专题2.1 利用基本不等式求最值（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题2.1 利用基本不等式求最值（特色专题卷）

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！

一．    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（2020秋•西湖区月考）若正数a，b满足a+b＝6，则ab的最大值为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．9

【分析】利用基本不等式即可得出ab的最大值．

【解答】解：∵正数a，b满足a+b＝6，

∴ab9，当且仅当a＝b＝3时取等号．

则ab的最大值为9．

故选：D．

2．（2021•山东模拟）已知x＞3，y＝x，则y的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】xx﹣33，由基本不等式可知y≥5，即可得最小值．

【解答】解：因为y＝xx﹣33，又因为x＞3，所以x﹣3＞0，

所以y≥5，当且仅当x＝4时，等号成立，

故选：D．

3．（2021春•湛江期末）若x＞1，则4x+1的最小值等于（　　）

A．6 B．9 C．4 D．1

【分析】由4x+14（x﹣1）5，利用基本不等式即可求解．

【解答】解：由x＞1，得x﹣1＞0，

∵4x+14（x﹣1）5≥25＝9，

当且仅当4（x﹣1），

即x时，等号成立．

故选：B．

4．（2021•青羊区校级开学）已知x＞0，y＞0，且2x+8y＝xy，则x+y的最小值是（　　）

A．10 B．15 C．18 D．23

【分析】由题意化简可得1，再化简x+y＝（x+y）（）10，从而利用基本不等式求最值．

【解答】解：∵x＞0，y＞0，2x+8y＝xy，∴1，

∴x+y＝（x+y）（）10≥210＝18，

（当且仅当，即x＝12，y＝6时，等号成立）

故选：C．

5．（2021•东湖区校级开学）下列各题中结论正确的是（　　）

A．当x＞1时，x2 B．当x＞0时，2 

C．当x＞2时，2 D．当0＜x＜1时，x2

【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及函数的单调性，即可求解．

【解答】解：当x＞0时，，当且仅当，即x＝1时等号成立，

∵x＞0且x≠1，

∴x的最小值为2不成立，故A、D错；

当x＞0时，0，当且仅当x＝1时，等号成立，故B正确；

当 x＞2时，，因此当时，即x＝2时有最小值，而 x＞2，故C错误，

故选：B．

6．（2021•江阴市开学）已知x＞1，则的最小值是（　　）

A． B． C． D．2

【分析】化简x﹣12，结合x＞1，利用基本不等式求最值即可．

【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．

∴

，

（当且仅当，即时，等号成立）．

故选：A．

7．（2021秋•沙坪坝区校级月考）若x＞0，y＞0且x+y＝xy，则的最小值为（　　）

A．3 B． C． D．

【分析】先把x+y＝xy转化为1，再将2x+y，根据基本不等式即可求出．

【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y＝xy，

∴1，

∴2x+y＝（2x+y）（）＝33+23+2，

当且仅当，即x＝1，y＝1时取等号，

故的最小值为3+2，

故选：D．

8．（2021•湖北开学）已知a＞0，b＞0且a+b＝1，若不等式恒成立．m∈N+，则m的最大值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，由此即可求解．

【解答】解：a＞0，b＞0且a+b＝1，则（a+b）（）＝22+24，当且仅当a＝b时取等号，

∴m＜4，

∵m∈N+，

∴m的最大值为3，

故选：A．

二．    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（2021秋•深圳月考）设a，b∈R且ab＞0，则下列不等式正确的是（　　）

A．a2+b2≥2ab B． C． D．

【分析】作差可知A正确，由基本不等式可知D正确；举例说明B、C错误即可．

【解答】解：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，

∴a2+b2≥2ab，故A正确；

当a＝b＝﹣1时，a+b＝﹣2，22，

故B错误；

当a＝b＝﹣1时，2，2，

故C错误；

∵ab＞0，∴，0，

故2，（当且仅当，即a＝b时，等号成立），

故D正确；

故选：AD．

10．（2021春•湖北期中）已知正实数a，b满足a+b＝ab，则（　　）

A．a+b≥4 B．ab≥6 

C． D．

【分析】利用基本不等式依次判断各选项即可．

【解答】解：对于A，B选项：由ab＝a+b，即，解得，则a+b≥4，当且仅当a＝b时，取等号，∴A正确；则B选项错误；

对于C选项：由ab＝a+b，可得，那么（a+2b）（），当且仅当ab时，取等号，∴C正确；

对于D选项：a＞0，b＞0，∴a3+b3≥a2b2，即（a+b）（a2﹣ab+b2）≥a2b2，

∴a2﹣ab+b2≥ab，

即a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取等号；

∴D正确；

故选：ACD．

11．（2021秋•大埔县校级月考）已知a，b为正数，a2+4b2＝3，则（　　）

A．ab的最大值为 B．的最小值为3 

C．的最大值为 D．的最小值为

【分析】对于A，直接利用公式a2+b2≥2ab，即可求解，

对于B，根据已知条件，利用“1”代换来求解，

对于C，利用公式a+b，即可求解，

对于D，利用选项A和选项B的结论，即可求解．

【解答】解：对于A，∵a2+4b2≥4ab，a2+4b2＝3，

∴ab，当且仅当a＝2b时，等号成立，

对于B，∵ ，

当且仅当a 时，等号成立，故B正确，

对于C，，

当a2＝4b2+4时，即8b2＝﹣1 时等号成立，显然等号不成立，故C错误，

对于D，∵，

∴，故D错误．

故选：AB．

12．（2021春•济宁期末）若a，b均为正数，且a+2b＝1，则下列结论正确的是（　　）

A．ab的最大值为 B．的最小值为9 

C．a2﹣b2的最小值为 D．a2+b2的最小值为

【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及二次函数的性质，即可求解．

【解答】解：∵a，b均为正数，且a+2b＝1，

∴由基本不等式可得，1＝a+2b，解得ab，当且仅当a＝2b，即，b时等号成立，故A选项正确，

，当且仅当，即a＝b时等号成立，故B选项正确，

∵，

∴，

结合二次函数的性质可知，a2+b2，故D选项正确，

结合二次函数的性质，a2﹣b2，故C选项错误．

故选：ABD．

三．    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（2021•兴宁区校级模拟）若x＞0，y＞0，xy＝10，则的最小值为 　2　．

【分析】由x＞0，y＞0，xy＝10化简为，利用基本不等式求解即可．

【解答】解：由x＞0，y＞0，xy＝10，

则，

（当且仅当x＝2，y＝5时，取“＝”）

即的最小值为2．

故答案为：2．

14．（2021春•岳麓区校级期末）若x＞2，则的最小值为 　24　．

【分析】根据基本不等式即可求出．

【解答】解：∵x＞2，

∴x﹣2＞0，

∴，

当且仅当时，等号成立，

故答案为：24．

15．（2021•山东模拟）a，b均为正实数，求的最小值为 　　．

【分析】利用换元法设a+2b＝x＞0，2a+b＝y＞0，代入所求式子整理后利用基本不等式即可求解．

【解答】解：设a+2b＝x＞0，2a+b＝y＞0，

解得：，

所以，

当且仅当时，等号成立．

所以的最小值为．

故答案为：．

16．（2021秋•嘉兴月考）若正实数x，y满足，则的最大值是 　4　．

【分析】由题意可将已知式变形，再利用基本不等式即可求得．

【解答】解：由题意可得10＝xy，

所以有4，

当且仅当x＝2且y＝1时，取得最大值4．

故答案为：4．

四．        解答题（共6小题，满分70分）

17．（2021春•兴庆区校级期末）某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为多少？

【分析】先求出L＝2x（x＞0），再利用基本不等式求最值即可．

【解答】解：设场地一边长为x m，则另一边长m．

因此新墙总长度L＝2x（x＞0），

∵2x264，

当且仅当2x，即x＝16时取等号，

∴当x＝16时，函数取得最小值．∵x＝16，32，

故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省．

18．（2021春•青铜峡市校级期末）已知x，y都是正数，且x+y＝1．

（1）求的最小值；

（2）求的最小值．

【分析】（1）利用“1”的代换将式子变形，再利用基本不等式求出最小值即可；

（2）先将所求式子中的1用x+y代换，展则1，从而利用基本不等式求出最小值即可．

【解答】解：（1）由x＞0，y＞0，x+y＝1，得（x+y）（）＝55+29，

当且仅当x，y时等号成立，所以的最小值为9．

（2）1，又x＞0，y＞0，所以22，

所以1+2＝3，当且仅当x，y时等号成立，

所以的最小值为3．

19．（2021春•南昌期末）已知正数a、b满足a+b﹣ab＝0．

（1）求4a+b的最小值；

（2）求的最小值．

【分析】（1）利用乘1法a+b＝（a+b）（），展开后结合基本不等式即可求解；

（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a﹣1）（b﹣1）＝1，利用基本不等式可求．

【解答】解：（1）因为a+b﹣ab＝0，所以．又因为a、b是正数，所以，

当且仅当2a＝b＝3时等号成立，故4a+b的最小值为9．

（2）因为且a、b为正数，所以a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，

则，

当且仅当、b＝4时等号成立，故的最小值为16．

20．（2020秋•开封月考）已知x，y为正实数，且满足x+y＝1．

（1）若xy≤m恒成立，求m的最小值；

（2）证明：（x）2+（y）2．

【分析】（1）由，结合题意可得，进而求解；

（2）先证明，再根据即得证．

【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，x+y＝1，

∴由基本不等式得，当且仅当时取等号，

∵xy≤m恒成立，

∴，

故实数m的最小值为．

（2）证明：∵，

∴，当且仅当时取等号，得证．

21．（2020秋•大丰区校级期末）合肥六中德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．

（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；

（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值．

【分析】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，可得整个矩形广告面积，再利用基本不等式，即可求得最值．

（2）由题意得b≥2a，b，求得a的范围，由（1）可得S＝30（a）+60600，函数确定为减区间，即可得到何时取得最小值．

【解答】解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，

则ab＝20000，所以b，广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0），

广告的面积S＝（a+20）（3b+30）＝30（a+2b）+60600

＝30（a）+60600≥30×260600＝72600，

当且仅当a，即a＝200时，取等号，

此时b＝100．故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm，时可使广告的面积最小为72600cm2．

（2）由题意得，b≥2a，b，解得0＜a≤100，

由（1）可得S＝30（a）+60600，当a＝100时，广告的面积最小为75600cm2．

故当广告矩形栏目的高为100cm，宽为200cm，可使广告的面积最小为75600cm2．

22．（2021春•定州市期中）已知正实数a、b满足．

（1）求a+b的最小值；

（2）求的最小值；

（3）求2a2+b2﹣4a﹣2b的最小值．

【分析】首先作下列变形：，即b+a＝ab，ab﹣b﹣a+1＝1，（a﹣1）（b﹣1）＝1，a＞1，b＞1，

（1）a+b＝（a+b）（），展开后利用基本不等式可求得最小值；

（2）49，再利用基本不等式可求得最小值；

（3）2a2+b2﹣4a﹣2b＝2a2﹣4a+2+b2﹣2b+1﹣3＝2（a﹣1）2+（b﹣1）2﹣3，再利用基本不等式可求得最小值．

【解答】解：，即b+a＝ab，ab﹣b﹣a+1＝1，（a﹣1）（b﹣1）＝1，a＞1，b＞1，

（1）因为a、b是正实数，

所以，

当且仅当a＝b＝2时等号成立，

故a+b的最小值为4；

（2）因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，

则，

当且仅当，时等号成立，

故的最小值为25；

（3）因为a﹣1＞0，b﹣1＞0，（a﹣1）（b﹣1）＝1，

所以2a2+b2﹣4a﹣2b＝2a2﹣4a+2+b2﹣2b+1﹣3

当且仅当，时等号成立，

故2a2+b2﹣4a﹣2b的最小值为．