初中数学北师大版（2024）九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定优秀一课一练

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知识清单
知识点1．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
知识点2．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
知识点3．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
题型强化
题型一．正方形的性质
1．（2024•武进区校级二模）如图，在正方形中，，延长至，使，连接．平分交于，连接，则的长为 ．
2．（2024•麟游县开学）一张长方形纸长，如图截去了一个最大的正方形，余下的长方形纸的周长是
A．B．C．D．无法计算
3．（2024春•原阳县月考）如图，四边形是正方形，顺时针旋转一定角度后得到，点恰好落在线段上，已知，．
（1）写出图中的全等三角形．
（2）求线段的长；
（3）猜想与的位置关系并给出证明．
题型二．正方形的判定
4．（2024•南皮县三模）已知四边形是平行四边形，若，要使得四边形是正方形，则需要添加条件
A．B．C．D．
5．（2022秋•平陆县期末）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 ．（仅填序号）
6．（2024•云梦县校级一模）如图，已知矩形 中， 和 的平分线交于边上一点．点为矩形外一点，四边形为平行四边形．求证：四边形是正方形．
题型三．正方形的判定与性质
7．（2024•德阳模拟）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图，，则图2中对角线的长为
A．B．C．D．
8．（2023•武威模拟）如图，正方形的边长为2，为边的中点，点在边上，点关于直线的对称点记为，连接，，．当点在边上移动使得四边形成为正方形时，的长为 ．
9．（2023秋•礼泉县期末）如图，、、、分别是正方形四条边上的点，且．求证：四边形是正方形．
分层练习
一、单选题
1．下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（ ）
A．B．
C．D．以上都对
2．能判定一个四边形是正方形的条件是（ ）
A．对角线互相垂直平分B．对角线互相垂直平分且相等
C．对角线互相平分且相等D．对角线相等且四个角都是直角
3．四边形的对角线和相交于点，设有下列条件：①；②；③与互相平分；④矩形；⑤菱形；⑥正方形，则下列推理成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）
A．3B．6C．D．
5．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（ ）

A．0.5B．1C．2D．无法确定
6．如图，在边长为4的正方形中，点、点分别是、上的点，连接、、，满足．若，则的长为（ ）

A．B．C．D．
7．如图，正方形的边长为1；将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点E，F分别在正方形的边的延长线和边上，且，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形内一点连接，过作与延长线交于点，连接，，下列结论中：①；②；③点到的距离为；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，DC＝14 cm，AD＝6 cm，点P从点A出发沿AB以4 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．设运动时间为t s，则t＝ 时，P，Q两点之间的距离是10 cm．
13．如图，E，F，G，H分别是矩形各边的中点，，，则四边形的面积是 ．
14．如图，，，， ．
15．如图，在矩形中，交于点O，且，，将绕点C顺时针旋转至，连接，且、分别为、的中点，则四边形的面积是 ．
16．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论：
①四边形一定是矩形；
②四边形可能是菱形；
③连接，四边形不可能是正方形；
④当G为中点时，是等腰三角形．
其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
17．如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 ．
18．如图，在中，，，过点作，且．点在边上，以为直角边作等腰，且．连接，当时，的面积是 ．
三、解答题
19．如图，是正方形的对角线，经过旋转后到达的位置．
(1)指出它的旋转中心；
(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；
(3)写出点B的对应点．
20．如图，绕正方形的顶点逆时针旋转得到，若，求正方形的面积．
21．在平面直角坐标系中，分别描出点，，，．

(1)试判断四边形的形状；
(2)若两点不动，你能通过变动点的位置使四边形成为正方形吗？若能，请写出变动后的点的坐标．
22．如图，正方形中，是对角线上的一个动点（不与、重合），连结，将绕点顺时针旋转到，连结交于点，延长线与边交于点．
(1)连结，求证：；
(2)若正方形的边长为，且，求线段的长．
23．如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．
（1）求证AE＝MN；
（2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；
（3）如图3，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝6，请直接写出AC′的长________．
24．如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接．
(1)求的度数．
(2)如图2，E为的中点，连接．
①求证：；
②若正方形边长为4，求线段的长．
25．已知正方形，点在边上（不与两端点重合）．
(1)如图，点在对角线上，连接、，若，，，求的长．
(2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作交于点，延长交于点．求证：．
26．在正方形中，E是边上一点．
(1)将绕点A顺时针旋转得到，如图①所示，观察可知，与相等的线段是______，＝______．
(2)如图2，在正方形中，P，Q分别是，边上的点，且，猜想线段，，的数量关系，并证明；
(3)在图2中，连接分别交，于点M，N，请写出，，的数量关系.