初一数学上册秋季班培优讲义 第2讲 有理数综合运算 教师版
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如何计算？
知识点切片（4个） | 7+2+1+1 | |
知识点目标 | 有理数综合运算（7） | 1、有理数加减法则；2、有理数加法的运算律；3、有理数减法法则；4、有理数乘法法则；5、有理数除法法则；6、有理数乘方；7、有理数混合运算的运算顺序 |
裂项技巧（2） | 1、分数裂项；2、整数裂项 | |
连锁约分（1） | 1、连锁约分，简便运算 | |
整体思想（1） | 1、整体思想，化繁为简 | |
题型切片（6个） | 对应题目 | |
题型目标 | 乘法分配律的应用 | 例1、练习1 |
连续自然数的加减交替 | 例2、练习1 | |
有理数综合运算 | 例3、练习2 | |
裂项 | 例4、例5、练习3、练习4 | |
连锁约分 | 例6、练习5 | |
整体思想 | 例7、练习6 | |
有理数综合运算
1．有理数加法法则：
① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
② 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
③ 一个数同0相加，仍得这个数．
2．有理数加法的运算律：
①两个加数相加，交换加数的位置，和不变．（加法交换律）
②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
（加法结合律）.
3．有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数，.
4. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
任何数同0相乘，都得0.
5. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.，()
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.
6. 有理数乘方
概念：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫
做指数.
含义：中，为底数，为指数，它表示的个数，表示有个连续相乘.
特别注意:负数及分数的乘方，应把底数加上括号.
7. 有理数混合运算的运算顺序：
① 先乘方，再乘除，最后加减；
② 同级运算，从左到右进行；
③ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.
同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，先算三级运算，然后二级，最后一级；
如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.
④ 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.
【例1】 计算：⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
【解析】⑴原式=.
⑵原式.
⑶原式.
⑷原式.
⑸设，题目中要求，可以先求，
则原式=，
∴原式=.
【例2】
⑴填空： ；
；
⑵计算：.
【解析】⑴，；⑵（为偶数）或（为奇数）.
针对例2的拓展：
⑴；
⑵.
【解析】⑴原式.
⑵原式
.
.
【例3】 计算：⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
【解析】⑴解：原式
.
⑵解：原式
.
⑶解：原式
.
⑷解：原式
.
⑸解：原式
.
1.分数裂项技巧：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷.
2.整数裂项技巧：
⑴；
⑵.
3.连锁约分
多个分数相乘通过约掉分子分母中的相同因数简便运算.
【例4】 计算：⑴；
⑵.
【解析】 ⑴原式
.
⑵注意到每一项分母两个因子的差恰好等于分子，因此考虑拆项；经过尝试，发现有：
，…，所以
原式
.
针对例4的铺垫：
计算：⑴
⑵
【解析】⑴原式
.
⑵原式
.
针对例4的拓展
计算：⑴；
⑵；
⑶.
【解析】⑴原式.
⑵原式
⑶原式
.
【例5】 计算：⑴；
⑵；
⑶.
【解析】⑴原式
.
⑵原式
.
⑶原式
.
【例6】 计算：⑴
⑵
【解析】⑴原式.
⑵原式
.
【例7】 ⑴已知，
的值为 .
⑵计算：
.
【解析】⑴
.
⑵设，则原式
.
训练1. 计算：
【解析】原式
训练2. 计算： ．
【解析】原式
训练3. 计算：
【解析】 原式
.
训练4. 初一（4）班在一次联欢活动中，把全班分成5个队参加活动，游戏结束后，5个队的得分如下： 队：分；队：150分；队：分；队：0分；队：100分．
⑴ 将5个队按由低分到高分的顺序排序；
⑵ 把每个队的得分标在数轴上，并将代表该队的字母标上；
⑶ 从数轴上看队与队相差多少分？队与队呢？
【解析】 ⑴ 队 队 队 队 队；
⑵ 如图所示：
⑶ 队与队相差200分，队与队相差400分．
乘法分配律的应用、连续自然数的加减交替
【练习1】 ⑴ 计算：；
⑵ 计算：；
⑶ 计算： .
【解析】 ⑴；⑵；⑶.
有理数综合运算
【练习2】 计算：
【解析】 .
裂项
【练习3】 计算： ．
【解析】 原式.
【练习4】 计算：.
【解析】原式
.
连锁约分
【练习5】 计算：
【解析】原式
.
整体思想
【练习6】 计算：.
【解析】设，则原式
1+1=2吗？
皮亚诺（Peano,Giuseppe） 意大利数学家。1858年8月27日生于皮埃蒙特的库内奥附近的斯皮内塔村；1932年4月20日卒于都灵。 皮亚诺致力于发展布尔所创始的符号逻辑系统。1889年他出版了《几何原理的逻辑表述》一书，书中他把符号逻辑用来作为数学的基础，这工作在二十多年后为怀特黑德所继续。皮亚诺由未定义的概念“零”，“数”，及“后继数”出发建立公理系统。
皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺（皮阿罗）提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。
1+1=2
1 + 1
= 0’ + 1 （根据自然数的公理）
= （0 + 1)’（根据加法定义 2）
= 1’ （根据加法定义 1）
= 2 （根据自然数的公理）
在数前分别添加“”或“”，使其运算结果为最小的非负数。
解析：答案不唯一，如：
.
