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北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定课时作业
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这是一份北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定课时作业，文件包含答案2docx、原卷2docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
北师大版数学九上 1.3正方形的性质与判定单元测试提升卷
B卷
一． 选择题（共30分）
1．一张正方形纸片按如图①、图②依次对折后，再按如图③虚线裁剪，最后把得到的图④展开铺平，所得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2.图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位．
A．12 B．24 C．32 D．36
【答案】D
【详解】
如解图，由题意知是等腰直角三角形，设，
∵，
∴，
∵最大正方形的面积．
故选：D．
3．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】
根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形中，
∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵点O为MN的中点
∴OM=ON，
∵∠MPN=90°，
∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，
，
故选：C．
4.如图，在正方形ABCD内，，连接EF，若，两块阴影部分的面积和为4，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．17 B．24 C．26 D．32
【答案】B
【分析】
如图延长BF交CE于N，延长DE交AF于M，只要证明四边形MENF是正方形，即可解决问题．
【详解】
解：如图延长BF交CE于N，延长DE交AF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，∠BAF=∠DCE，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠ABF+∠CBN=90°，
∠BAF=∠CBN，同理∠ABF=∠BCN，
∴△ABF≌△CBN，同理△ABF≌△DAM，
∴AF=BN=CE=DM，BF=CN=DE=AM，
∴EM=MF=FN=NE，
∴四边形MENF是菱形，
∵∠FNE=90°，
∴四边形MENF是正方形，
∵EF=，
∴正方形MENF的面积为=16，
∴正方形ABCD的面积=4×2+16=24，
故选：B．
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：①添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成为正方形；
②添加AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成为正方形；
③添加∠ACB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=B∠AC=45°，
∴AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成为正方形；
④∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，则AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成为正方形；
综上，①②③符合题意，
故答案为：B．
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方形．下面组合错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
C、由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
D、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
7．下列命题正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
B．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相平分的矩形是正方形
【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是假命题；
故答案为：C.
8.如图四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上，∠BAE＝30°.若线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AE=AFAB=AD ，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠BAE=30°，
∴∠DAF=30°，
∴∠EAF=90°-∠BAE-∠DAF=90°-30°-30°=30°，
∴旋转角为30°.
故答案为：A.
9.如图，在平行四边形 ABCD 中， AD=2AB=2 ， ∠ABC=60° ， E ， F 是对角线 BD 上的动点，且 BE=DF ， M ， N 分别是边 AD ，边 BC 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 MENF ；
②存在无数个矩形 MENF ；
③存在无数个菱形 MENF ；
④存在无数个正方形 MENF ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，连接MN，MF，NF，ME，NE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，OB=OD
∴∠MAO=∠NCO，
在△MAO和△NCO中
∠MAO=∠NCOAO=CO∠AOM=∠CON
∴△MAO≌△NCO（ASA）
∴OM=ON；
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，
∴当OM=ON时四边形MENF一定是平行四边形，
∴ 存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
∵四边形MENF是平行四边形，
∴当MN=EF时，四边形MENF是矩形，
∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
∵点E，F是BD上的动点，
∴只需MN⊥EF，OM=ON，
就存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，OM=ON，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④不符合题意；
∴正确结论的个数有3个.
故答案为：C.
10.已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的角平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF=1，则AB=（ ）
A．2+2 B．22−2 C．4−22 D．22+2
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，作FH∥BC交BD于点H.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，OB=OC，∠BOC=90°
∵FH∥BC，
∴∠OHF=∠OBC，∠OFH=∠OCB，
∴∠OHF=∠OFH，
∴OH=OF=1，FH=12+12=2，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF=∠FBC=∠BFH，
∴BH=FH=2，
∴OB=OC=1+2，
∴AB=BC=2OB=2+2.
故答案为：A.
二． 填空题（共24分）
11.如图，四边形ABCD和四边形OMNP都是边长为4的正方形，点O是正方形ABCD对角线的交点，正方形OMNP绕点O旋转过程中分别交AB，BC于点E，F，则四边形OEBF的面积为 ．
【答案】4
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，过点O作OH⊥BC，垂足为H，
∵四边形ABCD的对角线交点为O，
∴OA=OC，∠ABC=90°，AB=BC，
∴OG∥BC，OH∥AB，
∴四边形OGBH是矩形，OG=OH=12AB=12CB，∠GOH=90°，
∴S四边形OGBH=OG2=(12AB)2=(12×4)2=4，
∵∠FOH+∠FOG=90°，∠EOG+∠FOG=90°，
∴∠FOH=∠EOG，
∵∠OGE=∠OHF=90°，OG=OH，
∴△OGE≌△OHF，
∴S△OGE=S△OHF，
∴S四边形OGBH=S四边形OEBF，
∴S四边形OEBF=4，
故答案为：4．
12.如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形.
【答案】AC⊥BD，AC=BD， AC⊥BD
【知识点】正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形.
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF= 12 AC，GH∥AC，GH= 12 AC，EH∥BD，EH= 12 BD，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，
∴四边形EFGH为正方形.
故答案为：AC⊥BD，AC=BD.
13.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且 ∠EAF=45° ，AE交BD于M点，AF交BD于N点.下列结论：①BM2+DN2=MN2 ；②AE=AF ；③EA平分 ∠BEF ；④△CEF 的周长等于 2AB ，其中正确结论的序号是 .（把你认为所有正确的都填上）
【答案】①③④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，
∵∠EAF=45° ，
∴∠EAF=∠HAF=45° ，
∵△ABM 绕点A逆时针旋转 90° 得到△ADH ，
∴BM=DH ， AH=AM ， ∠ABM=∠ADH ，
又∵AN=AN ，
∴△AMN≌△AHN ，
∴MN=HN ，
而 ∠HDN=∠HDA+∠ADB=∠MBA+∠ADB=45°+45°=90° ，
∴在 Rt△HDN 中， DH2+DN2=HN2 ，
∴BM2+DN2=MN2 ，
故①正确；
②由题知 AB=AD ， ∠ABE=∠ADF=90° ，只有两个条件不能得到 △ABE≌△ADF ，
∴AE≠AF ，
故②错误；
③将 △ABE 绕点A逆时针旋转 90° 得到△ADG ，
∵∠ABE=∠ADG=90° ， ∠ADF=90° ，
∴∠GDF=∠ADF+∠ADG=90°+90°=180° ，
∴点G、D、F三点共线，
由旋转可得 BE=DG ， AE=AG ， ∠BAE=∠DAF ，
∵∠EAF=45° ，
∴∠EAF=∠GAF=45° ， AE=AG ，
又∵AF=AF ，
∴△AEF≌△AGF ，
∴∠AEF=∠AGF
又∵∠AEB=∠AGF ，
∴∠AEF=∠AEB ，
∴EA平分 ∠BEF ；
④由③可知 △AEF≌△AGF ，
∴EF=GF ，
∵GF=GD+DF=BE+DF ， AB=BC=CD ，
∴△CEF 的周长 =CE+EF+CF
=CE+BE+DF+CF
=BC+CD
=2AB ，
故④正确；
综上所述：正确的有①③④.
故答案为：①③④.
14.如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α(0°<α<180°)得到线段AD′，连接BD′、CD′．若△D′BC是等腰三角形，则α= ．
【答案】30°或60°或150°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图1所示，
当D′B=BC时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，
由旋转的性质得AD′=AD=AB=BC=DB′，∠DAB=90°，
∴△ABD′是等边三角形，
∴∠BAD′=60∘，
∴∠DAD′=150∘即α=150∘；
如图2所示，
当D′B=BC时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，
由旋转的性质得AD′=AD=AB=BC=DB′，∠DAB=90°，
∴△ABD′是等边三角形，
∴∠BAD′=60∘，
∴∠DAD′=30∘即α=30∘；
如图3所示，
当D′B=D′C时，连接DD′，
∴D′在线段BC的垂直平分线上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴D′在线段AD的垂直平分线上，
∴D′D=AD′
由旋转的性质得AD′=AD=DD′，
∴△ADD′是等边三角形，
∴∠DAD′=60∘即α=60∘；
当CD′=BC=AD′时，此种情况不存在，
∴综上所述，α的值为30°或60°或150°
故答案为：30°或60°或150°．
15.如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 、 F 分别是边 BC 、 CD 上的动点.且 BE=CF ，连接 BF 、 DE ，则 BF+DE 的最小值为 .
【答案】45
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图1，连接 AE ，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90° .
又∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴AE=BF，
∴ BF+DE 的最小值等于 AE+DE 的最小值.
如图2，作点A关于 BC 的对称点H，连接 BH ，
则A、B、H三点共线，连接 DH， DH 与 BC 的交点即为所求的点E.根据对称性可知 AE=HE，
∴AE+DE=HE+DE=DH .
在 Rt△ADH 中， DH=AH2+AD2=82+42=45 ，
∴BF+DE 的最小值为 45 .
故答案为： 45.
16.如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形 A1B1C1D1 ；把正方形 A1B1C1D1 边长按原法延长一倍得到正方形 A2B2C2D2 （如图（2））；以此下去…，则正方形 A4B4C4D4 的面积为 ．
【答案】625
【知识点】正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：连接AC， B1C ，如图（1），
∵AB=BB1 ， BC=CC1 ，
∴S△ABC=S△BB1C ， S△BB1C=S△CC1B1 ，
∴S△BB1C=2S△ABC=S正方形ABCD=1 ，
∴S正方形A1B1C1D1=5S正方形ABCD=5 ，
同理可得 S正方形A2B2C2D2=5S正方形A1B1C1D1=52 ，
∴正方形 A4B4C4D4 的面积 =54=625 ．
故答案为：625．
三。解答题（共46分）
17.（8分）如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN，联结FN，EC. 求证：FN=EC.
【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，
AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°，
∵AB=2BC，即BC=BN= 12 AB，
∴BN= 12 BE，即N为BE的中点，
∴EN=NB=BC，
在△△FNE和△ECB中，
EF=EC∠FEN=∠EBCEN=BC
∴△FNE≌△ECB，
∴FN=EC.
18.（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA.
求证：四边形AECF是正方形.
【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OE=OA
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF
又∵AC⊥EF
∴ 四边形DEBF是正方形.
19.（10分）如图，正方形和正方形的边长分别为和，正方形绕点旋转．连接．
（1）猜想与的关系，并证明你的结论；
（2）用含的式子表示．
【答案】（1），见解析；（2）
【详解】
解：（1）．
证明：如解图，连接，且与的交点为与的交点为．
∵四边形和四边形为正方形，
，
．
．
．
，，
．
即．
（2），
∴在和中，，
．
．
．
．
20.（10分）问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图①，边长为6的正方形ABCD的对角线相交于点E，分别延长EA到点F，EB到点H，使AF＝BH，再以EF，EH为邻边做正方形EFGH，连接AH，DF；
（1）解决问题：AH与DF之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）深入研究：如图②正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD绕点E顺时针方向旋转α°，判断AH与DF的关系，并证明：
（3）拓展延伸：如图③，在正方形ABCD旋转过程中（0 º＜α＜90 º），AB，BC分别交EF，EH于点M，N，连接MN，EC.
①当AM＝2时，直接写出S△BMN＋S△CEN的值；
②若α＝45°，在不添加字母的情况下，请你在图中再找两个点，和点M，N所围成的四边形是特殊四边形，直接写出这个特殊四边形.（写两个，不需要证明，需要指明是什么特殊四边形）
【答案】（1）相等；互相垂直
（2）解：AH⊥DF，AH=DF，
证明：连接AE、DE，
∵∠FEA+∠AED=∠FEA+∠FEH，
即：∠FED=∠AEH，
又∵EH=EF，EA=ED，
∴△FED≌△AEH（SAS），
∴DF=AH，
∵∠AHE+∠HOE=90°，
∴∠EFD+∠AOF=90°，
∴FD⊥AH；
（3）解：①S△BMN+S△CEN=10；②答案不唯一，四边形BMEN是正方形；四边形NMEC是平行四边形；四边形NMAE是平行四边形.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；平行四边形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）延长HA交FD于T，
∵AB=AD，HB=AF，∠ABH=∠DAH=180°-45°=135°，
∴△ABH≌△DAF（SAS），
∴AH=DF，∠AHE=∠AFD，
又∵∠HAE=∠FAT，
∴180°-∠FAT-∠AFD=180°-∠HAE-∠AHE，
即∠FTA=∠AEH=90°，
∴AH⊥DF，
故答案为：AH=DF，AH⊥DF（相等；互相垂直）；
（3）①连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE=CE，∠MBE=∠NCE=45°，∠BEC=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠FEH=90°，
∴∠MEB+∠BEN=∠NEC+∠BEN，
∴∠MEB=∠NEC，
∴△MBE≌△NCE（ASA），
∴BM=CN，
∵AM=2，AB=6，
∴BM=CN=4，BN=2，
∴S△BMN+S△CEN= 12BN⋅BM+12CN⋅(12AB)=12×2×4+12×4×3=10；
②若α=45°，如下图：
21.（10分）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．
（1）如图1，若AD＝23、DE＝2，当∠ADG＝150°时，求AG的长；
（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE之间有何等量关系？并利用图2加以证明．
【答案】（1）解：如图1，作GH⊥AD交AD的延长线于H，
∵∠ADG＝150°，
∴∠HDG＝30°，
∴HG＝12DG＝1，
∴DH=DG2−HG2=3，
∴AH＝AD+DH＝33，
∴AG=AH2+HG2=(33)2+12=27；
故答案为：27．
（2）解：猜想：DM＝12CE，
证明：如图2，延长DM到点N，使DM＝NM，连接NG，
在△ADM与△GNM中，AM=GM∠AMD=∠GMNDM=NM，
∴△ADM≌△GNM（SAS），
∴AD＝GN，∠DAM＝∠NGM，
∵AD＝DC，
∴GN＝DC，
∵∠DAM＝∠NGM，
∴AD∥GN，
∴∠ADG+∠EDC＝∠ADC+∠EDG＝180°，
∴∠DGN＝∠EDC，
∴△DGN≌△EDC（SAS），
∴DN＝EC，
∵DN＝DM+MN＝2DM，
∴DM＝12EC．
北师大版数学九上 1.3正方形的性质与判定单元测试提升卷
B卷
一． 选择题（共30分）
1．一张正方形纸片按如图①、图②依次对折后，再按如图③虚线裁剪，最后把得到的图④展开铺平，所得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2.图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位．
A．12 B．24 C．32 D．36
【答案】D
【详解】
如解图，由题意知是等腰直角三角形，设，
∵，
∴，
∵最大正方形的面积．
故选：D．
3．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】
根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形中，
∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵点O为MN的中点
∴OM=ON，
∵∠MPN=90°，
∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，
，
故选：C．
4.如图，在正方形ABCD内，，连接EF，若，两块阴影部分的面积和为4，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．17 B．24 C．26 D．32
【答案】B
【分析】
如图延长BF交CE于N，延长DE交AF于M，只要证明四边形MENF是正方形，即可解决问题．
【详解】
解：如图延长BF交CE于N，延长DE交AF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，∠BAF=∠DCE，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠ABF+∠CBN=90°，
∠BAF=∠CBN，同理∠ABF=∠BCN，
∴△ABF≌△CBN，同理△ABF≌△DAM，
∴AF=BN=CE=DM，BF=CN=DE=AM，
∴EM=MF=FN=NE，
∴四边形MENF是菱形，
∵∠FNE=90°，
∴四边形MENF是正方形，
∵EF=，
∴正方形MENF的面积为=16，
∴正方形ABCD的面积=4×2+16=24，
故选：B．
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：①添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成为正方形；
②添加AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成为正方形；
③添加∠ACB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=B∠AC=45°，
∴AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成为正方形；
④∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，则AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成为正方形；
综上，①②③符合题意，
故答案为：B．
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方形．下面组合错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
C、由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意；
D、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
7．下列命题正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
B．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相平分的矩形是正方形
【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是假命题；
故答案为：C.
8.如图四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上，∠BAE＝30°.若线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AE=AFAB=AD ，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠BAE=30°，
∴∠DAF=30°，
∴∠EAF=90°-∠BAE-∠DAF=90°-30°-30°=30°，
∴旋转角为30°.
故答案为：A.
9.如图，在平行四边形 ABCD 中， AD=2AB=2 ， ∠ABC=60° ， E ， F 是对角线 BD 上的动点，且 BE=DF ， M ， N 分别是边 AD ，边 BC 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 MENF ；
②存在无数个矩形 MENF ；
③存在无数个菱形 MENF ；
④存在无数个正方形 MENF ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，连接MN，MF，NF，ME，NE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，OB=OD
∴∠MAO=∠NCO，
在△MAO和△NCO中
∠MAO=∠NCOAO=CO∠AOM=∠CON
∴△MAO≌△NCO（ASA）
∴OM=ON；
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，
∴当OM=ON时四边形MENF一定是平行四边形，
∴ 存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
∵四边形MENF是平行四边形，
∴当MN=EF时，四边形MENF是矩形，
∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
∵点E，F是BD上的动点，
∴只需MN⊥EF，OM=ON，
就存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，OM=ON，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④不符合题意；
∴正确结论的个数有3个.
故答案为：C.
10.已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的角平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF=1，则AB=（ ）
A．2+2 B．22−2 C．4−22 D．22+2
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，作FH∥BC交BD于点H.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，OB=OC，∠BOC=90°
∵FH∥BC，
∴∠OHF=∠OBC，∠OFH=∠OCB，
∴∠OHF=∠OFH，
∴OH=OF=1，FH=12+12=2，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF=∠FBC=∠BFH，
∴BH=FH=2，
∴OB=OC=1+2，
∴AB=BC=2OB=2+2.
故答案为：A.
二． 填空题（共24分）
11.如图，四边形ABCD和四边形OMNP都是边长为4的正方形，点O是正方形ABCD对角线的交点，正方形OMNP绕点O旋转过程中分别交AB，BC于点E，F，则四边形OEBF的面积为 ．
【答案】4
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，过点O作OH⊥BC，垂足为H，
∵四边形ABCD的对角线交点为O，
∴OA=OC，∠ABC=90°，AB=BC，
∴OG∥BC，OH∥AB，
∴四边形OGBH是矩形，OG=OH=12AB=12CB，∠GOH=90°，
∴S四边形OGBH=OG2=(12AB)2=(12×4)2=4，
∵∠FOH+∠FOG=90°，∠EOG+∠FOG=90°，
∴∠FOH=∠EOG，
∵∠OGE=∠OHF=90°，OG=OH，
∴△OGE≌△OHF，
∴S△OGE=S△OHF，
∴S四边形OGBH=S四边形OEBF，
∴S四边形OEBF=4，
故答案为：4．
12.如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形.
【答案】AC⊥BD，AC=BD， AC⊥BD
【知识点】正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形.
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF= 12 AC，GH∥AC，GH= 12 AC，EH∥BD，EH= 12 BD，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，
∴四边形EFGH为正方形.
故答案为：AC⊥BD，AC=BD.
13.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且 ∠EAF=45° ，AE交BD于M点，AF交BD于N点.下列结论：①BM2+DN2=MN2 ；②AE=AF ；③EA平分 ∠BEF ；④△CEF 的周长等于 2AB ，其中正确结论的序号是 .（把你认为所有正确的都填上）
【答案】①③④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，
∵∠EAF=45° ，
∴∠EAF=∠HAF=45° ，
∵△ABM 绕点A逆时针旋转 90° 得到△ADH ，
∴BM=DH ， AH=AM ， ∠ABM=∠ADH ，
又∵AN=AN ，
∴△AMN≌△AHN ，
∴MN=HN ，
而 ∠HDN=∠HDA+∠ADB=∠MBA+∠ADB=45°+45°=90° ，
∴在 Rt△HDN 中， DH2+DN2=HN2 ，
∴BM2+DN2=MN2 ，
故①正确；
②由题知 AB=AD ， ∠ABE=∠ADF=90° ，只有两个条件不能得到 △ABE≌△ADF ，
∴AE≠AF ，
故②错误；
③将 △ABE 绕点A逆时针旋转 90° 得到△ADG ，
∵∠ABE=∠ADG=90° ， ∠ADF=90° ，
∴∠GDF=∠ADF+∠ADG=90°+90°=180° ，
∴点G、D、F三点共线，
由旋转可得 BE=DG ， AE=AG ， ∠BAE=∠DAF ，
∵∠EAF=45° ，
∴∠EAF=∠GAF=45° ， AE=AG ，
又∵AF=AF ，
∴△AEF≌△AGF ，
∴∠AEF=∠AGF
又∵∠AEB=∠AGF ，
∴∠AEF=∠AEB ，
∴EA平分 ∠BEF ；
④由③可知 △AEF≌△AGF ，
∴EF=GF ，
∵GF=GD+DF=BE+DF ， AB=BC=CD ，
∴△CEF 的周长 =CE+EF+CF
=CE+BE+DF+CF
=BC+CD
=2AB ，
故④正确；
综上所述：正确的有①③④.
故答案为：①③④.
14.如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α(0°<α<180°)得到线段AD′，连接BD′、CD′．若△D′BC是等腰三角形，则α= ．
【答案】30°或60°或150°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图1所示，
当D′B=BC时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，
由旋转的性质得AD′=AD=AB=BC=DB′，∠DAB=90°，
∴△ABD′是等边三角形，
∴∠BAD′=60∘，
∴∠DAD′=150∘即α=150∘；
如图2所示，
当D′B=BC时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，
由旋转的性质得AD′=AD=AB=BC=DB′，∠DAB=90°，
∴△ABD′是等边三角形，
∴∠BAD′=60∘，
∴∠DAD′=30∘即α=30∘；
如图3所示，
当D′B=D′C时，连接DD′，
∴D′在线段BC的垂直平分线上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴D′在线段AD的垂直平分线上，
∴D′D=AD′
由旋转的性质得AD′=AD=DD′，
∴△ADD′是等边三角形，
∴∠DAD′=60∘即α=60∘；
当CD′=BC=AD′时，此种情况不存在，
∴综上所述，α的值为30°或60°或150°
故答案为：30°或60°或150°．
15.如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 、 F 分别是边 BC 、 CD 上的动点.且 BE=CF ，连接 BF 、 DE ，则 BF+DE 的最小值为 .
【答案】45
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图1，连接 AE ，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90° .
又∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴AE=BF，
∴ BF+DE 的最小值等于 AE+DE 的最小值.
如图2，作点A关于 BC 的对称点H，连接 BH ，
则A、B、H三点共线，连接 DH， DH 与 BC 的交点即为所求的点E.根据对称性可知 AE=HE，
∴AE+DE=HE+DE=DH .
在 Rt△ADH 中， DH=AH2+AD2=82+42=45 ，
∴BF+DE 的最小值为 45 .
故答案为： 45.
16.如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形 A1B1C1D1 ；把正方形 A1B1C1D1 边长按原法延长一倍得到正方形 A2B2C2D2 （如图（2））；以此下去…，则正方形 A4B4C4D4 的面积为 ．
【答案】625
【知识点】正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：连接AC， B1C ，如图（1），
∵AB=BB1 ， BC=CC1 ，
∴S△ABC=S△BB1C ， S△BB1C=S△CC1B1 ，
∴S△BB1C=2S△ABC=S正方形ABCD=1 ，
∴S正方形A1B1C1D1=5S正方形ABCD=5 ，
同理可得 S正方形A2B2C2D2=5S正方形A1B1C1D1=52 ，
∴正方形 A4B4C4D4 的面积 =54=625 ．
故答案为：625．
三。解答题（共46分）
17.（8分）如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN，联结FN，EC. 求证：FN=EC.
【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，
AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°，
∵AB=2BC，即BC=BN= 12 AB，
∴BN= 12 BE，即N为BE的中点，
∴EN=NB=BC，
在△△FNE和△ECB中，
EF=EC∠FEN=∠EBCEN=BC
∴△FNE≌△ECB，
∴FN=EC.
18.（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA.
求证：四边形AECF是正方形.
【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OE=OA
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF
又∵AC⊥EF
∴ 四边形DEBF是正方形.
19.（10分）如图，正方形和正方形的边长分别为和，正方形绕点旋转．连接．
（1）猜想与的关系，并证明你的结论；
（2）用含的式子表示．
【答案】（1），见解析；（2）
【详解】
解：（1）．
证明：如解图，连接，且与的交点为与的交点为．
∵四边形和四边形为正方形，
，
．
．
．
，，
．
即．
（2），
∴在和中，，
．
．
．
．
20.（10分）问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图①，边长为6的正方形ABCD的对角线相交于点E，分别延长EA到点F，EB到点H，使AF＝BH，再以EF，EH为邻边做正方形EFGH，连接AH，DF；
（1）解决问题：AH与DF之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）深入研究：如图②正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD绕点E顺时针方向旋转α°，判断AH与DF的关系，并证明：
（3）拓展延伸：如图③，在正方形ABCD旋转过程中（0 º＜α＜90 º），AB，BC分别交EF，EH于点M，N，连接MN，EC.
①当AM＝2时，直接写出S△BMN＋S△CEN的值；
②若α＝45°，在不添加字母的情况下，请你在图中再找两个点，和点M，N所围成的四边形是特殊四边形，直接写出这个特殊四边形.（写两个，不需要证明，需要指明是什么特殊四边形）
【答案】（1）相等；互相垂直
（2）解：AH⊥DF，AH=DF，
证明：连接AE、DE，
∵∠FEA+∠AED=∠FEA+∠FEH，
即：∠FED=∠AEH，
又∵EH=EF，EA=ED，
∴△FED≌△AEH（SAS），
∴DF=AH，
∵∠AHE+∠HOE=90°，
∴∠EFD+∠AOF=90°，
∴FD⊥AH；
（3）解：①S△BMN+S△CEN=10；②答案不唯一，四边形BMEN是正方形；四边形NMEC是平行四边形；四边形NMAE是平行四边形.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；平行四边形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）延长HA交FD于T，
∵AB=AD，HB=AF，∠ABH=∠DAH=180°-45°=135°，
∴△ABH≌△DAF（SAS），
∴AH=DF，∠AHE=∠AFD，
又∵∠HAE=∠FAT，
∴180°-∠FAT-∠AFD=180°-∠HAE-∠AHE，
即∠FTA=∠AEH=90°，
∴AH⊥DF，
故答案为：AH=DF，AH⊥DF（相等；互相垂直）；
（3）①连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE=CE，∠MBE=∠NCE=45°，∠BEC=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠FEH=90°，
∴∠MEB+∠BEN=∠NEC+∠BEN，
∴∠MEB=∠NEC，
∴△MBE≌△NCE（ASA），
∴BM=CN，
∵AM=2，AB=6，
∴BM=CN=4，BN=2，
∴S△BMN+S△CEN= 12BN⋅BM+12CN⋅(12AB)=12×2×4+12×4×3=10；
②若α=45°，如下图：
21.（10分）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．
（1）如图1，若AD＝23、DE＝2，当∠ADG＝150°时，求AG的长；
（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE之间有何等量关系？并利用图2加以证明．
【答案】（1）解：如图1，作GH⊥AD交AD的延长线于H，
∵∠ADG＝150°，
∴∠HDG＝30°，
∴HG＝12DG＝1，
∴DH=DG2−HG2=3，
∴AH＝AD+DH＝33，
∴AG=AH2+HG2=(33)2+12=27；
故答案为：27．
（2）解：猜想：DM＝12CE，
证明：如图2，延长DM到点N，使DM＝NM，连接NG，
在△ADM与△GNM中，AM=GM∠AMD=∠GMNDM=NM，
∴△ADM≌△GNM（SAS），
∴AD＝GN，∠DAM＝∠NGM，
∵AD＝DC，
∴GN＝DC，
∵∠DAM＝∠NGM，
∴AD∥GN，
∴∠ADG+∠EDC＝∠ADC+∠EDG＝180°，
∴∠DGN＝∠EDC，
∴△DGN≌△EDC（SAS），
∴DN＝EC，
∵DN＝DM+MN＝2DM，
∴DM＝12EC．
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