高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换本章综合与测试优质学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换本章综合与测试优质学案设计，共12页。










平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零．平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度．


【例1】 非零向量a，b满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求a，b的夹角的余弦值．


[思路探究]


eq \x(由a＋b⊥2a－b，a－2b⊥2a＋b列出方程组)→eq \x(求出|a|2，|b|2，a·b的关系)→eq \x(利用夹角公式可求)


[解] 由(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，得


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2|a|2－|b|2＋a·b＝0，,2|a|2－2|b|2－3a·b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a|2＝－\f(5,2)a·b，,|b|2＝－4a·b，))


所以|a||b|＝－eq \r(10)a·b，


所以cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(\r(10),10).





1.如果等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，则eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(1,4)


C [设D是BC的中点，等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，


在Rt△ABD中，cs∠ABC＝eq \f(1,4)，eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs(π－∠ABC)＝2×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝－eq \f(1,2).故选C．]





1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．


2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．


3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题．


【例2】 已知向量eq \(AB,\s\up8(→))＝(4,3)，eq \(AD,\s\up8(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．


(1)求线段BD的中点M的坐标；


(2)若点P(2，y)满足eq \(PB,\s\up8(→))＝λeq \(BD,\s\up8(→))(λ∈R)，求y与λ的值．


[思路探究](1)先求B，D点的坐标，再求M点坐标；


(2)由向量相等转化为y与λ的方程求解．


[解](1)设点B的坐标为(x1，y1)．


∵eq \(AB,\s\up8(→))＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝3，,y1＝1，))


∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)．


设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，


则x2＝eq \f(3－4,2)＝－eq \f(1,2)，y2＝eq \f(1－3,2)＝－1，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1)).


(2)由已知得eq \(PB,\s\up8(→))＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，


eq \(BD,\s\up8(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．


又eq \(PB,\s\up8(→))＝λeq \(BD,\s\up8(→))，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝－7λ，,1－y＝－4λ，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,7)，,y＝\f(3,7).))





2.已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求eq \(AD,\s\up8(→)).


[解] 设D(x，y)，则eq \(AD,\s\up8(→))＝(x－2，y＋1)，


eq \(BD,\s\up8(→))＝(x－3，y－2)，eq \(BC,\s\up8(→))＝(－6，－3)，


∵eq \(AD,\s\up8(→))⊥eq \(BC,\s\up8(→))，∴eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝0，


则有－6(x－2)－3(y＋1)＝0，①


∵eq \(BD,\s\up8(→))∥eq \(BC,\s\up8(→))，则有－3(x－3)＋6(y－2)＝0，②


解由①②构成的方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))


则D点坐标为(1,1)，所以eq \(AD,\s\up8(→))＝(－1,2).


1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．


2.向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程．


3.在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．


【例3】 已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.


求证：(1)BE⊥CF；


(2)AP＝AB．


[证明] 如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB＝2，则


A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．


(1)eq \(BE,\s\up8(→))＝eq \(OE,\s\up8(→))－eq \(OB,\s\up8(→))＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，


eq \(CF,\s\up8(→))＝eq \(OF,\s\up8(→))－eq \(OC,\s\up8(→))＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)．


∵eq \(BE,\s\up8(→))·eq \(CF,\s\up8(→))＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，


∴eq \(BE,\s\up8(→))⊥eq \(CF,\s\up8(→))，即BE⊥CF.


(2)设P(x，y)，则eq \(FP,\s\up8(→))＝(x，y－1)，eq \(CF,\s\up8(→))＝(－2，－1)，


∵eq \(FP,\s\up8(→))∥eq \(CF,\s\up8(→))，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.


同理，由eq \(BP,\s\up8(→))∥eq \(BE,\s\up8(→))，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.


解得x＝eq \f(6,5)，∴y＝eq \f(8,5)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(8,5))).


∴|eq \(AP,\s\up8(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))eq \s\up8(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)))eq \s\up8(2)＝4＝|eq \(AB,\s\up8(→))|2，


∴|eq \(AP,\s\up8(→))|＝|eq \(AB,\s\up8(→))|，即AP＝AB．





3.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．


(1)求证：AB⊥AD；


(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值．


[解](1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，


∴eq \(AB,\s\up8(→))＝(1,1)，eq \(AD,\s\up8(→))＝(－3,3)，


∴eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，


∴eq \(AB,\s\up8(→))⊥eq \(AD,\s\up8(→))，即AB⊥AD．


(2)∵四边形ABCD为矩形，∴eq \(AB,\s\up8(→))⊥eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(DC,\s\up8(→)).


设C点的坐标为(x，y)，


则eq \(AB,\s\up8(→))＝(1,1)，eq \(DC,\s\up8(→))＝(x＋1，y－4)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝1，,y－4＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝5，))


∴C点的坐标为(0,5)．


从而eq \(AC,\s\up8(→))＝(－2,4)，eq \(BD,\s\up8(→))＝(－4,2)，


∴|eq \(AC,\s\up8(→))|＝2eq \r(5)，|eq \(BD,\s\up8(→))|＝2eq \r(5)，eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(BD,\s\up8(→))＝8＋8＝16.


设eq \(AC,\s\up8(→))与eq \(BD,\s\up8(→))的夹角为θ，


则cs θ＝eq \f(\(AC,\s\up8(→))·\(BD,\s\up8(→)),|\(AC,\s\up8(→))||\(BD,\s\up8(→))|)＝eq \f(16,20)＝eq \f(4,5)，


∴矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为eq \f(4,5).


给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示．②将已知条件转化而推出可用的结论．其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．


【例4】 已知eq \f(3π,4)<α<π，tan α＋eq \f(1,tan α)＝－eq \f(10,3).


(1)求tan α的值；


(2)求eq \f(5sin2 \f(α,2)＋8sin \f(α,2)cs \f(α,2)＋11cs2\f(α,2)－8,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))的值．


[思路探究](1)结合α的取值范围，求解tan α的值；


(2)利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关于tan α的式子代入求值即可．


[解](1)由tan α＋eq \f(1,tan α)＝－eq \f(10,3)，得3tan2α＋10tan α＋3＝0，即tan α＝－3或tan α＝－eq \f(1,3).


又eq \f(3π,4)<α<π，所以tan α＝－eq \f(1,3).


(2)原式＝eq \f(5×\f(1－cs α,2)＋4sin α＋11×\f(1＋cs α,2)－8,－\r(2)cs α)


＝eq \f(5－5cs α＋8sin α＋11＋11cs α－16,－2\r(2)cs α)


＝eq \f(4sin α＋3cs α,－\r(2)cs α)＝eq \f(4tan α＋3,－\r(2))＝－eq \f(5\r(2),6).





4．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))＝eq \f(5,13)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(3,5)，且0＜α＜eq \f(π,4)＜β＜eq \f(3π,4)，求cs(α＋β)的值．


[解] ∵0＜α＜eq \f(π,4)＜β＜eq \f(3π,4)，


∴eq \f(3π,4)＜eq \f(3π,4)＋α＜π，－eq \f(π,2)＜eq \f(π,4)－β＜0.


又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))＝eq \f(5,13)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(3,5)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))＝－eq \f(12,13).


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝－eq \f(4,5).


cs(α＋β)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α＋β))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(5,13)×eq \f(3,5)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＝－eq \f(33,65).


与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：


(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acs(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．


(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．


【例5】 已知向量a＝(1，－eq \r(3))，b＝(sin x，cs x)，f(x)＝a·b.


(1)若f(θ)＝0，求eq \f(2cs2 \f(θ,2)－sin θ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))的值；


(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．


[思路探究](1)可先由f(θ)＝0求tan θ，再化简eq \f(2cs2 \f(θ,2)－sin θ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))后，由tan θ值代入求值；


(2)先化简成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再据x范围求ωx＋φ范围，进而求得f(x)的值域．


[解](1)∵a＝(1，－eq \r(3))，b＝(sin x，cs x)，


∴f(x)＝a·b＝sin x－eq \r(3)cs x，


∵f(θ)＝0，即sin θ－eq \r(3)cs θ＝0，


∴tan θ＝eq \r(3)，


∴eq \f(2cs2 \f(θ,2)－sin θ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))


＝eq \f(cs θ－sin θ,sin θ＋cs θ)


＝eq \f(1－tan θ,tan θ＋1)


＝eq \f(1－\r(3),\r(3)＋1)


＝－2＋eq \r(3).


(2)f(x)＝sin x－eq \r(3)cs x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，


∵x∈[0，π]，∴x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，


当x－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,3)，即x＝0时，取最小值－eq \r(3)，


当x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(5π,6)时，取最大值2，


∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－eq \r(3)，2]．





5．已知向量m＝(sin A，cs A)，n＝(eq \r(3)，－1)，且m·n＝1，且A为锐角．


(1)求角A的大小；


(2)求函数f(x)＝cs 2x＋4cs Asin x(x∈R)的值域．


[解](1)由题意得m·n＝eq \r(3)sin A－cs A＝1，


2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))＝1，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))＝eq \f(1,2).


由A为锐角得A－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，A＝eq \f(π,3).


(2)由(1)知cs A＝eq \f(1,2)，


所以f(x)＝cs 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x


＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,2)))eq \s\up8(2)＋eq \f(3,2).


因为x∈R，所以sin x∈[－1,1]，因此，


当sin x＝eq \f(1,2)时，f(x)有最大值eq \f(3,2)，


当sin x＝－1时，f(x)有最小值－3，


所以所求函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2))).


三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．


【例6】 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(4,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝－eq \f(12,13)，且α－eq \f(β,2)和eq \f(α,2)－β分别为第二、第三象限角，求taneq \f(α＋β,2)的值．


[思路探究] 先根据α－eq \f(β,2)，eq \f(α,2)－β的范围求得其正、余弦再求正切值，最后由eq \f(α＋β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))求解．


[解] ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(4,5)，且α－eq \f(β,2)为第二象限角，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2))))＝－eq \f(3,5).


又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝－eq \f(12,13)，且eq \f(α,2)－β为第三象限角，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝－eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β)))＝－eq \f(5,13).


∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(4,3)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(5,12)，


∴taneq \f(α＋β,2)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))


＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β)),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β)))＝eq \f(－\f(4,3)－\f(5,12),1－\f(4,3)×\f(5,12))＝－eq \f(63,16).





6．已知sin α－cs α＝－eq \f(\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).


(1)求sin α和cs α的值；


(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β＋\f(π,4)))的值．


[解](1)由题意得(sin α－cs α)2＝eq \f(1,5)，


即1－sin 2α＝eq \f(1,5)，


∴sin 2α＝eq \f(4,5).又2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


∴cs 2α＝eq \r(1－sin2 2α)＝eq \f(3,5)，


∴cs2 α＝eq \f(1＋cs 2α,2)＝eq \f(4,5)，


∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，


∴cs α＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，


sin α＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5).


(2)∵β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))


＝cs αcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin αsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))


＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(4,5)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3,5)＝eq \f(11\r(5),25).


平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想．向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起．运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题．


【例7】 已知向量eq \(OB,\s\up8(→))＝(2,0)，eq \(OC,\s\up8(→))＝(0,2)，eq \(CA,\s\up8(→))＝(eq \r(,3)cs α，eq \r(,3)sin α)，则eq \(OA,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→))夹角的范围是( )


A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))


C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))


[思路探究] 计算向量eq \(CA,\s\up8(→))的模长，得到点A在以C(0,2)为圆心，eq \r(,3)为半径的圆上，利用数形结合，由图来分析其夹角的最大值、最小值点，结合解三角形的有关知识进而得到答案．


D [∵eq \(OB,\s\up8(→))＝(2,0)，eq \(OC,\s\up8(→))＝(0,2)，eq \(CA,\s\up8(→))＝(eq \r(,3)cs α，eq \r(,3)sin α)，


∴|eq \(CA,\s\up8(→))|＝eq \r(,3cs2α＋3sin2α)＝eq \r(,3)，


A的轨迹是以C(0,2)为圆心，以eq \r(,3)为半径的圆，


在△COD中，OC＝2，CD＝eq \r(,3)，∠CDO＝eq \f(π,2)，所以∠COD＝eq \f(π,3)，


所以当A在D处时，则eq \(OA,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→))夹角最小为eq \f(π,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,6)，


当A在E处时eq \(OA,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→))夹角最大为eq \f(π,2)＋eq \f(π,3)＝eq \f(5π,6)，


∴eq \(OA,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→))夹角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，故选D．]








7．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )


A．eq \r(2)－1 B．eq \r(2) C．eq \r(2)＋1 D．eq \r(2)＋2





C [∵|a|＝|b|＝1，


且a·b＝0，∴可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．


∴c－a－b＝(x－1，y－1)．


∵|c－a－b|＝1，


∴eq \r(x－12＋y－12)＝1，


即(x－1)2＋(y－1)2＝1.


又|c|＝eq \r(x2＋y2)，如图所示．


由图可知，当c对应的点(x，y)在点C处时，|c|有最大值且|c|max＝eq \r(12＋12)＋1＝eq \r(2)＋1.]


平面向量的数量积
向量的坐标运算
平面向量的应用
给值求值问题
三角恒等变形的综合应用
转化与化归的思想
数形结合思想