初中数学3 正方形的性质与判定精品课件ppt

这是一份初中数学3 正方形的性质与判定精品课件ppt，共27页。PPT课件主要包含了学习目标，导入新课，正方形判定的定理，讲授新课，正方形，一组邻边相等，对角线互相垂直，一个角是直角，对角线相等，中点四边形等内容，欢迎下载使用。

1．掌握正方形的判定方法．（重点）2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .(难点)
问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分.
问题2：你是如何判断是矩形、菱形？
动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使AB=AD ,作DC∥AB , BC∥AD ,得四边形ABCD.
问题1：上面所画四边形ABCD是正方形吗？为什么？
想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
1.对角线相等的菱形是正方形.2.对角线垂直的矩形是正方形.3.有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形判定的两条途径：
二、正方形判定定理的应用
例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形；
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形.
例2：已知：如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90° , ∠BAC , ∠ABC的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.
证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G.∵DF⊥AC , DE⊥BC ,∴∠DFC=∠DEC=90°.又∠C=90°,∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）.∴AD平分∠BAC , DF⊥AC , DG⊥AB.∴DF=DG. 同理可得 DE=DG , ∴DE=DF.∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
例3：如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.证明：∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,
∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,∴四边形EFGH为正方形.
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
菱形的中点四边形是矩形
矩形的中点四边形是菱形
正方形的中点四边形是正方形
等腰梯形的中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形
对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形
归纳：特殊四边形的中点四边形： ◆平行四边形的中点四边形是平行四边形 ◆矩形的中点四边形是菱形 ◆菱形的中点四边形是矩形 ◆正方形的中点四边形是正方形 ◆等腰梯形的中点四边形是菱形 ◆直角梯形的中点四边形是平行四边形 ◆梯形的中点四边形是平行四边形
问题：1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形？2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？3.你是从什么角度考虑的？4.你从哪儿得到的启发？5.你能用你的发现解释其它的图形变化吗？ 例如：原四边形为菱形，其中点四边形为矩形？
归纳：一般四边形的中点四边形：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系
1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形2．四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
3.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分∠ ABC , P是BD上一点,过点P作PM ⊥ AD , PN ⊥ CD ,垂足分别为M、N. (1) 求证：∠ADB=∠CDB; (2) 若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形.
证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. ∴△ABD≌△CBD (AAS). ∴∠ADB=∠CDB.
（2）∵∠ADC=90°; 又∵PM⊥AD,PN⊥CD; ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB; ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
AB、AD在同一线段上
4.拖动A点使四边形ABCD的图形如上图变化，那么中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
结论：当ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形
有一个角是90°（或对角线互相垂直）
有一对邻边相等（或对角线相等）
一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直平分且相等）
有一个角是90° 对角线相等
有一对邻边相等 对角线互相垂直