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2019-2020学年江西省赣州市经开区七年级（下）期末数学试卷
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2019-2020学年江西省赣州市经开区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）下列问题中，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．了解全县七年级学生的平均身高
D．学校招聘教师，对应聘人员面试
3．（3分）在实数3.14，，﹣5π，0.3030030003…，中无理数有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1
5．（3分）如图，在下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4
6．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）
A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）请你写出一个二元一次方程 ，使它的解为．
8．（3分）若（m+1）x|m|＜2019是关于x的一元一次不等式，则m＝ ．
9．（3分）为了了解某市八年级8000名学生的体重情况，从中抽查了500名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是 ．
10．（3分）根据图中数据求阴影部分的面积和为 ．
11．（3分）若，，则＝ ．
12．（3分）某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论：
①若a＝5，则不等式组的解集为3＜x≤5；
②若a＝2，则不等式组无解；
③若不等式组无解，则a的取值范围为a＜3；
④若不等式组只有两个整数解，则a的值可以为5．
其中，正确的结论的序号是 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：+|﹣2|；
（2）解方程：．
14．（6分）解不等式组，并在数轴上表示解集．
15．（6分）完成下面推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1＝∠2 （ ）
且∠1＝∠CGD（ ），
∴∠2＝∠CGD （ ）
∴CE∥BF（ ）．
∴∠ ＝∠C（ ）．
又∵∠B＝∠C （ ）
∴∠ ＝∠B （ ）
∴AB∥CD（ ）．
16．（6分）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
17．（6分）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）
（1）图中点C的坐标是 ．
（2）三角形ABC的面积为 ．
（3）点C关于x轴对称的点D的坐标是 ．
（4）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′，那么A、B′两点之间的距离是 ．
（5）图中四边形ABCD的面积是 ．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）若∠BOE＝58°，∠ADE＝122°，判断OF与OD的位置关系，并进行证明．
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
19．（8分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
20．（8分）某学校开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）求出“最喜欢篮球”部分的扇形的中心角度数；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种购买方案？
（3）上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？
22．（9分）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组；
（i）求xy的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
六、（本大题12分）
23．（12分）问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于 （用含α的式子表示）．
2019-2020学年江西省赣州市经开区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第四象限内，点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【解答】解：由题可得，点（2，﹣2）所在的象限是第四象限，
故选：D．
2．（3分）下列问题中，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．了解全县七年级学生的平均身高
D．学校招聘教师，对应聘人员面试
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，人数较少，应采用全面调查，故此选项不合题意；
B、旅客上飞机前的安检，意义重大，应采用全面调查，故此选项不合题意；
C、了解全县七年级学生的平均身高，人数众多，应采用抽样调查，故此选项符合题意；
D、学校招聘教师，对应聘人员面试，人数较少，应采用全面调查，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）在实数3.14，，﹣5π，0.3030030003…，中无理数有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：3.14是有限小数，属于有理数；
，，是整数，属于有理数；
无理数有：﹣5π，0.3030030003…共2个．
故选：B．
4．（3分）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1
【分析】化系数为1时，不等号方向改变了，利用不等式基本性质可知1﹣a＜0，所以可解得a的取值范围．
【解答】解：∵不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，
又∵不等号方向改变了，
∴1﹣a＜0，
∴a＞1；
故选：B．
5．（3分）如图，在下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∠1＝∠3不能判定任何一组直线平行，故本选项错误；
B、∵∠2＝∠3，∴AD∥BC，故本选项错误；
C、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故本选项正确；
D、∠3＝∠4不能判定任何一组直线平行，故本选项错误．
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）
A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2）
【分析】根据坐标的定义可求得y值，根据线段BC最小，确定BC⊥AC，垂足为点C，进一步求得BC的最小值和点C的坐标．
【解答】解：依题意可得：
∵AC∥x轴，A（﹣3，2）
∴y＝2，
根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，
点B到AC的距离最短，即
BC的最小值＝5﹣2＝3，
此时点C的坐标为（3，2），
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）请你写出一个二元一次方程 x+y＝0 ，使它的解为．
【分析】根据二元一次方程的定义，写出一个二元一次方程，只要把x＝1，y＝﹣1代入方程的左右两边相等即可．
【解答】解：∵二元一次方程的解是，
∴符合条件的二元一次方程有无数个，如：x+y＝0，2x﹣y＝3等，
故答案为：x+y＝0．
8．（3分）若（m+1）x|m|＜2019是关于x的一元一次不等式，则m＝ 1 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义得出m+1≠0，|m|＝1，求出即可．
【解答】解：∵（m+1）x|m|＜2019是关于x的一元一次不等式，
∴m+1≠0，|m|＝1，
解得：m＝1，
故答案为：1．
9．（3分）为了了解某市八年级8000名学生的体重情况，从中抽查了500名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是 抽查的500名学生的体重 ．
【分析】所有考查对象的全体就是总体，而组成总体的每一个考查对象称为个体．研究中实际观测或调查的一部分个体称为样本，依据定义即可解答．
【解答】解：为了了解某市八年级8000名学生的体重情况，从中抽查了500名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是抽查的500名学生的体重．
故答案为：抽查的500名学生的体重．
10．（3分）根据图中数据求阴影部分的面积和为 8 ．
【分析】阴影部分的面积＝（矩形的长﹣1）×（矩形的宽﹣1）．
【解答】解：由图可知，阴影部分的面积＝（3﹣1）×（5﹣1）＝8．
故填8．
11．（3分）若，，则＝ 503.6 ．
【分析】看所求被开方数相对于前面的哪个被开方数移动了偶数位，算术平方根的小数点规律移动即可．
【解答】解：∵253600相对于25.36向右移动了4位，
∴算术平方根的小数点要向右移动2位，
∴＝503.6．
故答案为503.6．
12．（3分）某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论：
①若a＝5，则不等式组的解集为3＜x≤5；
②若a＝2，则不等式组无解；
③若不等式组无解，则a的取值范围为a＜3；
④若不等式组只有两个整数解，则a的值可以为5．
其中，正确的结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①根据同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则即可判断；
②根据同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则即可判断；
③根据同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则得到a≤3；
④根据已知得出关于a的不等式组，求出即可判断．
【解答】解：①若a＝5，则不等式组为，
∴不等式组的解集为3＜x≤5，故正确；
②若a＝2，则不等式组为，
∴不等式组无解，故正确；
③若不等式组无解，则a≤3，故错误；
④∵不等式组的解集为3＜x≤a，且不等式组只有两个整数解，
∴5≤a＜6，故正确；
故答案为①②④．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：+|﹣2|；
（2）解方程：．
【分析】（1）首先计算立方根和绝对值，然后再计算加减即可；
（2）①×3+②可消去未知数y，解出x的值，进而可得y的值．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2），
①×3+②得7x＝21，
解得 x＝3，
将x＝3代入x﹣3y＝6②，
得y＝﹣1，
所以方程组的解为 ．
14．（6分）解不等式组，并在数轴上表示解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+3≥x+1，得：x≥﹣2，
解不等式﹣1≤4﹣x，得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x≤2，
在数轴上表示如下：
15．（6分）完成下面推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1＝∠2 （ 已知 ）
且∠1＝∠CGD（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠CGD （ 等量代换 ）
∴CE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠ BFD ＝∠C（ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠B＝∠C （ 已知 ）
∴∠ BFD ＝∠B （ 等量代换 ）
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】先确定∠1＝∠CGD是对顶角，利用等量代换，求得∠2＝∠CGD，则可根据：同位角相等，两直线平行，证得：CE∥BF，又由两直线平行，同位角相等，证得角相等，易得：∠BFD＝∠B，则利用内错角相等，两直线平行，即可证得：AB∥CD．
【解答】解：∵∠1＝∠2 （已知），且∠1＝∠CGD（对顶角相等），
∴∠2＝∠CGD （等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠BFD＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠C （已知），
∴∠BFD＝∠B （等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知，对顶角相等，等量代换，同位角相等，两直线平行，BFD，两直线平行，同位角相等，已知，BFD，等量代换，内错角相等，两直线平行．
16．（6分）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
【分析】（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．
（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
【解答】解：如图所示
（1）沿AB走，两点之间线段最短；
（2）沿AC走，垂线段最短；
（3）沿BD走，垂线段最短．
17．（6分）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）
（1）图中点C的坐标是 （3，﹣2） ．
（2）三角形ABC的面积为 15 ．
（3）点C关于x轴对称的点D的坐标是 （3，2） ．
（4）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′，那么A、B′两点之间的距离是 5 ．
（5）图中四边形ABCD的面积是 21 ．
【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标；
（2）根据三角形的面积公式可得答案；
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标；
（4）根据点的平移：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得B′点坐标，进而得到答案；
（5）用△ABC的面积加上△ACD的面积即可．
【解答】解：（1）根据题意得点C的坐标为（3，﹣2）；
故答案为：（3，﹣2）；
（2）△ABC的面积：．
故答案为：15；
（3）点C关于x轴对称的点D的坐标是（3，2）；
故答案为：（3，2）；
（4）将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′（﹣3+3，﹣2），即（0，﹣2），
A、B′两点之间的距离是：3﹣（﹣2）＝5；
故答案为：5；
（5），
∴四边形ABCD的面积为：S△ABC+S△ACD＝15+6＝21．
故答案为：21
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）若∠BOE＝58°，∠ADE＝122°，判断OF与OD的位置关系，并进行证明．
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【分析】（1）利用角平分线定义计算∠FOD的度数即可；
（2）根据∠AOC：∠AOD＝1：5求出∠BOD＝30°，∠AOD＝150°，再利用角平分线定义进行计算即可．
【解答】（1）OF⊥OD．
证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∠BOE＝58°，∠AOE＝122°
∴∠FOE＝∠AOE＝61°，∠EOD＝∠EOB＝29°，
∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝（∠AOE+∠EOB）＝90°，
∴OF⊥OD；
（2）解：∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD：∠AOD＝1：5，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°，
∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝∠AOE．
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠EOF＝60°．
19．（8分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3．
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
20．（8分）某学校开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）求出“最喜欢篮球”部分的扇形的中心角度数；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？
【分析】（1）根据百分比之和为1求得A对应的百分比，再乘以360°即可得；
（2）用喜欢乒乓球的人数除以所占的百分比求出本次抽查的学生人数，再乘以A对应的百分比求得其人数，据此可补全统计图；
（3）利用样本估计总每个体的方法用1000×样本中喜欢踢毽子的人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）∵A对应的百分比为1﹣（30%+10%+20%）＝40%，
∴“最喜欢篮球”部分的扇形的中心角度数为360°×40%＝144°；
（2）∵被调查的总人数为15÷30%＝50（人），
∴A项目的人数为50×40%＝20（人），
补全图形如下：
（3）根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是1000×10%＝100（人）．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种购买方案？
（3）上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？
【分析】（1）先设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出x，y的值即可；
（2）先设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a只能取整数，得出购买方案；
（3）根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出总费用，再进行比较，即可得出最省钱的方案．
【解答】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：
解得：，
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．
（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，
则，
解得：15≤a≤17，即a＝15、16、17．
故共有三种方案：
方案一：购进电脑15台，电子白板15台；
方案二：购进电脑16台，电子白板14台；
方案三：购进电脑17台，电子白板13台．
（3）方案一：总费用为15×0.5+1.5×15＝30（万元）；
方案二：总费用为16×0.5+1.5×14＝29（万元），
方案三：17×0.5+1.5×13＝28（万元），
∵28＜29＜30，
∴选择方案三最省钱，即购买电脑17台，电子白板13台最省钱．需要28万元．
22．（9分）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组；
（i）求xy的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
【分析】（1）根据例题的解法代入计算即可；
（2）把①变形为x2+3y2＝11﹣xy③，然后再代入②即可；根据x与y是整数xy＝﹣2计算即可．
【解答】解：（1），
将方程②变形：6x+8y+y＝25，
即2（3x+4y）+y＝25③，
把方程①代入③得：2×16+y＝25，
解得y＝﹣7，
把y＝﹣7代入方程①，得，
所以方程组的解为；
（2）（i）原方程组化为，
由①得：x2+3y2＝11﹣xy③，
将③代入方程②得：﹣8xy＝16，
∴xy＝﹣2；
（ii）由（i）得xy＝﹣2，
∵x与y是整数，
∴或或或，
由（i）可求得x2+3y2＝13，
∴和符合题意，
故原方程组的所有整数解是或．
六、（本大题12分）
23．（12分）问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于 60°﹣α （用含α的式子表示）．
【分析】（1）依据AB∥CD，可得∠1＝∠EGD，再根据∠2＝2∠1，∠FGE＝60°，即可得出∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，进而得到∠1＝40°；
（2）根据AB∥CD，可得∠AEG+∠CGE＝180°，再根据∠FEG+∠EGF＝90°，即可得到∠AEF+∠GFC＝90°；
（3）依据AB∥CD，可得∠AEF+∠CFE＝180°，再根据∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，即可得到∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
又∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠EGD，
又∵∠FGE＝60°，
∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，
∴∠1＝40°；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，
又∵∠FEG+∠EGF＝90°，
∴∠AEF+∠GFC＝90°；
（3）如图3，∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，
又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，
∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．
故答案为：60°﹣α．
一、选择题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）下列问题中，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．了解全县七年级学生的平均身高
D．学校招聘教师，对应聘人员面试
3．（3分）在实数3.14，，﹣5π，0.3030030003…，中无理数有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1
5．（3分）如图，在下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4
6．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）
A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）请你写出一个二元一次方程 ，使它的解为．
8．（3分）若（m+1）x|m|＜2019是关于x的一元一次不等式，则m＝ ．
9．（3分）为了了解某市八年级8000名学生的体重情况，从中抽查了500名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是 ．
10．（3分）根据图中数据求阴影部分的面积和为 ．
11．（3分）若，，则＝ ．
12．（3分）某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论：
①若a＝5，则不等式组的解集为3＜x≤5；
②若a＝2，则不等式组无解；
③若不等式组无解，则a的取值范围为a＜3；
④若不等式组只有两个整数解，则a的值可以为5．
其中，正确的结论的序号是 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：+|﹣2|；
（2）解方程：．
14．（6分）解不等式组，并在数轴上表示解集．
15．（6分）完成下面推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1＝∠2 （ ）
且∠1＝∠CGD（ ），
∴∠2＝∠CGD （ ）
∴CE∥BF（ ）．
∴∠ ＝∠C（ ）．
又∵∠B＝∠C （ ）
∴∠ ＝∠B （ ）
∴AB∥CD（ ）．
16．（6分）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
17．（6分）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）
（1）图中点C的坐标是 ．
（2）三角形ABC的面积为 ．
（3）点C关于x轴对称的点D的坐标是 ．
（4）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′，那么A、B′两点之间的距离是 ．
（5）图中四边形ABCD的面积是 ．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）若∠BOE＝58°，∠ADE＝122°，判断OF与OD的位置关系，并进行证明．
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
19．（8分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
20．（8分）某学校开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）求出“最喜欢篮球”部分的扇形的中心角度数；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种购买方案？
（3）上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？
22．（9分）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组；
（i）求xy的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
六、（本大题12分）
23．（12分）问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于 （用含α的式子表示）．
2019-2020学年江西省赣州市经开区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第四象限内，点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【解答】解：由题可得，点（2，﹣2）所在的象限是第四象限，
故选：D．
2．（3分）下列问题中，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．了解全县七年级学生的平均身高
D．学校招聘教师，对应聘人员面试
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，人数较少，应采用全面调查，故此选项不合题意；
B、旅客上飞机前的安检，意义重大，应采用全面调查，故此选项不合题意；
C、了解全县七年级学生的平均身高，人数众多，应采用抽样调查，故此选项符合题意；
D、学校招聘教师，对应聘人员面试，人数较少，应采用全面调查，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）在实数3.14，，﹣5π，0.3030030003…，中无理数有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：3.14是有限小数，属于有理数；
，，是整数，属于有理数；
无理数有：﹣5π，0.3030030003…共2个．
故选：B．
4．（3分）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1
【分析】化系数为1时，不等号方向改变了，利用不等式基本性质可知1﹣a＜0，所以可解得a的取值范围．
【解答】解：∵不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，
又∵不等号方向改变了，
∴1﹣a＜0，
∴a＞1；
故选：B．
5．（3分）如图，在下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∠1＝∠3不能判定任何一组直线平行，故本选项错误；
B、∵∠2＝∠3，∴AD∥BC，故本选项错误；
C、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故本选项正确；
D、∠3＝∠4不能判定任何一组直线平行，故本选项错误．
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）
A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2）
【分析】根据坐标的定义可求得y值，根据线段BC最小，确定BC⊥AC，垂足为点C，进一步求得BC的最小值和点C的坐标．
【解答】解：依题意可得：
∵AC∥x轴，A（﹣3，2）
∴y＝2，
根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，
点B到AC的距离最短，即
BC的最小值＝5﹣2＝3，
此时点C的坐标为（3，2），
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）请你写出一个二元一次方程 x+y＝0 ，使它的解为．
【分析】根据二元一次方程的定义，写出一个二元一次方程，只要把x＝1，y＝﹣1代入方程的左右两边相等即可．
【解答】解：∵二元一次方程的解是，
∴符合条件的二元一次方程有无数个，如：x+y＝0，2x﹣y＝3等，
故答案为：x+y＝0．
8．（3分）若（m+1）x|m|＜2019是关于x的一元一次不等式，则m＝ 1 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义得出m+1≠0，|m|＝1，求出即可．
【解答】解：∵（m+1）x|m|＜2019是关于x的一元一次不等式，
∴m+1≠0，|m|＝1，
解得：m＝1，
故答案为：1．
9．（3分）为了了解某市八年级8000名学生的体重情况，从中抽查了500名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是 抽查的500名学生的体重 ．
【分析】所有考查对象的全体就是总体，而组成总体的每一个考查对象称为个体．研究中实际观测或调查的一部分个体称为样本，依据定义即可解答．
【解答】解：为了了解某市八年级8000名学生的体重情况，从中抽查了500名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是抽查的500名学生的体重．
故答案为：抽查的500名学生的体重．
10．（3分）根据图中数据求阴影部分的面积和为 8 ．
【分析】阴影部分的面积＝（矩形的长﹣1）×（矩形的宽﹣1）．
【解答】解：由图可知，阴影部分的面积＝（3﹣1）×（5﹣1）＝8．
故填8．
11．（3分）若，，则＝ 503.6 ．
【分析】看所求被开方数相对于前面的哪个被开方数移动了偶数位，算术平方根的小数点规律移动即可．
【解答】解：∵253600相对于25.36向右移动了4位，
∴算术平方根的小数点要向右移动2位，
∴＝503.6．
故答案为503.6．
12．（3分）某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论：
①若a＝5，则不等式组的解集为3＜x≤5；
②若a＝2，则不等式组无解；
③若不等式组无解，则a的取值范围为a＜3；
④若不等式组只有两个整数解，则a的值可以为5．
其中，正确的结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①根据同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则即可判断；
②根据同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则即可判断；
③根据同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则得到a≤3；
④根据已知得出关于a的不等式组，求出即可判断．
【解答】解：①若a＝5，则不等式组为，
∴不等式组的解集为3＜x≤5，故正确；
②若a＝2，则不等式组为，
∴不等式组无解，故正确；
③若不等式组无解，则a≤3，故错误；
④∵不等式组的解集为3＜x≤a，且不等式组只有两个整数解，
∴5≤a＜6，故正确；
故答案为①②④．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：+|﹣2|；
（2）解方程：．
【分析】（1）首先计算立方根和绝对值，然后再计算加减即可；
（2）①×3+②可消去未知数y，解出x的值，进而可得y的值．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2），
①×3+②得7x＝21，
解得 x＝3，
将x＝3代入x﹣3y＝6②，
得y＝﹣1，
所以方程组的解为 ．
14．（6分）解不等式组，并在数轴上表示解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+3≥x+1，得：x≥﹣2，
解不等式﹣1≤4﹣x，得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x≤2，
在数轴上表示如下：
15．（6分）完成下面推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1＝∠2 （ 已知 ）
且∠1＝∠CGD（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠CGD （ 等量代换 ）
∴CE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠ BFD ＝∠C（ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠B＝∠C （ 已知 ）
∴∠ BFD ＝∠B （ 等量代换 ）
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】先确定∠1＝∠CGD是对顶角，利用等量代换，求得∠2＝∠CGD，则可根据：同位角相等，两直线平行，证得：CE∥BF，又由两直线平行，同位角相等，证得角相等，易得：∠BFD＝∠B，则利用内错角相等，两直线平行，即可证得：AB∥CD．
【解答】解：∵∠1＝∠2 （已知），且∠1＝∠CGD（对顶角相等），
∴∠2＝∠CGD （等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠BFD＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠C （已知），
∴∠BFD＝∠B （等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知，对顶角相等，等量代换，同位角相等，两直线平行，BFD，两直线平行，同位角相等，已知，BFD，等量代换，内错角相等，两直线平行．
16．（6分）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
【分析】（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．
（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
【解答】解：如图所示
（1）沿AB走，两点之间线段最短；
（2）沿AC走，垂线段最短；
（3）沿BD走，垂线段最短．
17．（6分）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）
（1）图中点C的坐标是 （3，﹣2） ．
（2）三角形ABC的面积为 15 ．
（3）点C关于x轴对称的点D的坐标是 （3，2） ．
（4）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′，那么A、B′两点之间的距离是 5 ．
（5）图中四边形ABCD的面积是 21 ．
【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标；
（2）根据三角形的面积公式可得答案；
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标；
（4）根据点的平移：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得B′点坐标，进而得到答案；
（5）用△ABC的面积加上△ACD的面积即可．
【解答】解：（1）根据题意得点C的坐标为（3，﹣2）；
故答案为：（3，﹣2）；
（2）△ABC的面积：．
故答案为：15；
（3）点C关于x轴对称的点D的坐标是（3，2）；
故答案为：（3，2）；
（4）将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′（﹣3+3，﹣2），即（0，﹣2），
A、B′两点之间的距离是：3﹣（﹣2）＝5；
故答案为：5；
（5），
∴四边形ABCD的面积为：S△ABC+S△ACD＝15+6＝21．
故答案为：21
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）若∠BOE＝58°，∠ADE＝122°，判断OF与OD的位置关系，并进行证明．
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【分析】（1）利用角平分线定义计算∠FOD的度数即可；
（2）根据∠AOC：∠AOD＝1：5求出∠BOD＝30°，∠AOD＝150°，再利用角平分线定义进行计算即可．
【解答】（1）OF⊥OD．
证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∠BOE＝58°，∠AOE＝122°
∴∠FOE＝∠AOE＝61°，∠EOD＝∠EOB＝29°，
∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝（∠AOE+∠EOB）＝90°，
∴OF⊥OD；
（2）解：∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD：∠AOD＝1：5，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°，
∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝∠AOE．
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠EOF＝60°．
19．（8分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3．
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
20．（8分）某学校开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）求出“最喜欢篮球”部分的扇形的中心角度数；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？
【分析】（1）根据百分比之和为1求得A对应的百分比，再乘以360°即可得；
（2）用喜欢乒乓球的人数除以所占的百分比求出本次抽查的学生人数，再乘以A对应的百分比求得其人数，据此可补全统计图；
（3）利用样本估计总每个体的方法用1000×样本中喜欢踢毽子的人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）∵A对应的百分比为1﹣（30%+10%+20%）＝40%，
∴“最喜欢篮球”部分的扇形的中心角度数为360°×40%＝144°；
（2）∵被调查的总人数为15÷30%＝50（人），
∴A项目的人数为50×40%＝20（人），
补全图形如下：
（3）根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是1000×10%＝100（人）．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种购买方案？
（3）上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？
【分析】（1）先设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出x，y的值即可；
（2）先设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a只能取整数，得出购买方案；
（3）根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出总费用，再进行比较，即可得出最省钱的方案．
【解答】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：
解得：，
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．
（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，
则，
解得：15≤a≤17，即a＝15、16、17．
故共有三种方案：
方案一：购进电脑15台，电子白板15台；
方案二：购进电脑16台，电子白板14台；
方案三：购进电脑17台，电子白板13台．
（3）方案一：总费用为15×0.5+1.5×15＝30（万元）；
方案二：总费用为16×0.5+1.5×14＝29（万元），
方案三：17×0.5+1.5×13＝28（万元），
∵28＜29＜30，
∴选择方案三最省钱，即购买电脑17台，电子白板13台最省钱．需要28万元．
22．（9分）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组；
（i）求xy的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
【分析】（1）根据例题的解法代入计算即可；
（2）把①变形为x2+3y2＝11﹣xy③，然后再代入②即可；根据x与y是整数xy＝﹣2计算即可．
【解答】解：（1），
将方程②变形：6x+8y+y＝25，
即2（3x+4y）+y＝25③，
把方程①代入③得：2×16+y＝25，
解得y＝﹣7，
把y＝﹣7代入方程①，得，
所以方程组的解为；
（2）（i）原方程组化为，
由①得：x2+3y2＝11﹣xy③，
将③代入方程②得：﹣8xy＝16，
∴xy＝﹣2；
（ii）由（i）得xy＝﹣2，
∵x与y是整数，
∴或或或，
由（i）可求得x2+3y2＝13，
∴和符合题意，
故原方程组的所有整数解是或．
六、（本大题12分）
23．（12分）问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于 60°﹣α （用含α的式子表示）．
【分析】（1）依据AB∥CD，可得∠1＝∠EGD，再根据∠2＝2∠1，∠FGE＝60°，即可得出∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，进而得到∠1＝40°；
（2）根据AB∥CD，可得∠AEG+∠CGE＝180°，再根据∠FEG+∠EGF＝90°，即可得到∠AEF+∠GFC＝90°；
（3）依据AB∥CD，可得∠AEF+∠CFE＝180°，再根据∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，即可得到∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
又∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠EGD，
又∵∠FGE＝60°，
∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，
∴∠1＝40°；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，
又∵∠FEG+∠EGF＝90°，
∴∠AEF+∠GFC＝90°；
（3）如图3，∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，
又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，
∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．
故答案为：60°﹣α．
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