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2019-2020学年江西省赣州市兴国县七年级（下）期末数学试卷
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2019-2020学年江西省赣州市兴国县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）4的算术平方根是（ ）
A． B．±2 C．2 D．±
2．（3分）在平面直角坐标系中，若a＜0，则点（﹣2，﹣a）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）要调查某校学生周日的睡眠时间，下列选取调查对象中最合适的是（ ）
A．随机选取该校一个班级的学生
B．随机选取该校100名男生
C．随机选取该校一个年级的学生
D．在该校各年级中机选取100名学生
4．（3分）小明到药店购买了一次性医用口罩和N95口罩共40个，其中一次性医用口罩数量比N95口罩数量的3倍多4个，设购买一次性医用口罩x个，N95口罩y个，根据题意可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b
6．（3分）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 ．
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是（﹣1，4），则点C的坐标是 ．
9．（3分）将一个矩形纸片沿BC折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝27°，则∠ACD的度数为 ．
10．（3分）若一个正数的两个平方根是2a和﹣a+1，则这个正数是 ．
11．（3分）已知x，y满足方程组，则x+y的值为 ．
12．（3分）按下面的程序计算，若开始输入x的值为正整数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值是 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）1+；
（2）（x﹣2）2＝9．
14．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
15．（6分）已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．求证：BD∥CE．
16．（6分）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD＝24°．
（1）求∠AOG的度数；
（2）若OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？说明你的理由．
17．（6分）今年5月8日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ；
（2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中C组的圆心角的度数；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
19．（8分）阅读并填空完善下列证明过程：
如图，已知BC⊥AC于C，DF⊥AC于D，∠1+∠2＝180°，
求证：∠GFB＝∠DEF﹒
证明：∵BC⊥AC于C，DF⊥AC于D（已知）
∴∠C＝∠ ＝90°（ ）
∴CB∥FD（同位角相等，两直线平行）
∴∠1+∠3＝180°（ ）
又∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠3（ ）
∴ ∥ （ ）
∴∠GFB＝∠DEF（ ）
20．（8分）已知：如图，把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）点C′的坐标为 ，并画出△A′B′C′；
（2）求△A′B′C′的面积；
（3）点P在y轴负半轴上，且△BCP与△A′B′C′的面积相等，求点P的坐标．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）2019年11月22日至23日，“一带一路”国际协商会在京举行．本届主题演讲及对话增加到150场左右，促成大量改善民生的热点领域项目签约．宁波一家科技公司准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？
（2）若甲，乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5级关联点”的坐标为（9，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”P′位于坐标轴上．求点P′的坐标．
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（b，b），C（0，b），且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ，AO和BC位置关系是 ；
（2）在P、Q的运动过程中，连接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．
2019-2020学年江西省赣州市兴国县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）4的算术平方根是（ ）
A． B．±2 C．2 D．±
【分析】依据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：4的算术平方根是2．
故选：C．
2．（3分）在平面直角坐标系中，若a＜0，则点（﹣2，﹣a）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限的点的坐标特征解答．
【解答】解：∵a＜0，
∴﹣a＞0，
∴点（﹣2，﹣a）在第二象限．
故选：B．
3．（3分）要调查某校学生周日的睡眠时间，下列选取调查对象中最合适的是（ ）
A．随机选取该校一个班级的学生
B．随机选取该校100名男生
C．随机选取该校一个年级的学生
D．在该校各年级中机选取100名学生
【分析】根据调查数据要具有随机性，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：要调查某校周日的睡眠时间，最合适的是在该校各年级中机选取100名学生．
故选：D．
4．（3分）小明到药店购买了一次性医用口罩和N95口罩共40个，其中一次性医用口罩数量比N95口罩数量的3倍多4个，设购买一次性医用口罩x个，N95口罩y个，根据题意可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据两种口罩共买了40个且购买一次性医用口罩数量比N95口罩数量的3倍多4个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：D．
5．（3分）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，不符合题意；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，不符合题意；
C、当c＝0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，符合题意；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短 ．
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是（﹣1，4），则点C的坐标是 （3，0） ．
【分析】根据点A的坐标求出正方形的边长与OB的长度，再求出OC的长，然后写出点C的坐标即可．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，4），
∴BC＝AB＝4，OB＝1，
∴OC＝BC﹣OB＝4﹣1＝3，
∴点C的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
9．（3分）将一个矩形纸片沿BC折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝27°，则∠ACD的度数为 126° ．
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝∠1＝27°，根据折叠可得∠2＝27°，然后再算∠ACD的度数即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠1＝27°，
由折叠得：∠1＝∠2＝27°，
∴∠ACD＝180°﹣27°﹣27°＝126°，
故答案为：126°．
10．（3分）若一个正数的两个平方根是2a和﹣a+1，则这个正数是 4 ．
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数列出方程，解方程求出a的值，进而求出答案即可．
【解答】解：根据平方根的定义可知，2a+（﹣a+1）＝0，
解得a＝﹣1，
2a＝﹣2，
则这个正数为4．
故答案为：4．
11．（3分）已知x，y满足方程组，则x+y的值为 2 ．
【分析】方程组两方程左右两边相加即可求出x+y的值．
【解答】解：，
①+②得：3（x+y）＝6，
则x+y＝2，
故答案为：2．
12．（3分）按下面的程序计算，若开始输入x的值为正整数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值是 5、26、131 ．
【分析】根据输出的结果是656列出一元一次方程，然后依次进行计算，直至x不是整数即可．
【解答】解：∵最后输出的数为656，
∴5x+1＝656，得：x＝131＞0，
∴5x+1＝131，得：x＝26＞0，
∴5x+1＝26，得：x＝5＞0，
∴5x+1＝5，得：x＝0.8＞0（不符合题意），
故x的值可取131，26，5．
故答案为：5、26、131．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）1+；
（2）（x﹣2）2＝9．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质、立方根的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用平方根的定义得出答案．
【解答】解：（1）原式＝1+4﹣2
＝3；
（2）（x﹣2）2＝9
则x﹣2＝±3，
解得：x＝5或x＝﹣1．
14．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≤2
把不等式①②的解集在数轴上表示如图：
．
所以该不等式组的解集为：x≤2．
15．（6分）已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．求证：BD∥CE．
【分析】由∠A＝∠F，根据内错角相等，两直线平行，即可求得AC∥DF，即可得∠C＝∠FEC，又由∠C＝∠D，则可根据同位角相等，两直线平行，证得BD∥CE．
【解答】证明：∵∠A＝∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C＝∠FEC，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠FEC，
∴BD∥CE．
16．（6分）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD＝24°．
（1）求∠AOG的度数；
（2）若OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？说明你的理由．
【分析】（1）由对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOD＝24°，由垂线的性质可得∠COG＝90°，即可求解；
（2）由垂线的性质和对顶角的性质可求∠AOG＝∠GOF，可得结论．
【解答】解：（1）∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD＝24°，
∵OG⊥CD，
∴∠COG＝90°，
即∠AOC+∠AOG＝90°，
∴∠AOG＝90°﹣∠AOC＝90°﹣24°＝66°；
（2）OG是∠AOF的角平分线，
理由如下：∵OC是∠AOE的角平分线，
∴∠AOC＝∠COE，
又∵∠DOF＝∠COE，
∴∠COA＝∠DOF，
∵OG⊥CD，
∴∠COG＝∠DOG＝90°，
∴∠AOG＝∠GOF，
∴OG平分∠AOF．
17．（6分）今年5月8日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
【分析】（1）首先设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由图中信息可知等量关系有：买了一束花+2个礼盒，花了143元；②买了2束花+1个礼盒，花了121元，根据等量关系列出方程组，解可得1束鲜花多少元，买1个礼盒花花多少元，
（2）由（1）得再出买3束鲜花和4个礼盒的总价即可．
【解答】解：（1）设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由题意得：
，
解得：，
答：买1束鲜花33元，买1个礼盒花55元；
（2）由题意得：3×33+4×55＝313（元），
答：小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了313元．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 50 ；
（2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中C组的圆心角的度数；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
【分析】（1）根据A组的频数和所占的百分比，可以求得这次抽样调查的样本容量；
（2）根据（1）中的结果和频数直方图中的数据，可以求得B组的人数，然后即可将直方图补充完整，再根据直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中C组的圆心角的度数；
（3）根据直方图中的数据，可以计算出该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名．
【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是：4÷8%＝50，
故答案为：50；
（2）B组人数为：50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12，
补全的频数分布直方图如右图所示，
扇形统计图中C组的圆心角的度数是：360°×＝115.2°；
（3）1000×＝360（名），
答：该校初三年级体重超过60kg的学生大约有360名．
19．（8分）阅读并填空完善下列证明过程：
如图，已知BC⊥AC于C，DF⊥AC于D，∠1+∠2＝180°，
求证：∠GFB＝∠DEF﹒
证明：∵BC⊥AC于C，DF⊥AC于D（已知）
∴∠C＝∠ ADF ＝90°（ 垂直的定义 ）
∴CB∥FD（同位角相等，两直线平行）
∴∠1+∠3＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
又∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠3（ 同角的补角相等 ）
∴ DE ∥ FG （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠GFB＝∠DEF（ 两直线平行，同位角相等 ）
【分析】根据垂直的定义、平行线的判定、平行线的性质、补角的性质求解可得．
【解答】证明：∵BC⊥AC于C，DF⊥AC于D（已知）
∴∠C＝∠ADF＝90°（垂直的定义）
∴CB∥FD （同位角相等，两直线平行 ）
∴∠1+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠3（同角的补角相等）
∴DE∥FG （内错角相等，两直线平行）
∴∠GFB＝∠DEF （两直线平行，同位角相等），
故答案为：ADF；垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；DE；FG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
20．（8分）已知：如图，把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）点C′的坐标为 （5，1） ，并画出△A′B′C′；
（2）求△A′B′C′的面积；
（3）点P在y轴负半轴上，且△BCP与△A′B′C′的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案；
（3）直接利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）C′（5，1）；如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）由图可知，A′（2，4）；B′（1，1）；C′（5，1）；
S△A′B′C′═×3×4＝6；
（3）设P（0，y），
∵△BCP与△A′B′C′的面积相等，
∴|y+1|＝3，即y+1＝3或y+1＝﹣3，
解得：y1＝2，y2＝﹣4，
又∵点P在y轴负半轴上，
∴P（0，﹣4）．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）2019年11月22日至23日，“一带一路”国际协商会在京举行．本届主题演讲及对话增加到150场左右，促成大量改善民生的热点领域项目签约．宁波一家科技公司准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？
（2）若甲，乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
【分析】（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；
（2）可设销售甲种商品m万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价是x元，乙种商品的单价为y元，
根据题意，得，
解得．
答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元；
（2）设销售甲种商品m万件，则销售乙种商品（8﹣m）万件，
根据题意，得900m+600（8﹣m）≥5400，
解得m≥2，
答：至少销售甲种商品2万件．
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为 （2，14） ；
（2）若点P的“5级关联点”的坐标为（9，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”P′位于坐标轴上．求点P′的坐标．
【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（3）根据关联点的定义和点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”P′位于坐标轴上，即可求出P′的坐标．
【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，
∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为（2，14）．
故答案为：（2，14）；
（2）设点P的坐标为（a，b），
由题意可知 解得：
∴点P的坐标为（2，﹣1）；
（3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），①P′位于x轴上，
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0，
解得：m＝，
∴﹣3（m﹣1）+2m＝4，
∴P′（4，0）．
②P′位于y轴上，
∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，
解得：m＝3
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，
∴P′（0，﹣16）．
综上所述，点P′的坐标为（4，0）或（0，﹣16）．
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（b，b），C（0，b），且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点A的坐标 （﹣8，0） ，点B的坐标 （﹣4，﹣4） ，AO和BC位置关系是 BC∥AO ；
（2）在P、Q的运动过程中，连接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b，得到点A、B、C的坐标，根据坐标与图形性质判断AO和BC位置关系；
（2）过B点作BE⊥AO于E，根据三角形的面积公式求出AP，得到点P的坐标；
（3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵，
∴a+8＝0，b+4＝0，
解得，a＝﹣8，b＝﹣4，
则A（﹣8，0），B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4），
∵点B的坐标为（﹣4，﹣4），点C的坐标为（0，﹣4），
∴BC∥AO，
故答案为：（﹣8，0），（﹣4，﹣4），BC∥AO；
（2）过B点作BE⊥AO于E，
设时间经过t秒，S△PAB＝4S△QBC，则AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，
①当点Q在点C的上方时，CQ＝4﹣t，
∴S△APB＝＝＝4t，S△BCQ＝＝（4﹣t）×4＝8﹣2t，
∵S△APB＝4S△BCQ，
∴4t＝4（8﹣2t）
解得，t＝，
∴AP＝2t＝，
∴OP＝OA﹣AP＝，
∴点P的坐标为（﹣，0）；
②当点Q在点C的下方时，CQ＝t﹣4，
∴S△BCQ′＝2t﹣8
∴4t＝4（2t﹣8）
解得，t＝8，
∴AP＝2t＝16，
∴OP＝AP﹣OA＝8，
∴点P的坐标为（8，0），
综上所述，点P的坐标为（﹣，0）或（8，0）；
（3）∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．
理由如下：
①当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，
∴∠OPQ＝∠PQH，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠OPQ+∠CBQ＝∠PQH+∠BQH，
∴∠PQB＝∠OPQ+∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ+30°；
②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO 如图3所示，
∴∠OPQ＝∠PQJ，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠HQB+∠BQP+∠PQJ＝180°，
∴30°+∠BQP+∠OPQ＝180°，
即∠BQP+∠OPQ＝150°，
综上所述，∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）4的算术平方根是（ ）
A． B．±2 C．2 D．±
2．（3分）在平面直角坐标系中，若a＜0，则点（﹣2，﹣a）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）要调查某校学生周日的睡眠时间，下列选取调查对象中最合适的是（ ）
A．随机选取该校一个班级的学生
B．随机选取该校100名男生
C．随机选取该校一个年级的学生
D．在该校各年级中机选取100名学生
4．（3分）小明到药店购买了一次性医用口罩和N95口罩共40个，其中一次性医用口罩数量比N95口罩数量的3倍多4个，设购买一次性医用口罩x个，N95口罩y个，根据题意可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b
6．（3分）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 ．
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是（﹣1，4），则点C的坐标是 ．
9．（3分）将一个矩形纸片沿BC折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝27°，则∠ACD的度数为 ．
10．（3分）若一个正数的两个平方根是2a和﹣a+1，则这个正数是 ．
11．（3分）已知x，y满足方程组，则x+y的值为 ．
12．（3分）按下面的程序计算，若开始输入x的值为正整数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值是 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）1+；
（2）（x﹣2）2＝9．
14．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
15．（6分）已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．求证：BD∥CE．
16．（6分）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD＝24°．
（1）求∠AOG的度数；
（2）若OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？说明你的理由．
17．（6分）今年5月8日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ；
（2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中C组的圆心角的度数；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
19．（8分）阅读并填空完善下列证明过程：
如图，已知BC⊥AC于C，DF⊥AC于D，∠1+∠2＝180°，
求证：∠GFB＝∠DEF﹒
证明：∵BC⊥AC于C，DF⊥AC于D（已知）
∴∠C＝∠ ＝90°（ ）
∴CB∥FD（同位角相等，两直线平行）
∴∠1+∠3＝180°（ ）
又∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠3（ ）
∴ ∥ （ ）
∴∠GFB＝∠DEF（ ）
20．（8分）已知：如图，把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）点C′的坐标为 ，并画出△A′B′C′；
（2）求△A′B′C′的面积；
（3）点P在y轴负半轴上，且△BCP与△A′B′C′的面积相等，求点P的坐标．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）2019年11月22日至23日，“一带一路”国际协商会在京举行．本届主题演讲及对话增加到150场左右，促成大量改善民生的热点领域项目签约．宁波一家科技公司准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？
（2）若甲，乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5级关联点”的坐标为（9，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”P′位于坐标轴上．求点P′的坐标．
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（b，b），C（0，b），且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ，AO和BC位置关系是 ；
（2）在P、Q的运动过程中，连接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．
2019-2020学年江西省赣州市兴国县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）4的算术平方根是（ ）
A． B．±2 C．2 D．±
【分析】依据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：4的算术平方根是2．
故选：C．
2．（3分）在平面直角坐标系中，若a＜0，则点（﹣2，﹣a）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限的点的坐标特征解答．
【解答】解：∵a＜0，
∴﹣a＞0，
∴点（﹣2，﹣a）在第二象限．
故选：B．
3．（3分）要调查某校学生周日的睡眠时间，下列选取调查对象中最合适的是（ ）
A．随机选取该校一个班级的学生
B．随机选取该校100名男生
C．随机选取该校一个年级的学生
D．在该校各年级中机选取100名学生
【分析】根据调查数据要具有随机性，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：要调查某校周日的睡眠时间，最合适的是在该校各年级中机选取100名学生．
故选：D．
4．（3分）小明到药店购买了一次性医用口罩和N95口罩共40个，其中一次性医用口罩数量比N95口罩数量的3倍多4个，设购买一次性医用口罩x个，N95口罩y个，根据题意可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据两种口罩共买了40个且购买一次性医用口罩数量比N95口罩数量的3倍多4个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：D．
5．（3分）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，不符合题意；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，不符合题意；
C、当c＝0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，符合题意；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短 ．
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是（﹣1，4），则点C的坐标是 （3，0） ．
【分析】根据点A的坐标求出正方形的边长与OB的长度，再求出OC的长，然后写出点C的坐标即可．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，4），
∴BC＝AB＝4，OB＝1，
∴OC＝BC﹣OB＝4﹣1＝3，
∴点C的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
9．（3分）将一个矩形纸片沿BC折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝27°，则∠ACD的度数为 126° ．
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝∠1＝27°，根据折叠可得∠2＝27°，然后再算∠ACD的度数即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠1＝27°，
由折叠得：∠1＝∠2＝27°，
∴∠ACD＝180°﹣27°﹣27°＝126°，
故答案为：126°．
10．（3分）若一个正数的两个平方根是2a和﹣a+1，则这个正数是 4 ．
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数列出方程，解方程求出a的值，进而求出答案即可．
【解答】解：根据平方根的定义可知，2a+（﹣a+1）＝0，
解得a＝﹣1，
2a＝﹣2，
则这个正数为4．
故答案为：4．
11．（3分）已知x，y满足方程组，则x+y的值为 2 ．
【分析】方程组两方程左右两边相加即可求出x+y的值．
【解答】解：，
①+②得：3（x+y）＝6，
则x+y＝2，
故答案为：2．
12．（3分）按下面的程序计算，若开始输入x的值为正整数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值是 5、26、131 ．
【分析】根据输出的结果是656列出一元一次方程，然后依次进行计算，直至x不是整数即可．
【解答】解：∵最后输出的数为656，
∴5x+1＝656，得：x＝131＞0，
∴5x+1＝131，得：x＝26＞0，
∴5x+1＝26，得：x＝5＞0，
∴5x+1＝5，得：x＝0.8＞0（不符合题意），
故x的值可取131，26，5．
故答案为：5、26、131．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）1+；
（2）（x﹣2）2＝9．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质、立方根的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用平方根的定义得出答案．
【解答】解：（1）原式＝1+4﹣2
＝3；
（2）（x﹣2）2＝9
则x﹣2＝±3，
解得：x＝5或x＝﹣1．
14．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≤2
把不等式①②的解集在数轴上表示如图：
．
所以该不等式组的解集为：x≤2．
15．（6分）已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．求证：BD∥CE．
【分析】由∠A＝∠F，根据内错角相等，两直线平行，即可求得AC∥DF，即可得∠C＝∠FEC，又由∠C＝∠D，则可根据同位角相等，两直线平行，证得BD∥CE．
【解答】证明：∵∠A＝∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C＝∠FEC，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠FEC，
∴BD∥CE．
16．（6分）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD＝24°．
（1）求∠AOG的度数；
（2）若OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？说明你的理由．
【分析】（1）由对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOD＝24°，由垂线的性质可得∠COG＝90°，即可求解；
（2）由垂线的性质和对顶角的性质可求∠AOG＝∠GOF，可得结论．
【解答】解：（1）∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD＝24°，
∵OG⊥CD，
∴∠COG＝90°，
即∠AOC+∠AOG＝90°，
∴∠AOG＝90°﹣∠AOC＝90°﹣24°＝66°；
（2）OG是∠AOF的角平分线，
理由如下：∵OC是∠AOE的角平分线，
∴∠AOC＝∠COE，
又∵∠DOF＝∠COE，
∴∠COA＝∠DOF，
∵OG⊥CD，
∴∠COG＝∠DOG＝90°，
∴∠AOG＝∠GOF，
∴OG平分∠AOF．
17．（6分）今年5月8日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
【分析】（1）首先设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由图中信息可知等量关系有：买了一束花+2个礼盒，花了143元；②买了2束花+1个礼盒，花了121元，根据等量关系列出方程组，解可得1束鲜花多少元，买1个礼盒花花多少元，
（2）由（1）得再出买3束鲜花和4个礼盒的总价即可．
【解答】解：（1）设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由题意得：
，
解得：，
答：买1束鲜花33元，买1个礼盒花55元；
（2）由题意得：3×33+4×55＝313（元），
答：小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了313元．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 50 ；
（2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中C组的圆心角的度数；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
【分析】（1）根据A组的频数和所占的百分比，可以求得这次抽样调查的样本容量；
（2）根据（1）中的结果和频数直方图中的数据，可以求得B组的人数，然后即可将直方图补充完整，再根据直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中C组的圆心角的度数；
（3）根据直方图中的数据，可以计算出该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名．
【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是：4÷8%＝50，
故答案为：50；
（2）B组人数为：50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12，
补全的频数分布直方图如右图所示，
扇形统计图中C组的圆心角的度数是：360°×＝115.2°；
（3）1000×＝360（名），
答：该校初三年级体重超过60kg的学生大约有360名．
19．（8分）阅读并填空完善下列证明过程：
如图，已知BC⊥AC于C，DF⊥AC于D，∠1+∠2＝180°，
求证：∠GFB＝∠DEF﹒
证明：∵BC⊥AC于C，DF⊥AC于D（已知）
∴∠C＝∠ ADF ＝90°（ 垂直的定义 ）
∴CB∥FD（同位角相等，两直线平行）
∴∠1+∠3＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
又∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠3（ 同角的补角相等 ）
∴ DE ∥ FG （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠GFB＝∠DEF（ 两直线平行，同位角相等 ）
【分析】根据垂直的定义、平行线的判定、平行线的性质、补角的性质求解可得．
【解答】证明：∵BC⊥AC于C，DF⊥AC于D（已知）
∴∠C＝∠ADF＝90°（垂直的定义）
∴CB∥FD （同位角相等，两直线平行 ）
∴∠1+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠3（同角的补角相等）
∴DE∥FG （内错角相等，两直线平行）
∴∠GFB＝∠DEF （两直线平行，同位角相等），
故答案为：ADF；垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；DE；FG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
20．（8分）已知：如图，把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）点C′的坐标为 （5，1） ，并画出△A′B′C′；
（2）求△A′B′C′的面积；
（3）点P在y轴负半轴上，且△BCP与△A′B′C′的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案；
（3）直接利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）C′（5，1）；如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）由图可知，A′（2，4）；B′（1，1）；C′（5，1）；
S△A′B′C′═×3×4＝6；
（3）设P（0，y），
∵△BCP与△A′B′C′的面积相等，
∴|y+1|＝3，即y+1＝3或y+1＝﹣3，
解得：y1＝2，y2＝﹣4，
又∵点P在y轴负半轴上，
∴P（0，﹣4）．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）2019年11月22日至23日，“一带一路”国际协商会在京举行．本届主题演讲及对话增加到150场左右，促成大量改善民生的热点领域项目签约．宁波一家科技公司准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？
（2）若甲，乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
【分析】（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；
（2）可设销售甲种商品m万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价是x元，乙种商品的单价为y元，
根据题意，得，
解得．
答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元；
（2）设销售甲种商品m万件，则销售乙种商品（8﹣m）万件，
根据题意，得900m+600（8﹣m）≥5400，
解得m≥2，
答：至少销售甲种商品2万件．
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为 （2，14） ；
（2）若点P的“5级关联点”的坐标为（9，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”P′位于坐标轴上．求点P′的坐标．
【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（3）根据关联点的定义和点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”P′位于坐标轴上，即可求出P′的坐标．
【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，
∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为（2，14）．
故答案为：（2，14）；
（2）设点P的坐标为（a，b），
由题意可知 解得：
∴点P的坐标为（2，﹣1）；
（3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），①P′位于x轴上，
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0，
解得：m＝，
∴﹣3（m﹣1）+2m＝4，
∴P′（4，0）．
②P′位于y轴上，
∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，
解得：m＝3
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，
∴P′（0，﹣16）．
综上所述，点P′的坐标为（4，0）或（0，﹣16）．
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（b，b），C（0，b），且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点A的坐标 （﹣8，0） ，点B的坐标 （﹣4，﹣4） ，AO和BC位置关系是 BC∥AO ；
（2）在P、Q的运动过程中，连接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b，得到点A、B、C的坐标，根据坐标与图形性质判断AO和BC位置关系；
（2）过B点作BE⊥AO于E，根据三角形的面积公式求出AP，得到点P的坐标；
（3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵，
∴a+8＝0，b+4＝0，
解得，a＝﹣8，b＝﹣4，
则A（﹣8，0），B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4），
∵点B的坐标为（﹣4，﹣4），点C的坐标为（0，﹣4），
∴BC∥AO，
故答案为：（﹣8，0），（﹣4，﹣4），BC∥AO；
（2）过B点作BE⊥AO于E，
设时间经过t秒，S△PAB＝4S△QBC，则AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，
①当点Q在点C的上方时，CQ＝4﹣t，
∴S△APB＝＝＝4t，S△BCQ＝＝（4﹣t）×4＝8﹣2t，
∵S△APB＝4S△BCQ，
∴4t＝4（8﹣2t）
解得，t＝，
∴AP＝2t＝，
∴OP＝OA﹣AP＝，
∴点P的坐标为（﹣，0）；
②当点Q在点C的下方时，CQ＝t﹣4，
∴S△BCQ′＝2t﹣8
∴4t＝4（2t﹣8）
解得，t＝8，
∴AP＝2t＝16，
∴OP＝AP﹣OA＝8，
∴点P的坐标为（8，0），
综上所述，点P的坐标为（﹣，0）或（8，0）；
（3）∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．
理由如下：
①当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，
∴∠OPQ＝∠PQH，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠OPQ+∠CBQ＝∠PQH+∠BQH，
∴∠PQB＝∠OPQ+∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ+30°；
②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO 如图3所示，
∴∠OPQ＝∠PQJ，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠HQB+∠BQP+∠PQJ＝180°，
∴30°+∠BQP+∠OPQ＝180°，
即∠BQP+∠OPQ＝150°，
综上所述，∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．
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