高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试练习

专题强化练1　利用基本不等式求最值

一、选择题

1.()已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是(　　)

A.3 B.2 C.3 D.2

2.()若正数a,b满足+=1,则+的最小值为　　(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

3.()设a>b>0,则a2++的最小值是(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

4.(2020陕西吴起高中高二期末,)设x,y都是正数,且xy-(x+y)=1,则(　　)

A.x+y≥2(+1) B.xy≤+1

C.x+y≤(+1)2 D.xy≥2(+1)

5.()若正数x,y满足x+y+15=+,且x+y≤1,则(　　)

A.x为定值,但y的值不确定

B.x不为定值,但y是定值

C.x,y均为定值

D.x,y的值均不确定

6.()已知x>0,y>0,2x-=-y,则2x+y的最小值为　　(　　)

A. B.2 C.3 D.4

7.(2019广东化州高三第一次模拟,)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+2y的值为(　　)

A. B.2

C. D.5

二、填空题

8.()已知正数x,y满足x+2y=2,则的最小值为　　　　. 

9.(2020浙江浙南名校联盟高一期末,)若实数a>1,b>2,且满足2a+b-6=0,则+的最小值为　　　　. 

10.()若a,b∈R,且a2+2ab-3b2=1,则a2+b2的最小值为　　　　　. 

三、解答题

11.(2019河南商丘九校联考高二期末,)已知正数a,b满足a+b=4,求+的最小值.

12.()(1)设a>b>c,且+≥恒成立,求m的取值范围;

(2)记F=x+y-a(x+2),x>0,y>0,若对任意的x>0,y>0,恒有F≥0,请求出a的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.B　∵a>0,b>0,∴a+1>1,b+1>1.又∵+=1,∴a+2b=[(a+1)+2(b+1)]-3=[(a+1)+2(b+1)]·-3=1+++2-3≥2=2,当且仅当=,即a=,b=时等号成立,故选B.

2.B　∵a>0,b>0,+=1,

∴a>1,b>1,a+b=ab,

∴>0,>0,

∴+≥2

=2=4.

当且仅当=,即a=,b=3时,等号成立.故选B.

3.D　∵a>b>0,∴a-b>0,∴a2++=a2-ab+ab++=a(a-b)++ab+≥2+2=4,当且仅当a(a-b)=且ab=,即a=2b=时,等号成立.故选D.

4.A　∵x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,

∴xy=1+(x+y)≥1+2(当且仅当x=y=1+时,等号成立),

即()2-2-1≥0,

解得≥1+,

即xy≥(1+)2.

xy=1+(x+y)≤(当且仅当x=y=1+时,等号成立),

即(x+y)2-4(x+y)-4≥0,

解得x+y≥2(+1).故选A.

5.C　由题得(x+y)=1+9++≥1+9+2=16,因为x+y≤1,所以x+y+15=+≤16且+≥16,故有x+y+15=+=16,解方程组得故x,y均为定值,故选C.

6.C　2x-=-y⇒2x+y=+,

要求2x+y的最小值可以先求(2x+y)2的最小值.(2x+y)2=(2x+y)(2x+y)=(2x+y)·=2+++8=10++≥2+10=18当且仅当=,即y=4x时等号成立,则2x+y≥=3.

7.B　∵x+3y=5xy,x>0,y>0,

∴+=1,

∴3x+4y=(3x+4y)=++≥+2=5,

当且仅当=,即x=2y=1时等号成立,此时x+2y=2.故选B.

二、填空题

8.答案　9

解析　因为x,y为正数,且x+2y=2,所以+y=1,所以=·=++5≥2+5=9,当且仅当x=4y=时,等号成立,所以的最小值为9.

9.答案　4

解析　∵a>1,b>2,且满足2a+b-6=0,

∴2(a-1)+b-2=2,a-1>0,b-2>0,

则+=[2(a-1)+b-2]×=

≥

=×(4+4)=4,

当且仅当=,且2a+b-6=0,即a=,b=3时,等号成立,则+的最小值为4.

故答案为4.

10.答案　

解析　由a2+2ab-3b2=1得(a+3b)(a-b)=1,令x=a+3b,y=a-b,则xy=1且a=,b=,

所以a2+b2=+

=≥=,

当且仅当x2=,y2=时等号成立.

故答案为.

三、解答题

11.解析　∵a+b=4,∴(a+1)+(b+3)=8,

∴8=[(a+1)+(b+3)]·=++2≥2+2=4,

∴+≥,当且仅当a+1=b+3且a+b=4,即a=3,b=1时,等号成立,

∴+的最小值为.

12.解析　(1)由a>b>c,知a-b>0,a-c>0,

所以原不等式等价于+≥m.

要使原不等式恒成立,只需+的最小值不小于m即可.

因为+=+=2++

≥2+2=4,

当且仅当=,即2b=a+c时,等号成立,

所以m≤4.

(2)由F≥0,得x+y≥a(x+2).

因为x>0,y>0,所以a≤恒成立,

所以a小于或等于的最小值.

又≥=,当且仅当x=2y时,等号成立,

所以a≤.