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高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律精品达标测试
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律精品达标测试，共7页。
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知向量|a|＝2，|b|＝eq \r(,3)，且向量a与b的夹角为150°，则a·b的值为( )
A．－eq \r(,3) B．eq \r(,3) C．－3 D．3
C [向量|a|＝2，|b|＝eq \r(,3)，且向量a与b的夹角为150°，
则a·b＝|a||b|cs 150°＝2×eq \r(,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,3),2)))＝－3.故选C．]
2.在△ABC中，∠ BAC＝eq \f(π,3)，AB＝2，AC＝3，eq \(CM,\s\up8(→))＝2eq \(MB,\s\up8(→))，则eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝( )
A．－eq \f(11,3) B．－eq \f(4,3)
C．eq \f(4,3) D．eq \f(11,3)
C [因为eq \(AM,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CM,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up8(→))，
所以eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AC,\s\up8(→))＋\f(2,3)\(AB,\s\up8(→))))·(eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)))＝eq \f(1,3)×32－eq \f(2,3)×22＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×2×3cs eq \f(π,3)＝eq \f(4,3).]
3.已知向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)
C [因为向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，所以a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3，设a与b的夹角为θ，得cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,2)，因为θ∈[0, π]，所以θ＝eq \f(π,3).]
4．设单位向量e1，e2的夹角为eq \f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a上投影的数量为( )
A．－eq \f(3\r(3),2) B．－eq \r(3)
C．eq \r(3) D．eq \f(3\r(3),2)
A [因为单位向量e1，e2的夹角为eq \f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，得
e1·e2＝1×1×cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，|a|＝eq \r(e1＋2e22)＝eq \r(e\\al(2,1)＋4e\\al(2,2)＋4e1·e2)＝eq \r(3)，
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2eeq \\al(2,1)－6eeq \\al(2,2)＋e1·e2＝－eq \f(9,2)，因此b在a上投影的数量为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－\f(9,2),\r(3))＝－eq \f(3\r(3),2)，故选A．]
5．已知平行四边形ABCD中，|eq \(AB,\s\up8(→))|＝6，|eq \(AD,\s\up8(→))|＝4，若点M，N满足eq \(BM,\s\up8(→))＝3eq \(MC,\s\up8(→))，eq \(DN,\s\up8(→))＝2eq \(NC,\s\up8(→))，则eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(NM,\s\up8(→))＝( )
A．20 B．15
C．9 D．6
C [如图所示，由题设知，eq \(AM,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BM,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(NM,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))－eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up8(→))，
∴eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(NM,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\f(3,4)\(AD,\s\up8(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up8(→))－\f(1,4)\(AD,\s\up8(→))))＝eq \f(1,3)|eq \(AB,\s\up8(→))|2－eq \f(3,16)|AD|2＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)×36－eq \f(3,16)×16＝9.]
6．已知非零向量a，b满足|a＋2b|＝eq \r(,7)|a|，a⊥(a－2b)，则向量a，b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)
C [由|a＋2b|＝eq \r(,7)|a|，得a2＋4a·b＋4b2＝7a2，
即a·b＝eq \f(3,2)a2－b2.
由a⊥(a－2b)，得a·(a－2b)＝0，即a·b＝eq \f(1,2)a2.
所以eq \f(3,2)a2－b2＝eq \f(1,2)a2，所以|a|＝|b|≠0，
所以向量a，b的夹角θ满足cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(1,2)，
又θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,3).故选C．]
二、填空题
7．已知平面向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，且|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，在△ABC中，eq \(AB,\s\up8(→))＝2a＋2b，eq \(AC,\s\up8(→))＝2a－6b，D为BC中点，则|eq \(AD,\s\up8(→))|＝________.
2 [因为eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))＝eq \f(1,2)(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|eq \(AD,\s\up8(→))|2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2×2×eq \r(3)×cs eq \f(π,6)＋4)＝4，则|eq \(AD,\s\up8(→))|＝2.]
8．如图，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，eq \(AB,\s\up8(→))＝4eq \(AC,\s\up8(→))，则eq \(OC,\s\up8(→))·(eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→)))＝________.
－eq \f(1,2) [由已知得|eq \(AB,\s\up8(→))|＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up8(→))|＝eq \f(\r(2),4)，则eq \(OC,\s\up8(→))·(eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→)))＝(eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))·eq \(AB,\s\up8(→))
＝eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝1×eq \r(2)cs eq \f(3π,4)＋eq \f(\r(2),4)×eq \r(2)＝－eq \f(1,2).]
9．(2019·南阳高一检测)已知向量|eq \(OA,\s\up8(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up8(→))|＝eq \r(,3)，eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30 °，设eq \(OC,\s\up8(→))＝meq \(OA,\s\up8(→))＋neq \(OB,\s\up8(→))，(m, n∈R)，则eq \f(m,n)＝________.
3 [|eq \(OA,\s\up8(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up8(→))|＝eq \r(,3)，eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，
所以OA⊥OB，
∴|eq \(AB,\s\up8(→))|＝2＝2|eq \(OA,\s\up8(→))|，
∴∠OBC＝30°，
又因为∠AOC＝30°，所以eq \(OC,\s\up8(→))⊥eq \(AB,\s\up8(→))，
故(meq \(OA,\s\up8(→))＋neq \(OB,\s\up8(→)))·(eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→)))＝0，
从而－meq \(OA,\s\up8(→))2＋neq \(OB,\s\up8(→))2＝0，
所以3n－m＝0，即m＝3n，
所以eq \f(m,n)＝3.]
三、解答题
10．利用向量法证明直径对的圆周角为直角．
已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点．求证：∠ ACB＝90°.
[解] 设圆心为O，连接OC，则|eq \(CO,\s\up8(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up8(→))|，eq \(CO,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→)))，
所以|eq \(CO,\s\up8(→))|2＝eq \f(1,4)|eq \(AB,\s\up8(→))|2，eq \(CO,\s\up8(→))2＝eq \f(1,4)(eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→)))2，得|eq \(AB,\s\up8(→))|2＝(eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→)))2，
即(eq \(CB,\s\up8(→))－eq \(CA,\s\up8(→)))2＝(eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→)))2，得eq \(CB,\s\up8(→))2＋eq \(CA,\s\up8(→))2－2eq \(CB,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝eq \(CB,\s\up8(→))2＋eq \(CA,\s\up8(→))2＋2eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))
所以4eq \(CB,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝0，eq \(CB,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝0，所以eq \(CB,\s\up8(→))⊥eq \(CA,\s\up8(→))，
即∠ ACB＝90°.
[等级过关练]
1.已知eq \(AB,\s\up8(→))和eq \(AC,\s\up8(→))是平面内的两个单位向量，它们的夹角为60°，则2eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))与eq \(CA,\s\up8(→))的夹角是( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
C [设2eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))与eq \(CA,\s\up8(→))的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(2\(AB,\s\up8(→))－\(AC,\s\up8(→))·\(CA,\s\up8(→)),|2\(AB,\s\up8(→))－\(AC,\s\up8(→))|·|\(CA,\s\up8(→))|)，又eq \(AB,\s\up8(→))和eq \(AC,\s\up8(→))是平面内的两个单位向量，则|eq \(AB,\s\up8(→))|＝1，|eq \(AC,\s\up8(→))|＝1，则(2eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))·eq \(CA,\s\up8(→))＝－(2eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))·eq \(AC,\s\up8(→))＝－2eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))2＝－2|eq \(AB,\s\up8(→))|·|eq \(AC,\s\up8(→))|cs 60°＋|eq \(AC,\s\up8(→))|2＝0，所以cs θ＝0，又0°≤θ≤180°，所以θ＝90°，故选C．]
2.(2019·沈阳高一检测)已知向量eq \(OA,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→))的夹角为θ，|eq \(OA,\s\up8(→))|＝2，|eq \(OB,\s\up8(→))|＝1，eq \(OP,\s\up8(→))＝teq \(OA,\s\up8(→))，eq \(OQ,\s\up8(→))＝(1－t)eq \(OB,\s\up8(→))，t∈R, |eq \(PQ,\s\up8(→))|在t＝t0时取得最小值，当0
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))
C [因为向量eq \(OA,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→))的夹角为θ，|eq \(OA,\s\up8(→))|＝2，|eq \(OB,\s\up8(→))|＝1，所以eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝2cs θ，
eq \(PQ,\s\up8(→))＝eq \(OQ,\s\up8(→))－eq \(OP,\s\up8(→))＝(1－t)eq \(OB,\s\up8(→))－teq \(OA,\s\up8(→))，得|eq \(PQ,\s\up8(→))|2＝eq \(PQ,\s\up8(→))2＝(1－t)2eq \(OB,\s\up8(→))2－2t(1－t)eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＋t2eq \(OA,\s\up8(→))2＝(5＋4cs θ)t2－(2＋4cs θ)t＋1，由二次函数知，当上式取最小值时，所以t0＝eq \f(1＋2cs θ ,5＋4cs θ )，由0
解得－eq \f(1,2)
3.已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为1，若eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＋2eq \(CO,\s\up8(→))＝0，且|eq \(AC,\s\up8(→))|＝|eq \(OC,\s\up8(→))|，则eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝________.
－3 [如图，由eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＋2eq \(CO,\s\up8(→))＝0，得eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→))＝2eq \(CO,\s\up8(→))，所以O是AB的中点，因为△ABC外接圆的圆心为O，所以AB是△ABC外接圆的直径，∠ACB＝90°，且|eq \(AC,\s\up8(→))|＝|eq \(OC,\s\up8(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up8(→))|＝1，所以∠ABC＝30°， |eq \(BC,\s\up8(→))|＝eq \r(3).
所以eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs 150°＝2×eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝－3.
]
4．对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：a*b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b，当a，b不共线时，,|a－b|，当a，b共线时))(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a*b＝b*a；
②λ(a*b)＝(λa)*b(λ∈R)；
③(a＋b)*c＝a*c＋b*c；
④若e是单位向量，则|a*e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
①④ [当a，b共线时，a*b＝|a－b|＝|b－a|＝b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故①是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a*b)＝0，(λa)*b＝|0eq \(－)b|≠0，故②是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)*c＝|a＋b－c|，a*c＋b*c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e与a不共线时，|a*e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a*e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④ .]
5．已知△ABC是边长为2的正三角形．
(1)计算|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|＋|eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→))|；
(2)若eq \(AC,\s\up8(→))－λeq \(AB,\s\up8(→))与向量eq \(AC,\s\up8(→))的夹角大于90°，求实数λ的取值范围．
[解](1)因为 |eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|2＝(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))2
＝eq \(AB,\s\up8(→))2＋eq \(AC,\s\up8(→))2＋2eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝4＋4＋2×2×2×eq \f(1,2)＝12，
|eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→))|2＝(eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→)))2
＝eq \(AB,\s\up8(→))2＋eq \(BC,\s\up8(→))2－2eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝4＋4－2×2×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝12，
所以|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|＋|eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→))|＝4eq \r(3).
(2)因为eq \(AC,\s\up8(→))－λeq \(AB,\s\up8(→))与向量eq \(AC,\s\up8(→))的夹角大于90°，所以(eq \(AC,\s\up8(→))－λeq \(AB,\s\up8(→)))·eq \(AC,\s\up8(→))<0，即|eq \(AC,\s\up8(→))|2－λ|eq \(AC,\s\up8(→))|·|eq \(AB,\s\up8(→))|cs 60°<0，解得λ>2.所以实数λ的取值范围是(2，＋∞).
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知向量|a|＝2，|b|＝eq \r(,3)，且向量a与b的夹角为150°，则a·b的值为( )
A．－eq \r(,3) B．eq \r(,3) C．－3 D．3
C [向量|a|＝2，|b|＝eq \r(,3)，且向量a与b的夹角为150°，
则a·b＝|a||b|cs 150°＝2×eq \r(,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,3),2)))＝－3.故选C．]
2.在△ABC中，∠ BAC＝eq \f(π,3)，AB＝2，AC＝3，eq \(CM,\s\up8(→))＝2eq \(MB,\s\up8(→))，则eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝( )
A．－eq \f(11,3) B．－eq \f(4,3)
C．eq \f(4,3) D．eq \f(11,3)
C [因为eq \(AM,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CM,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up8(→))，
所以eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AC,\s\up8(→))＋\f(2,3)\(AB,\s\up8(→))))·(eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)))＝eq \f(1,3)×32－eq \f(2,3)×22＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×2×3cs eq \f(π,3)＝eq \f(4,3).]
3.已知向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)
C [因为向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，所以a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3，设a与b的夹角为θ，得cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,2)，因为θ∈[0, π]，所以θ＝eq \f(π,3).]
4．设单位向量e1，e2的夹角为eq \f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a上投影的数量为( )
A．－eq \f(3\r(3),2) B．－eq \r(3)
C．eq \r(3) D．eq \f(3\r(3),2)
A [因为单位向量e1，e2的夹角为eq \f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，得
e1·e2＝1×1×cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，|a|＝eq \r(e1＋2e22)＝eq \r(e\\al(2,1)＋4e\\al(2,2)＋4e1·e2)＝eq \r(3)，
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2eeq \\al(2,1)－6eeq \\al(2,2)＋e1·e2＝－eq \f(9,2)，因此b在a上投影的数量为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－\f(9,2),\r(3))＝－eq \f(3\r(3),2)，故选A．]
5．已知平行四边形ABCD中，|eq \(AB,\s\up8(→))|＝6，|eq \(AD,\s\up8(→))|＝4，若点M，N满足eq \(BM,\s\up8(→))＝3eq \(MC,\s\up8(→))，eq \(DN,\s\up8(→))＝2eq \(NC,\s\up8(→))，则eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(NM,\s\up8(→))＝( )
A．20 B．15
C．9 D．6
C [如图所示，由题设知，eq \(AM,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BM,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(NM,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))－eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up8(→))，
∴eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(NM,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\f(3,4)\(AD,\s\up8(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up8(→))－\f(1,4)\(AD,\s\up8(→))))＝eq \f(1,3)|eq \(AB,\s\up8(→))|2－eq \f(3,16)|AD|2＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)×36－eq \f(3,16)×16＝9.]
6．已知非零向量a，b满足|a＋2b|＝eq \r(,7)|a|，a⊥(a－2b)，则向量a，b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)
C [由|a＋2b|＝eq \r(,7)|a|，得a2＋4a·b＋4b2＝7a2，
即a·b＝eq \f(3,2)a2－b2.
由a⊥(a－2b)，得a·(a－2b)＝0，即a·b＝eq \f(1,2)a2.
所以eq \f(3,2)a2－b2＝eq \f(1,2)a2，所以|a|＝|b|≠0，
所以向量a，b的夹角θ满足cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(1,2)，
又θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,3).故选C．]
二、填空题
7．已知平面向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，且|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，在△ABC中，eq \(AB,\s\up8(→))＝2a＋2b，eq \(AC,\s\up8(→))＝2a－6b，D为BC中点，则|eq \(AD,\s\up8(→))|＝________.
2 [因为eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))＝eq \f(1,2)(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|eq \(AD,\s\up8(→))|2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2×2×eq \r(3)×cs eq \f(π,6)＋4)＝4，则|eq \(AD,\s\up8(→))|＝2.]
8．如图，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，eq \(AB,\s\up8(→))＝4eq \(AC,\s\up8(→))，则eq \(OC,\s\up8(→))·(eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→)))＝________.
－eq \f(1,2) [由已知得|eq \(AB,\s\up8(→))|＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up8(→))|＝eq \f(\r(2),4)，则eq \(OC,\s\up8(→))·(eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→)))＝(eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))·eq \(AB,\s\up8(→))
＝eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝1×eq \r(2)cs eq \f(3π,4)＋eq \f(\r(2),4)×eq \r(2)＝－eq \f(1,2).]
9．(2019·南阳高一检测)已知向量|eq \(OA,\s\up8(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up8(→))|＝eq \r(,3)，eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30 °，设eq \(OC,\s\up8(→))＝meq \(OA,\s\up8(→))＋neq \(OB,\s\up8(→))，(m, n∈R)，则eq \f(m,n)＝________.
3 [|eq \(OA,\s\up8(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up8(→))|＝eq \r(,3)，eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，
所以OA⊥OB，
∴|eq \(AB,\s\up8(→))|＝2＝2|eq \(OA,\s\up8(→))|，
∴∠OBC＝30°，
又因为∠AOC＝30°，所以eq \(OC,\s\up8(→))⊥eq \(AB,\s\up8(→))，
故(meq \(OA,\s\up8(→))＋neq \(OB,\s\up8(→)))·(eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→)))＝0，
从而－meq \(OA,\s\up8(→))2＋neq \(OB,\s\up8(→))2＝0，
所以3n－m＝0，即m＝3n，
所以eq \f(m,n)＝3.]
三、解答题
10．利用向量法证明直径对的圆周角为直角．
已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点．求证：∠ ACB＝90°.
[解] 设圆心为O，连接OC，则|eq \(CO,\s\up8(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up8(→))|，eq \(CO,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→)))，
所以|eq \(CO,\s\up8(→))|2＝eq \f(1,4)|eq \(AB,\s\up8(→))|2，eq \(CO,\s\up8(→))2＝eq \f(1,4)(eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→)))2，得|eq \(AB,\s\up8(→))|2＝(eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→)))2，
即(eq \(CB,\s\up8(→))－eq \(CA,\s\up8(→)))2＝(eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→)))2，得eq \(CB,\s\up8(→))2＋eq \(CA,\s\up8(→))2－2eq \(CB,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝eq \(CB,\s\up8(→))2＋eq \(CA,\s\up8(→))2＋2eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))
所以4eq \(CB,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝0，eq \(CB,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝0，所以eq \(CB,\s\up8(→))⊥eq \(CA,\s\up8(→))，
即∠ ACB＝90°.
[等级过关练]
1.已知eq \(AB,\s\up8(→))和eq \(AC,\s\up8(→))是平面内的两个单位向量，它们的夹角为60°，则2eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))与eq \(CA,\s\up8(→))的夹角是( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
C [设2eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))与eq \(CA,\s\up8(→))的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(2\(AB,\s\up8(→))－\(AC,\s\up8(→))·\(CA,\s\up8(→)),|2\(AB,\s\up8(→))－\(AC,\s\up8(→))|·|\(CA,\s\up8(→))|)，又eq \(AB,\s\up8(→))和eq \(AC,\s\up8(→))是平面内的两个单位向量，则|eq \(AB,\s\up8(→))|＝1，|eq \(AC,\s\up8(→))|＝1，则(2eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))·eq \(CA,\s\up8(→))＝－(2eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))·eq \(AC,\s\up8(→))＝－2eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))2＝－2|eq \(AB,\s\up8(→))|·|eq \(AC,\s\up8(→))|cs 60°＋|eq \(AC,\s\up8(→))|2＝0，所以cs θ＝0，又0°≤θ≤180°，所以θ＝90°，故选C．]
2.(2019·沈阳高一检测)已知向量eq \(OA,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→))的夹角为θ，|eq \(OA,\s\up8(→))|＝2，|eq \(OB,\s\up8(→))|＝1，eq \(OP,\s\up8(→))＝teq \(OA,\s\up8(→))，eq \(OQ,\s\up8(→))＝(1－t)eq \(OB,\s\up8(→))，t∈R, |eq \(PQ,\s\up8(→))|在t＝t0时取得最小值，当0
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))
C [因为向量eq \(OA,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→))的夹角为θ，|eq \(OA,\s\up8(→))|＝2，|eq \(OB,\s\up8(→))|＝1，所以eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝2cs θ，
eq \(PQ,\s\up8(→))＝eq \(OQ,\s\up8(→))－eq \(OP,\s\up8(→))＝(1－t)eq \(OB,\s\up8(→))－teq \(OA,\s\up8(→))，得|eq \(PQ,\s\up8(→))|2＝eq \(PQ,\s\up8(→))2＝(1－t)2eq \(OB,\s\up8(→))2－2t(1－t)eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＋t2eq \(OA,\s\up8(→))2＝(5＋4cs θ)t2－(2＋4cs θ)t＋1，由二次函数知，当上式取最小值时，所以t0＝eq \f(1＋2cs θ ,5＋4cs θ )，由0
解得－eq \f(1,2)
3.已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为1，若eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＋2eq \(CO,\s\up8(→))＝0，且|eq \(AC,\s\up8(→))|＝|eq \(OC,\s\up8(→))|，则eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝________.
－3 [如图，由eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＋2eq \(CO,\s\up8(→))＝0，得eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→))＝2eq \(CO,\s\up8(→))，所以O是AB的中点，因为△ABC外接圆的圆心为O，所以AB是△ABC外接圆的直径，∠ACB＝90°，且|eq \(AC,\s\up8(→))|＝|eq \(OC,\s\up8(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up8(→))|＝1，所以∠ABC＝30°， |eq \(BC,\s\up8(→))|＝eq \r(3).
所以eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs 150°＝2×eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝－3.
]
4．对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：a*b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b，当a，b不共线时，,|a－b|，当a，b共线时))(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a*b＝b*a；
②λ(a*b)＝(λa)*b(λ∈R)；
③(a＋b)*c＝a*c＋b*c；
④若e是单位向量，则|a*e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
①④ [当a，b共线时，a*b＝|a－b|＝|b－a|＝b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故①是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a*b)＝0，(λa)*b＝|0eq \(－)b|≠0，故②是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)*c＝|a＋b－c|，a*c＋b*c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e与a不共线时，|a*e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a*e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④ .]
5．已知△ABC是边长为2的正三角形．
(1)计算|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|＋|eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→))|；
(2)若eq \(AC,\s\up8(→))－λeq \(AB,\s\up8(→))与向量eq \(AC,\s\up8(→))的夹角大于90°，求实数λ的取值范围．
[解](1)因为 |eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|2＝(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))2
＝eq \(AB,\s\up8(→))2＋eq \(AC,\s\up8(→))2＋2eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝4＋4＋2×2×2×eq \f(1,2)＝12，
|eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→))|2＝(eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→)))2
＝eq \(AB,\s\up8(→))2＋eq \(BC,\s\up8(→))2－2eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝4＋4－2×2×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝12，
所以|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|＋|eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→))|＝4eq \r(3).
(2)因为eq \(AC,\s\up8(→))－λeq \(AB,\s\up8(→))与向量eq \(AC,\s\up8(→))的夹角大于90°，所以(eq \(AC,\s\up8(→))－λeq \(AB,\s\up8(→)))·eq \(AC,\s\up8(→))<0，即|eq \(AC,\s\up8(→))|2－λ|eq \(AC,\s\up8(→))|·|eq \(AB,\s\up8(→))|cs 60°<0，解得λ>2.所以实数λ的取值范围是(2，＋∞).
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