高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用本章综合与测试精品导学案及答案

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[巩固层·知识整合]





[提升层·题型探究]


根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．


从高考题型上看，这类题目，既有选择题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．


【例1】 (1)函数f(x)＝lg3 [lg2(4－2x)]的零点为________．


(2)函数g(x)＝lg x与f(x)＝x2－6x＋9的图象的交点个数为_____，设最右侧交点的横坐标x0，则存在n0∈N*，使x0∈(n0，n0＋1)，则n0＝________．


[思路点拨] (1)可通过解方程来求零点．


(2)通过图象和零点存在性定理来解．


(1)1 (2)2 3 [(1)f(x)＝0时，lg3[lg2(4－2x)]＝0，则lg2(4－2x)＝1，∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1．


(2)在同一个坐标系中做出f(x)和g(x)的图象，如图，易知交点个数有2个，设h(x)＝g(x)－f(x)，∵h(2)＝lg 2－1<0，h(3)＝lg 3>0，h(4)＝lg 4－1<0，x0为最右侧交点，故x0∈(3,4)，∴n0＝3．]








判断函数的零点个数的三种方法


1方程法：令fx＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.


2定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且fa·fb<0，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性才能确定函数有多少个零点.


3图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.








eq \([跟进训练])


1．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．


(1)求m的取值范围；


(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．


[解] (1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点．


当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)


＝－36m－20≥0，得m≤－eq \f(5,9)．


∴当m≤－eq \f(5,9)且m≠－6时，二次函数有零点．


综上所述，m≤－eq \f(5,9)．


(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有


x1＋x2＝－eq \f(2m－1,m＋6)，x1x2＝eq \f(m＋1,m＋6)．


∵eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝－4，即eq \f(x1＋x2,x1x2)＝－4，


∴－eq \f(2m－1,m＋1)＝－4，解得m＝－3．


且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，


∴m的值为－3．





求与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强，解决此类问题的一般思路就是通过分离参数简化问题求解，即先分离参数．


【例2】 若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．


[思路点拨] 由函数在指定区间有零点，转化为相应方程有实数根，分离参数转化为求值域问题．


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)) [因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，


所以方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．


方程a＝4x－2x可变形为a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，


因为x∈[－1,1]，所以2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2))．


所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2))．]





1．函数在指定区间上有零点通常转化为相应方程有解问题，能分参就优先分离参数，转化为求值域问题．


2．涉及已知函数零点的个数求参数的取值范围问题，经常转化为相关的函数图象的交点的个数问题，通过数与形的结合，求出参数的取值范围．








eq \([跟进训练])


2．已知函数f(x)＝－x2－2x, g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4x)，x>0，,x＋1，x≤0.))


(1)求g(f(1))的值；


(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．


[解] (1)g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2．





(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，


则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a




【例3】 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝eq \f(1,3)x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋eq \f(100,x)－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．


(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)


(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？


[解] (1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，


依题意得，当0

L(x)＝5x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq \f(1,3)x2＋4x－3；


当x≥8时，L(x)＝5x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(100,x)))．


所以L(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0

(2)当0

此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元．


当x≥8时，L(x)＝35－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(100,x)))≤35－2 eq \r(x·\f(100,x))＝35－20＝15，当且仅当x＝eq \f(100,x)时等号成立，


即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．


因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．





建模解决实际问题的三个步骤


(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．


(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．


(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．


即：





提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．


(2)利用模型f(x)＝ax＋eq \f(b,x)求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．





eq \([跟进训练])


3．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(单位：万元)在8万元以下，没有奖金；


②年销售额x(单位：万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝lgax，y∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；


③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．


(1)求奖金y关于x的函数解析式；


(2)若某营销人员争取奖金y∈[4,10](单位：万元)，则年销售额x(单位：万元)在什么范围内？


[解] (1)依题意，y＝lgax在x∈[8,64]上为增函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga8＝3，,lga64＝6，))


解得a＝2，所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，0≤x<8，,lg2x，8≤x≤64，,\f(1,10)x，x>64.))


(2)易知x≥8，当8≤x≤64时，要使y∈[4,10]，则4≤lg2x≤10，解得16≤x≤1 024，所以16≤x≤64；当x>64时，要使y∈[4,10]，则40≤x≤100，所以64

综上所述，当年销售额x∈[16,100]时，奖金y∈[4,10]．


函数的零点与方程的根的关系及应用
函数的零点的应用
构建函数模型解决实际问题