＋45°＝90°，


∴EG2＝ME2＋MG2.


又∵EG＝EF，MG＝eq \r(2)BM＝eq \r(2)DF＝NF，


∴EF2＝ME2＋NF2.