初一数学上册秋季班培优讲义 第6讲 含参一元一次方程的解法教师版

     解方程

对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：解一元一次方程中的应用.

【引例】       解方程：.

【解析】       法一：所以；

法二：，，所以.

【点评】       注意传递给学生两种解决此类问题的思路.

【例1】         ⑴解方程：.（西城期末）  

⑵解方程：

【解析】       ⑴ 去分母（方程两边同乘以12），得

．

去括号，得 ．

移项，得  ．

合并同类项，得  ．

系数化为1，得  ．

∴ 原方程的解是  ．

⑵ 原方程可变为，

即，

又，所以，即．

点评：若，则或．

【例2】         解方程：  

【解析】       ，

  即，

故.

若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式．

两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等．

【引例】       当________时，方程的解和方程的解相同．

（北京四中期中考试）

【解析】       法一：方程的解为，方程的解为

.由题意解相同，所以，解得.

法二：方程的解为，把代入中，         

求得．

【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解，把解代入

另一个方程．

【例3】         ⑴已知：关于x的方程与的解相同，求的值及相同的解．

 （石景山期末）

⑵若关于的方程和有相同的解，求的值．

⑶若和是关于的同解方程，求的值．

【解析】 ⑴ ，解得，

⑵ 方程的解为，把代入中，求得．

⑶ 法一：方程的解为，方程的解为，所以，所以，所以.

法二：方程等号两边乘以得，故，．

当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成的形式，方程的解根据的取值范围分类讨论．

① 当时，方程有唯一解．

② 当且时，方程有无数个解，解是任意数．

③ 当且时，方程无解．

【引例】       当     ，    时，方程有唯一解；当     ，     时，方程无解；当    ，    时，方程有无穷多个解．

【解析】 为任意数；；.

【例4】         ⑴ 已知：关于的方程有无数多个解，试求

的解.

⑵ 若、为定值，关于的一元一次方程，无论为何值时，它的解总是，求的值．

（北师大附中期中）

【解析】       ⑴ 原方程整理为，因为当且该方程有无数多组解，

所以，故把代入

得， 解得.

        ⑵ 方程可化为：，

由该方程总有解可知，

即，

又为任意值，故，．

【例5】         解关于的方程

【解析】       去分母，化简可得：

当时，方程的解为；

当，时，解为任意值；

       当，时，方程无解．

绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解

1．形如的方程，可分如下三种情况讨论：

⑴，则方程无解；

⑵，则根据绝对值的定义可知，；

⑶，则根据绝对值的定义可知，．

2．形如型的绝对值方程的解法：

首先根据绝对值的定义得出，，且；

分别解方程和，然后将得出的解代入检验即可．

3．含多重绝对值符号的绝对值方程的解法：主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值．

【引例】       解绝对值方程：

【解析】 可知，或，故或．

【例6】         若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，下列选项正确的是（      ）

A．       B．       C．        D．

【解析】       C.

【例7】         解绝对值方程：

⑴                       

⑵

⑶ 方程的解是       ．（北京四中期中）

【解析】       ⑴由可知，，故或．

⑵方程可化为，，且，解方程可得，；解方程可得，，代入检验可知，，均满足题意．

⑶法一：与的零点分别是和．由“零点分段法”，分情况讨论：

若，则原方程可化为，解得，满足题意，故是原方程的解；

若，则原方程可化为，无解；

若，则原方程可化为，解得，满足题意，故也是方程的解．

综上：方程的解为或.

法二：用绝对值的几何意义画数轴即可解决.

                              【选讲题】

【例8】         已知：与都是关于的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于的方程的解．

（人大附中期中练习）

【解析】       由题意可知，，故题中的两个方程变为和，

由上述两个方程的解互为相反数可知，，

故方程变为，

从而可知，或．

训练1.             解方程：

【解析】       原方程可化为，

去分母，

去括号，

合并同类项，

系数化为得．

训练2.             解方程：．

【解析】       由题意：

所以

所以，因为，故．

训练3.             已知关于的方程的解与的解相同，求的值.

【解析】       由

得

由

得

∵两个方程的解相同，

∴

∴

训练4.             为何值时，方程有无数多个解？无解？

【解析】       将方程化为最简形式，利用各种解的情形所应满足的条件建立的关系式.

原方程整理得：，即当时，原方程有无数个解，当，即 时，原方程无解.

复杂一元一次方程 巩固练习

【练习1】   解方程：

【解析】       . (提示：含有小数的一元一次方程在求解过程中通常是先将小数化成整数)

两个一元一次方程解的关系问题 巩固练习

【练习2】   已知关于的方程与有相同的解，求的值及方程的解.

【解析】       把当常数，方程的解为，

方程的解为，

故，解得，所以．（同解方程问题）

含字母系数的一元一次方程 巩固练习

【练习3】   已知关于的方程无解，那么      ，      ．

【解析】       ，即，故且，即，．

【练习4】   如果关于的方程有无数个解，求值.

【解析】       原方程整理得，由方程有无数个解得，．

绝对值方程 巩固练习

【练习5】   解方程：

【解析】       或（舍），即，

所以或，即或，

故或．

【练习6】   方程的解是       ．                     

或.

每个人的成功都有秘诀，那你知道爱因斯坦的成功公式是什么？